第八章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）

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1 第八章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算子微积分）
是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程师亥维赛德(O.Heaviside) 发明了用运算法解决当时电工计算中出现的一些问题，但是缺乏严 密的数学论证．后来由法国数学家拉普拉斯(P.S.Laplace)给出了严密 的数学定义，称之为拉普拉斯变换方法．

2 拉普拉斯（Laplace）变换在电学、光学、力学等工程技术
与科学领域中有着广泛的应用．由于它的像原函数 要求 的条件比傅里叶变换的条件要弱，因此在某些问题上，它比傅里叶变换的适用面要广．本部分首先从傅里叶变换的定义出发，导出拉普拉斯变换的定义，并研究它的一些基本性质，然后给出其逆变换的积分表达式――复反演积分公式，并得出像原函数的求法，最后介绍拉普拉斯变换的应用．

3 8.1 拉普拉斯变换的概念 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 本节介绍拉普拉斯变换的定义、拉普拉斯变换的存在定理、
常用函数的拉普拉斯变换，以及拉普拉斯变换的性质． 8.1.1 拉普拉斯变换的定义 傅里叶变换要求进行变换的函数在无穷区间 有定义，在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并要求

4 存在．这是一个比较苛刻的要求，一些常用的
等均不满足这 函数，如阶跃函数 ，以及 在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间 些要求．另外， 为自变量的函数，往往当 时没有意义，或者不需要知道 的情况．因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这 就限制了傅里叶变换应用的范围．

5 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一
个实函数 ，可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本 条件． 首先将函数 乘以单位阶跃函数： 得到 ，则根据傅氏变换理论有

6 很显然通过这样的处理，当 时， 在没有定 义的情况下问题得到了解决．但是仍然不能回避 在 上绝对可积的限制．为此，我们考虑到当 时，衰减速度很快的函数，那就是指数函数 于是有

7 上式即可简写为 这是由实函数 通过一种新的变换得到的复变函数， 这种变换就是我们要定义的拉普拉斯变换．

8 定义8.1.1 设 实函数 在 上有定义，且积分 对复平面 （ 为复参变量） 上某一范围 收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1）
定义 设 实函数 在 上有定义，且积分 对复平面 （ 为复参变量） 上某一范围 收敛，则由这个积分所确定的函数 （8.1.1） 称为函数 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换（或称为 像函数），记为

9 （说明：有的书籍记： ＝ ，即 为函数 的拉氏变换） 综合傅氏变换和拉氏变换可见，傅氏变换的像函数是一个 实自变量为 的复值函数，而拉氏变换的像函数则是一个复 变数 的复值函数，由式（8.1.1）式可以看出，

10 例8.1.1 求拉氏变换 的拉氏变换实际上就是 的傅氏变换 （其中 为单位阶跃函数），因此拉氏变换实质上就是
一种单边的广义傅氏变换，单边是指积分区间从0到 广义是指函数 要乘上 之后再 作傅氏变换． 例8.1.1 求拉氏变换

11 【解】 在 ,(按照假设 ) 即为 的半平面， 例8.1.2 求拉氏变换 【解】 在 的半平面,

12 同理有

13 例8.1.3 求单位阶跃函数 的拉氏变换． 【解】 由拉氏变换的定义，有 ，由于 设

14 ，所以，当且仅当 ，从而有 时， 例8.1.4 求拉氏变换 为常数. 【解】 在 的半平面上

15 请记住这个积分以后会经常用到． 为实数），求 例8.1.5 若 或 拉氏变换

16 【解】 同理

17 例8.1.6 求拉氏变换 为常数. 【解】 在 的半平面上，

18 同理 （ 为复数），求拉氏变换 例 若 【解】

19 8.1.2 拉氏变换的存在定理 定理 8.1.1 拉氏变换存在定理 若函数 满足下述条件： （1）当 时， =0；当 时，
在任一有限区间上分段连续； （2）当 时， 的增长速度不超过某一

20 指数函数，即存在常数 及 ，使得 则 在半平面 上存 在且解析． 【证明】：证明 存在．由

21 所以上述积分绝对收敛，且 在右半平面 存在． 然后证明 解析．为此，在积分号内对 求偏 导数，并取 为任意实常数），则有

22 在半平面 故积分 上一致收敛，可交换积分与微商的次序，即

23 故 的导数在 上处处存在 且有限，可见 在半平面 内解析． 8.2 拉普拉斯逆变换概念 定义 拉氏逆变换 若满足式： ，我们称

24 为 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为 原函数），记为 ．为了计算拉氏逆 变换的方便，下面给出拉氏逆变换的具体表达式． 实际上 的拉氏变换，就是 的傅氏变换.因此，当 满足傅氏 在连续点处 积分定理的条件时，根据傅里叶积分公式，

25 无关， 等式两端同乘 ，并注意到这个因子与积分变量 故 时

26 ，则有 令 （8.2.1） 上式为 的拉普拉斯逆变换式，称为拉氏逆变换式． 记为 ．并且 称为

27 的拉普拉斯逆变换，简称拉氏逆变换（或称为像原函
数或原函数）． 上式右端的积分称为拉氏反演积分．公式 （8.2.1）称为黎曼－梅林反演公式，这就是从像函数求原函数 的一般公式． 注意：公式 和公式 构成一对互逆的

28 8.3 拉氏变换的性质 构成一组拉氏变换对。 积分变换公式， 也称
和 构成一组拉氏变换对。 积分变换公式， 8.3 拉氏变换的性质 虽然，由拉氏变换的定义式可以求出一些常用函数的拉氏变换．但在实际应用中我们总结出一些规律：即拉氏变换的一些基本性质．通过这些性质使得许多复杂计算简单化． 我们约定需要取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换存在定理的 条件．

29 性质1 线性定理 若 为任意常数，且 ，则 (8.3.1) 【证明】

30 根据逆变换的定义，不难证明第二式．具体留给读者去证明．
例8.3.1 求 函数 的拉氏变换. 【解】

31 例8.3.2 求函数 的拉氏逆变换． 【解】 因为

32 例8.3.3求 【解】 性质2 延迟定理

33 若设 为非负实数， ，又当 ，则 时， (8.3.2) 或 【证明】由定义出发，随后令 ，可得

34 利用 ＜0时， =0，积分下限可改为零，故得 例8.3.4 已知 ，求 【解】用阶跃函数表示

35 再利用线性定理及延迟定理，有 性质3 位移定理 若 ，则有 (8.3.3) 其中 是 的增长指数． 证明 根据定义

36 例8.3.5 求 = ，则由 【解】令 得 = 利用位移定理 ，即有

37 ，则对于大于零 性质4 相似定理 设 的常数 ，有 （8.3.4） 【证明】由定义出发，随后作变量代换 ，则

38 性质5 微分定理 设 存在且分段连续，则 （8.3.5）

39 【证明】 由定义出发，随后用分部积分，可得
同理，用 取代上述的 ，可得

40 继续作下去，即得所证． 特别地，当 则 性质6 像函数的微分定理 (8.3.6) 【证明】在拉氏变换定义式两边对 求导

41 继续作下去，即得所证．

42 性质7 积分定理 设 ，则 (8.3.7) 【证明】设 ，则 由微分定理，有 即

43 可得 由 一般地对应n重积分，我们有 性质8 像函数的积分定理

44 (8.3.8) 【证明】由拉氏变换的定义式出发，随后交换积分次序 上面交换积分次序的根据是 在满足

45 性质9 拉氏变换的卷积定理 条件下是一致收敛的． (1) 定义 8.3.1 拉氏变换的卷积 前一章我们学习了傅氏变换的卷积概念和性质，当 是
上绝对可积函数时，它们的卷积是

46 如果当 ，则上式可写为 时，有 因为在拉氏变换中总认为 时，像函数 恒为零， 因此把上式（8.3.9）定义为拉氏变换的卷积．

47 （2）拉氏变换的卷积定理 (8.3.10) 【证明】首先由卷积定义及拉氏变换定义出发，随后交换积分 次序，并作变量代换：

48 由于当 时 =0 ，第二个积分下限可写成 零，再将 提出第二个积分号外，便有 应用拉普拉斯变换法时经常要求 ，若 能分解为 ，对上式作逆变换，即有

49 8.4 拉普拉斯变换的反演 (8.3.11) 求拉普拉斯变换的反演即为在已知像函数情况下求原函数
（即为求反演积分）．我们分不同情况按下述方法来求： 1 有理分式反演法 若像函数是有理分式，只要把有理分式分 解为分项分式之和，然后利用拉氏变换的基本公式，就能得到相 应的原函数.

50 例8.4.1 求 的原函数． 【解】即为求 ，先将这个有理分式分解为分项 分式 利用例题8.1.4 和8.1.5的结论， 即得到

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