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第三章 三角函数与解三角形 第三节 两角和与差及二倍角 三角函数公式
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考 纲 要 求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
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课 前 自 修 知识梳理 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=________________________(简记为Sα±β); cos(α±β)=_______________________(简记为Cα±β); tan(α±β)=________________(简记为Tα±β). 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α=______________(简记为S2α); cos 2α=____________________________________ (简记为C2α); tan 2α=________(简记为T2α). sin αcos β±cos αsin β cos αcos β∓sin αsin β 2sin α·cos α cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
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基础自测 解析:sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°=sin 45°cos 15°-cos 45°·sin 15°=sin(45°-15°)=sin 30°= .故选C. 答案:C
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考 点 探 究 考点一 正用和、差及二倍角三角公式求值
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变式探究 (2)(2012·北京市东城区月考)已知sin α=2cos α,那么tan 2α 的值为__________.
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考点二 逆用和、差、倍角三角公式求值 解析:原式=sin(43°-13°)=sin 30°= .故选A. 答案:A
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变式探究
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考点三 配角法(角的变换)的运用 思路点拨:(1)对于有条件限制的求值问题,要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般采用配角与拆角的方法;(2)要注意和、差、倍角公式及平方关系的正用、逆用.
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点评:在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是配角与拆角,如2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),2α+β=2(α+β)-β,2α-β=2(α-β)+β,α=(α+β)-β,α=(α-β)+β,β=(α+β)-α,β=-(α-β)+α等.变角主要是将所求角转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等.注意角的范围对函数值的影响.
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变式探究
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考点四 和、差及倍角三角公式的变形运用 【例4】 计算tan 20°+tan 40°+ tan 20°tan 40°.
=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)+ tan 20°tan 40° = 点评:不仅对公式的正用、逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉.
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变式探究 4.(1)(2011·济宁市一模)已知α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β)的值是 ( )
A.-1 B.1 C.2 D.4 (2)已知A,B为锐角,且满足tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos(A+B)=________.
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考点五 同角公式、和差倍角公式的综合运用 【例5】 (2011·广州市二模)已知sin α= ,α∈ ,tan β= .
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变式探究
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课时升华
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2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数是高考的重点考查内容之一,同时也是三角部分中后继学习的基础,是多数考生得分的主要得分点之一.在复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式时应注意以下几点:(1)不仅对公式的正用、逆用要熟悉,而且对公式的变形应用也要熟悉;(2)善于拆角、配角;(3)注意倍角的相对性;(4)要时刻注意角的取值范围;(5)化简要求;(6)熟悉常用的方法与技巧,如切化弦、异名化同名、异角化同角等. 3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构.第一,观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二,看函数名称之间的关系,通常“切化弦”.第三,观察代数式的结构特点.
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感 悟 高 考 品味高考
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高考预测
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