第五章 时间序列分析.

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1 第五章 时间序列分析

2 第一节 时间序列概述

3 一、时间序列及其用途 1、何谓时间序列？ 2、时间序列如何构成？ 3、常见的时间序列什么样？ 4、时间序列的有哪些种？
5、时间序列有何用处？

4 时间序列 （一个例子） 表 国内生产总值等时间序列 年 份 国内生产总值 (亿元) 年末总人口 (万人) 人口自然增长率 (‰)
表 国内生产总值等时间序列 年 份 国内生产总值 (亿元) 年末总人口 (万人) 人口自然增长率 (‰) 居民消费水平 (元) 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.53 803 896 1070 1331 1781 2311 2726 2944 3094

5 时间序列 指将某一统计指标数据按照时间顺序排列起来而形成的统计序列，也称时间数列或动态数列。

6 时间序列构成要素 时间要素 数据要素

7 时间序列的用途 可以描述现象在具体时间条件下的发展状况和结果； 可以进行各种动态对比分析，研究现象发展变化的方向和程度；
可以分析现象的发展变化趋势及其规律，如长期趋势、季节趋势等； 根据对现象发展变化趋势与规律的分析，可以进行动态预测。

8 二、时间序列的种类 时间序列 研究对象的 多少 时间的 连续性 数列的 分布规律 数据的 表现形式 统计特征 …

9 时间序列的分类 时间序列 平均数序列 绝对数序列 相对数序列 时期序列 时点序列

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11 时间序列的分类 绝对数时间序列 相对数时间序列 平均数时间序列 一系列绝对数按时间顺序排列而成 时间序列中最基本的表现形式
反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 分为时期序列和时点序列 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的排序 相对数时间序列 一系列相对数按时间顺序排列而成 平均数时间序列 一系列平均数按时间顺序排列而成

12 三、绝对数时间序列 1、定义 2、内容 3、分类 又称总量指标时间序列，指将一系列同类的统计绝对数按照时间先后顺序排列起来而形成的统计序列。
反映现象各时期内的总量水平，或者各时点上的发展水平。 3、分类 时期序列和时点序列

13 时期序列与时点序列的比较 项 目 时期数列 时点数列 定 义 统计数是时期数 统计数是时点数 各项数据相加是否有实际意义 有 无
项 目 时期数列 时点数列 定 义 统计数是时期数 统计数是时点数 各项数据相加是否有实际意义 有 无 统计数据的大小与时期长短有无关系 数据的取得方式 连续登记 间断登记

14 时期数列 数列中的各项指标反映某现象在一段时期内发展过程的总量。 时期数列的特点： ⑴可加性，各项数值可以相加（月、季度和年）
⑵指标值大小与时期长短有关（由可加性决定） ⑶每个指标数值通过连续统计的方式获得

15 时点数列 数列中的各项指标反映某现象在某一时点上的状况（状态）。 时点数列的特点： ⑴各项数值不可相加
⑵指标值大小与时期长短无直接关系（如月末和年末职工；但不同年份人口可能会有关系，如果有增长的时间趋势） ⑶每个指标数值采取间断统计的方式获得

16 相对指标和平均指标是由总量指标派生出来的；
相对指标或平均指标时间序列反映了社会经济现象之间相互联系的发展过程。

17 四、相对数时间序列 1、定义 将一系列同类的统计相对数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列。 2、内容
反映社会经济现象数量对比关系的变化情况。

18 3、种类 第一种，由两个时期数列对比所形成的相对数时间数列； 第二种，由两个时点数列对比所形成的相对数时间数列； 第三种，由一个时期数列和一个时点数列对比所形成的相对数时间数列。

19 例：90年代以来我国GDP的发展速度（以上年为100%）

20 五、平均数时间序列 1、定义 将一系列同类的统计平均数按照时间先后顺序排列起来而形成的时间序列。 2、内容
反映社会经济现象一般水平的变化过程的发展趋势。

21 例：90年代以来我国职工的平均工资（单位：元）

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23 时 间 序 列 的 分 析 方 法11 水平指标 对比分析法 速度指标 长期趋势的测定 构成分析法 季节变动的测定 ………… 发展水平
增长水平 平均发展水平 平均增长水平 对比分析法 发展速度 增长速度 平均发展速度 速度指标 平均增长速度 长期趋势的测定 构成分析法 季节变动的测定 …………

24 时间序列分析指标 一、时间序列的水平分析指标 包括发展水平、平均发展水平、增减量、平均增减量 二、时间序列的速度分析指标
包括发展速度、平均发展速度、增减速度、平均增减速度

25 第二节 时间序列的水平分析

26 时间序列的水平分析指标 （一）发展水平 （二）平均发展水平 （三）增长量 （四）平均增长量

27 发展水平与平均发展水平 （概念要点） 发展水平 平均发展水平 现象在不同时间上的观察值 说明现象在某一时间上所达到的水平
表示为a1 ，a2，… ，an 或 a0 ，a1 ，a2 ，… ，an 平均发展水平 现象在不同时间上取值的平均数，又称序时平均数 说明现象在一段时期内所达到的一般水平 不同类型（在此是什么含义）的时间序列有不同的计算方法 回忆之前不同尺度的数据类型进行比较

28 一、发展水平 1、概念 发展水平(Developing level)是时间序列中各具体时间条件下的数值，反映事物的发展变化在一定时期内或时点上所达到的水平。发展水平是计算其它所有动态分析指标的基础。

29 （2）按照时间序列的速度分析指标需要分为：基期水平和报告期水平
2、种类 （1） 按照所处位置不同分为：期初（最初）水平、期末（最末）水平 、期间（中间）水平。 （2）按照时间序列的速度分析指标需要分为：基期水平和报告期水平 如果基期水平记为 a0，则报告期水平记为a1、 a2、 a3、 a4 …..，

30 二、平均发展水平 1、概念 社会经济现象各个发展水平的平均，又称序时平均数或动态平均数。 2、反映内容
现象一定时间内发展变化所达到的一般水平（一个时期的代表值）。

31 3、序时平均数与静态平均数的比较 异同 特点 静态平均数 动态平均数 联系 抽象的反映内容 一般水平 区别 依据的数列 变量数列 时间数列
平均的差异 不同总体单位的 不同时间的 说明内容 总体一定历史条件下的一般水平 现象一定发展阶段的一般水平

32 4、平均发展水平的计算 (1)绝对数时间序列计算发展水平 (2)相对数时间序列计算发展水平 (3)平均数时间序列计算发展水平

33 （1）绝对数时间序列计算发展水平 ①时期数列计算平均发展水平， 若等时间间隔，直接采用简单算术平均数， 计算公式：
若不等时间间隔，则采用加权算术平均数，

34 例:某地区2005年各月总产值资料如下表，计算全年平均每月总产值和各季平均每月总产值。
月份 总产值（万元） 1 4200 7 5000 2 4400 8 5200 3 4600 9 5400 4 4820 10 5 4850 11 5500 6 4900 12 5600

35 时间序列 （一个例子） 表 国内生产总值等时间序列 年 份 国内生产总值 (亿元) 年末总人口 (万人) 人口自然增长率 (‰)
表 国内生产总值等时间序列 年 份 国内生产总值 (亿元) 年末总人口 (万人) 人口自然增长率 (‰) 居民消费水平 (元) 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 10.55 10.42 10.06 9.53 803 896 1070 1331 1781 2311 2726 2944 3094

36 绝对数序列的序时平均数 （计算方法）  时期序列 计算公式： 【例】 根据表中的国内生产总值序列，计算各年度的平均国内生产总值

37 ②由时点数列计算 ①连续时点数列 A、逐日登记 B、间隔登记 ②间断时点数列 A、间隔相等 B、间隔不等

38 ①连续时点数列 A、逐日登记，采用简单算术平均法

39 例：某企业1998年元月上旬职工人数资料如下表，计算该企业元月上旬的平均每天的职工人数。
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 职工人数（人） 300 306 320 324 326 330 340

40 B、间隔登记，当现象发生时登记一次的时点数列，采用加权算术平均法

41 例：某企业4月1日职工有300人，4月11日新进厂9人，4月16日离厂4人，则该企业4月份平均职工人数为
后一时点的数据并非前一时点数据逐渐变化的结果，实际情况是前一时点现象一直维持到后一点的前一天才发生变化。因此，两个时点之间的代表值就是前一时点的数据。 后面的情况不同，后一时点的数据是前一时点数据逐渐变化的结果，所以，当假定这种变动是均匀变动时，可计算两个时点数据的简单平均数作为两个时点之间的代表值。

42 绝对数序列的序时平均数 （计算方法） 当间隔相等(n1 = n2= …= ni-1)时，有  时点序列—间隔相等 a1 a2 a3 an

43 ②间断时点数列 A、间隔相等：首末折半法：各期间求平均。

44 举例：

45 绝对数序列的序时平均数 （实例） 【例】 根据表1中年末总人口数序列，计算1991～1998年间的年平均人口数

46 绝对数序列的序时平均数 （计算方法）  时点序列— 间隔不相等 a1 a2 a3 an a4 an-1 T1 T2 T3 Tn-1

47 B、间隔不等：用加权算术平均法。  计算步骤 计算出两个点值之间的平均数 用相隔的时期长度 (fi ) 加权计算总的平均数

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49 绝对数序列的序时平均数 （实例） 【例】设某种股票1999年各统计时点的收盘价如表，计算该股票1999年的年平均价格
表 某种股票1999年各统计时点的收盘价 统计时点 1月1日 3月1日 7月1日 10月1日 12月31日 收盘价(元) 15.2 14.2 17.6 16.3 15.8

50 这里， 为分子的序时平均数， 可按时上面时期数列或时点数列公式计算 （2）由相对数或平均数计算序时平均数 为分母的序时平均数。
（由两个有联系的总量指标派生出来的，因此不能直接计算） （2）由相对数或平均数计算序时平均数 这里， 为分子的序时平均数， 为分母的序时平均数。 可按时上面时期数列或时点数列公式计算

51 相对数或平均数的分子和分母有以下搭配： A：相对数或平均数的分子和分母均为时期数列。
B：相对数或平均数的分子为时期数列，分母为间断的间隔相等的时点数列。 C：相对数或平均数的分子和分母均为间断的间隔相等的时点数列。

52 A：相对数或平均数的分子和分母均为时期数列。

53 例：某企业某年第一季度各月销售额资料 月份 1月 2月 3月 实际销售额 180 160 160 计划销售额 160 150 150
月份 月 月 月 实际销售额 计划销售额 计划完成百分数

54 B：相对数或平均数的分子为时期数列，分母为间断的间隔相等的时点数列。

55 例：某商场第四季度资料（单位：万元） （1） 同理： 月份 9月 10月 11月 12月 (a)商品销售额 1200 800 800 750
月份 月 月 月 月 (a)商品销售额 (b)月末人数 求：各月平均每月的劳动生产率、第四季度平均每月的劳动生产率、第四季度的劳动生产率 （1） 同理： 分子为时期数列；分母为时点数列

56 （2）第四季度平均每月的劳动生产率

57 （3）第四季度的劳动生产率（与（2）的关系）
或者：

58 C：相对数或平均数的分子和分母均为间断的间隔相等的时点数列。

59 相对数序列的序时平均数 （计算方法） 先分别求出构成相对数或平均数的分子ai和分母 bi 的平均数
再进行对比，即得相对数或平均数序列的序时平均数 基本公式为

60 相对数序列的序时平均数 （计算方法与实例）
【例】已知1994~1998年我国的国内生产总值及构成数据如表。计算1994~1998年间我国第三产业国内生产总值占全部国内生产总值的平均比重 表 我国国内生产总值及其构成数据 年 份 1994 1995 1996 1997 1998 国内生产总值(亿元) 其中∶第三产业(亿元) 比重(%) 31.9 30.7 30.1 32.1 32.8

61 相对数序列的序时平均数 （计算结果） 解：第三产业国内生产总值的平均数 全部国内生产总值的平均数 第三产业国内生产总值所占平均比重

62 三、增长水平（增长量） 1、概念 时间序列中报告期与相比较的基期发展水平之差，即： 增长量=报告期发展水平—基期发展水平 2、反映内容
反映社会经济现象报告期比基期增加或减少的数量。 若为正，表示呈现（正增长）增长趋势；若为负，表示呈现（负增长）下降趋势。

63 3、种类 ⑴逐期增长量：a1-a0, a2-a1 ,…., an-an-1 ⑵累计增长量：a1-a0, a2-a0 ,…., an-a0 逐期增长量： 累计增长量：

64 4、两种增长量之间的关系: ①累计增长量等于相应时期的各个逐期增长量之和 ②两个相邻的累计增长量之差等于相应的逐期增长量

65 增长量 （概念要点） 报告期水平与基期水平之差，说明现象在观察期内增长的绝对数量 有逐期增长量与累积增长量之分
报告期水平与前一期水平之差 计算形式为：Δi=ai-ai-1 (i =1,2,…,n) 累积增长量 报告期水平与某一固定时期水平之差 计算形式为：Δi=ai-a0 (i=1,2,…,n) 各逐期增长量之和等于最末期的累积增长量

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67 四、平均增长量 1、概念：一段时期内平均每期增加或者减少的绝对数量 2、计算： 平均增长量= 即平均增长量=

68 平均增长量 （概念要点） 1. 观察期内各逐期增长量的平均数 2. 描述现象在观察期内平均增长的数量 3. 计算公式为

69 第三节 时间序列的速度分析

70 时间序列的速度分析指标 （一）发展速度 （二）增长速度 （三）平均发展速度 （四）平均增长速度

71 一、发展速度 1、定义：现象两个不同发展水平的比值（速度） 2、反映内容：反映社会经济现象发展水平的相对指标 3、公式： 发展速度 =

72 4、环比发展速度和定基发展速度 按照基期不同进行的分类 环比发展速度 定基发展速度

73 （1）定基发展速度 是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发展方向和速度，故亦称为总速度。 （2）环比发展速度 是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某种社会经济现象的逐期发展方向和速度。

74 （3）联系 环比发展速度的乘积等于相应的定基发展速度 相邻两期的定基发展速度之商等于后期的环比发展速度

75 二、增减速度 1、定义：增减量与基期水平之比 2、反映内容：现象增长程度的相对指标 3、公式： 增长速度

76 定基增长速度= 环比增长速度=

77 4、定基增长速度和环比增长速度的区别 5、注意 环比增长速度与定基增长速度没有直接换算联系，（不同于环比发展速度与定基发展速度） 当报告期水平与基期水平方向不一致时不宜用增长速度

78 发展速度与增长速度的计算 （实例） 【例】 根据表中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度 表 第三产业国内生产总值速度计算表 年 份 1994 1995 1996 1997 1998 国内生产总值(亿元) 发展速度 (%) 环比 定基 — 100 120.2 113.8 136.8 117.7 161.0 108.6 174.8 增长速度 20.2 13.8 36.8 17.7 61.0 8.6 74.8 *不同指标之间如何换算？提问

79 三、平均发展速度1 1 1、定义 各个时间单位的环比发展速度的序时平均数 2、反映内容： 较长时期内逐期平均发展变化的程度
3、平均发展速度的计算 （1）几何平均法 （2）方程式法

80 （1）几何平均法（水平法） 基本出发点： 从时间数列的最初发展水平开始,以数列的平均速度去代替各期的环比发展速度，由此推算出期末理论发展水平与期末实际发展水平相一致，即在基期发展水平 的基础上，平均每年以 这么快的发展速度发展 ，经过若干（季、月）后，才能达到报告期的发展水平 。 公式为： 其中， 表示平均发展速度。 不变速度

81 时间序列各期时间间隔相同时，以下公式进行运算：1
R与全距类似 环比发展速度

82 实际上是由最初和最末两期的水平决定的，只要最末水平决定，中间各期的水平变化对平均发展速度的计算结果并没有影响，所以也称为水平法。
由于资料不同，水平法（几何平均法）侧重于考察现象在最末一年的发展水平。

83 公式一：已知各期的各期环比发展速度 求平均每期的发展速度，可用： 式中：X1、X2…Xn代表各期环比发展速度。

84 公式二：已知基期 和报告 ，求平均发展速度 公式：

85 公式三：已知总发展速度 R，求平均发展速度

86 年电冰箱生产平均发展速度计算方法： 方法1 或 方法2

87 方法3

88 【例】某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2翻？
一种常用的方法 【例】某地区1980年国内生产总值为450亿元，若每年能保持8%的增长速度，问经过多少年能实现翻2翻？

89 四、平均增长速度 平均增长速度=平均发展速度-1

90 【例】 根据表中第三产业国内生产总值序列，计算各年的环比发展速度和增长速度，及以1994年为基期的定基发展速度和增长速度
表 第三产业国内生产总值速度计算表 年 份 1994 1995 1996 1997 1998 国内生产总值(亿元) 发展速度 (%) 环比 定基 — 100 120.2 113.8 136.8 117.7 161.0 108.6 174.8 增长速度 20.2 13.8 36.8 17.7 61.0 8.6 74.8

91 平均发展速度与平均增长速度 （算例） 【例】 根据表中的有关数据，计算1994～1998年间我国第三产业国内生产总值的年平均发展速度和年平均增长率  平均发展速度  平均增长率

92 平均发展速度 （几何法的特点） 从最初水平a0出发，每期按平均发展速度发展，经过n期后将达到最末期水平an
按平均发展速度推算的最后一期的数值与最后一期的实际观察值一致 只与序列的最初观察值a0和最末观察值an有关 如果关心现象在最后一期应达到的水平，采用水平法计算平均发展速度比较合适

93 水平分析与速度分析结合与应用 时间序列的速度指标是由水平指标对比计算而来的，以百分数表示的抽象化指标。速度指标把现象的具体规模或水平抽象掉了，因此不能反映现象的绝对量差别。

94 在应用速度指标进行分析时，应尽量注意把作为计算基础的水平指标结合起来：
要结合具体研究目的的适当选择基期，并注意其所依据的基本指标在整个研究时期的同质性。……以保证代表性。 要联系各个时期的环比发展速度来补充说明平均发展速度。 要结合基期水平进行分析 平均速度指标应结合其所依据的各个基本指标

95 速度的分析与应用 （需要注意的问题） 当时间序列中的观察值出现0或负数时，不宜计算速度
例如：假定某企业连续五年的利润额分别为5、2、0、-3、2万元，对这一序列计算速度，要么不符合数学公理，要么无法解释其实际意义。在这种情况下，适宜直接用绝对数进行分析 在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析

96 速度的分析与应用 （一个例子） 【例】 假定有两个生产条件基本相同的企业，各年的利润额及有关的速度值如表 表 甲、乙两个企业的有关资料
表 甲、乙两个企业的有关资料 年 份 甲 企 业 乙 企 业 利润额(万元) 增长率(%) 1996 500 — 60 1997 600 20 84 40

97 【增长1%的绝对值】----绝对水平和相对水平的结合运用，指在报告期与基期水平的比较中，报告期比基期每增长1％所包含的绝对数量。
速度每增长一个百分点而增加的绝对量 用于弥补速度分析中的局限性 计算公式为 甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元 乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元

98 第四节 时间序列的趋势分析12

99 一、时间数列的构成因素 现象在其发展变化过程中，会受到许多因素的影响，这些因素主要有： 时间数列的指标值是这些因素共同作用的结果。
趋势变动（T） 季节变动（Ｓ） 循环变动（Ｃ） 随机变动（Ｉ） 时间数列的指标值是这些因素共同作用的结果。 时间序列分析的任务之一，就是对时间序列中上述构成因素进行测定和分析，从而揭示现象变动的规律和特征，为认识和预测事物的发展提供依据。

100 图形描述 (例题分析)

101

102 含有不同成分的时间序列 平稳 趋势 季节 季节与趋势

103 图形描述 (例题分析) 指数趋势 线性下降 非线性 随机波动

104 ⒈趋势变动（长期趋势）：是指时间数列在较长持续期内展现出来的总态势。对于现象的发展起着支配性的决定作用，使其沿着一个方向持续上升、下降或在原来的水平上起伏波动。
⒉随机变动（不规则变动）：是由于偶然性因素的影响而表现出的不规则波动。只对现象的发展起局部的、非决定性的作用 。

105 如农业产量的变化中，选择优良品种就属于趋势因素，因为它可促使农产量不断增长。
而气候等因素的变化则可能使农产量增产，也可使其减产，属于偶然因素。 选择优良品种导致的产量的变动为趋势变动; 气候等因素导致的产量的变动为不规则变动。

106 ⒊季节变动：某些现象由于受气候或习惯性因素的影响，会在一个年度内呈现出有规律的周期性变动 。一般以年为周期。
⒋循环波动：指现象以若干年为周期、上升与下降交替出现的循环往复的变动。 说明：两者的本质区别在于周期的长短不同。

107 二、时间数列的分析模型 时间数列是上述四种因素合力的结果。 它们对时间数列的影响可表示为： １、假定四种因素相互独立 Y=T+S+C+I
２、假定四种因素之间存在着交互作用　　　　　 　　　　　Y=TSCI

108 三、时间数列的分解分析 时间数列的分解，是按照时间数列的分析模型，测定出各影响因素的具体数值。 介绍两种：
测定长期趋势：假定时间数列中只包含长期趋势和随机变动，即：Y=TI，只需消除随机变动即可。 测定季节变动：假定时间数列中只包含季节因素和随机变动，即：Y=ＳI，只需消除随机变动即可。

109 四、测定长期趋势的基本方法 1、时距扩大法 2、移动平均法 3、最小平方法

110 （一）时距扩大法 原理：将时间数列指标值所属的时间单位予以扩大，然后对新时间单位内的指标值进行合并，得到一个扩大了时距的动态数列，这样就消除了较小时距单位内随机变动的影响。

111 某商场某年商品销售额资料(万元) 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售额 50 55 48 46 56 57 52 54 60 66 指标 一季 二季 三季 四季 商品销售额（万元） 153 159 165 180 平均月销售额（万元） 51 53 55 60

112 （二）移动平均法 当动态数列的变动趋势为线性状态时，可采用此法。 移动平均项数的选择，可采用3、4、5、7等项平均。

113 移动长度越长，所得的趋势值越少，但数列越平滑。
移动长度越短，所得的趋势值越多，但数列的平滑度越弱。

114 该方法的目的是对原时间数列（Y）进行平滑或修匀，形成一个新数列（T），在这个新数列中，短期的随机波动被消除，呈现出现象在较长时间内的基本发展趋势。

115 （1）原理 是时距扩大法的改良，按照事先规定的移动时间长度N，采取逐项向后递移，计算出序时平均数序列，主要修匀不规则变动和季节变动的影响，使序列呈现出比较明显的趋势。

116 （2）具体计算 首先，确定移动平均数的移动周期长度。 ①移动周期一般以季节周期、循环变动周期长度为准；
②如若不存在明显的季节周期和循环周期，一般而言，我们在确定移动周期的时间长度时，最好取奇数项目。

117 凡采用奇数项求得的移动平均数都正对各时期的原值，一次即得原值。

118 ③如果必须取偶数项，则有需要根据数据资料的特点确定。例如当时间数列存在明显的季节变动时，季度资料则需要用四期移动平均来消除季节变动；月度资料则需要用12期移动平均。此外，统计中的一般做法就是再对移动平均数时间数列进行第二次偶数项移动平均，目的是为了“正位”，第二次移动的周期一般取两期。

119 凡采用偶数项求移动平均，比如四项移动平均，
所得的第一个移动平均数 再进行一次修正得

120 奇数项移动平均所形成的新数列，首尾各少 项（N为移动项目数）；偶数项移动平均所形成的新数列，首尾各少 项。如二年或三年移动平均，首尾各少一项；四年或五年移动平均，首尾各少二项。

121 其次，就是计算移动平均数。 设有一时间序列 ，其中 ，选择连续的N个观察期（N<n，称跨越期）数据计算算术移动平均数为：
设有一时间序列 ，其中 ，选择连续的N个观察期（N<n，称跨越期）数据计算算术移动平均数为： {表示位于跨越期N的最末一观察期}；

122 （3）注意事项 ①移动平均具有平滑修匀的作用（修匀不规则变动和季节变动），N越大平滑修匀作用越明显；
②移动平均数应该放在时间的中间位置，若N为奇数，只需要进行一次移动平均即可，若N为偶数，则需要再进行一次二项移动平均； ③若数列中包含周期趋势，则N可以选择周期的长度4或12；

123 ④移动平均法会损失掉原始数据，N越大损失数据越多。若N为偶数则首尾各损失个 数据，若N为奇数则首尾各损失个 数据；
⑤一般不能够根据派生数列进行动态预测。

124 例 求41、42、52三项的算术平均数，放在与2月份对齐的地方，其余相同。

125 4项移动平均,需做两次移动平均。即项数第一次采用4项移动平均，所得平均值对准两期的中间位置，第二次采用2项移动平均，所得平均值对准原时间数列的各项。

126 年份 粮食产量 3年移动 4年移动 4年移正 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2.86 2.83 3.05 3.32 3.21 3.25 3.54 3.87 4.07 3.79 __ 2.91 3.07 3.19 3.26 3.00 3.55 3.82 3.91 3.02 3.09 3.06 3.15

127 移动平均法 (实例) 【例】已知1981～1998年我汽车产量数据如表。分别计算三年和五年移动平均趋势值，以及三项和五项移动中位数，并作图与原序列比较 表 ～1998年我国汽车产量数据 年 份 产量(万辆) 年份 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 17.56 19.63 23.98 31.64 43.72 36.98 47.18 64.47 58.35 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 51.40 71.42 106.67 129.85 136.69 145.27 147.52 158.25 163.00

128 移动平均法 (趋势图) 50 100 150 200 1981 1985 1989 1993 1997 图 汽车产量移动平均趋势图 （年份）
50 100 150 200 1981 1985 1989 1993 1997 产量 五项移动平均趋势值 五项移动中位数 汽 车 产 量 （万辆） 图 汽车产量移动平均趋势图 （年份）

129 （三）线性模型法 现象的发展按线性趋势变化时，还可用线性模型来描述： 又称直线趋势方程。其中 为趋势值；
又称直线趋势方程。其中 为趋势值； t为时间；a为截距；b为斜率，表示时间 每变动一个单位时， 的平均变化值。

130 趋势方程中的两个未知的参数 a、b 要用最小平方法求得。

131 最小平方原理 通过数学的方法配合一条理想的趋势线，这条线必须满足 其中， 为实际值; 为趋势值

132 ｝ 最小二乘法 （图示） y x (xn , yn) (x1 , y1)  (x2 , y2) (xi , yi) ei = yi-yi
＾

133 最小二乘法 ( 和 的计算公式)  根据最小二乘法，可得求解 和 的公式如下 代入最小平方公式，求偏导

134 根据最小平方法的要求，可得趋势方程中的两个未知参数a、b的计算公式：

135 b 的公式还可以写成:

136 a、b求出后，趋势方程即为已知，假设方程为：
将 t 回代入方程中， 即可得到一系列的趋势值

137 这一系列的 构成的新数列，已经将原数列（Y）中的不规则变动进行了剔出，呈现的是现象变化的长期趋势 。
利用计算出的长期趋势，可观察现象发展变化的规律，并进行外推预测 。

138

139 设直线方程为 由最小平方原理，解得：

140

141 在粮食产量例中，将1990年设为t =1，则1991年为t =2，…… 1998年设为t =9
用计算器算得：

142 故直线方程为： 将 t 代回到方程中，则得一系列趋势值。 预测1999年的粮食产量，即t=10时，

143 【例】利用表中的数据，根据最小二乘法确定汽车产量的直线趋势方程，计算出1981～1998年各年汽车产量的趋势值，并预测2000年的汽车产量，作图与原序列比较
表 汽车产量直线趋势计算表 年份 时间标号 t 产量(万辆) Yi t×Yt t2 趋势值 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.56 19.63 23.98 31.64 43.72 36.98 47.18 64.47 58.35 51.40 71.42 106.67 129.85 136.69 145.27 147.52 158.25 163.00 39.26 71.94 126.56 218.60 221.88 330.26 515.76 525.15 514.00 785.62 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 0.00 9.50 19.00 28.50 38.00 47.50 57.00 66.50 76.00 85.50 95.00 104.51 114.01 123.51 133.01 142.51 152.01 161.51 合计 171 2109

144 $ $ Yt = -9.4995 + 9.5004 t 根据上表得 a 和 b 结果如下 汽车产量的直线趋势方程为
2000年汽车产量的预测值为

145 线性模型法 (趋势图) 图 汽车产量直线趋势 50 100 150 200 1981 1985 1989 1993 1997 汽车产量
50 100 150 200 1981 1985 1989 1993 1997 汽车产量 趋势值 图 汽车产量直线趋势 （年份） 汽 车 产 量 （万辆）

146 季节变动及其测定目的 季节变动 测定目的 现象在一年内随着季节更换形成的有规律变动 各年变化强度大体相同、且每年重现 指任何一种周期性的变化
时间序列的又一个主要构成要素 测定目的 确定现象过去的季节变化规律 消除时间序列中的季节因素

147 季节变动的分析原理 将季节变动规律归纳为一种典型的季节模型 季节模型由季节指数所组成 季节指数的平均数等于100%
根据季节指数与其平均数(100%)的偏差程度测定季节变动的程度 如果现象没有季节变动，各期的季节指数等于100% 如果某一月份或季度有明显的季节变化，各期的季节指数应大于或小于100%

148 季节变动的分析原理 季节模型 以各个指数的平均数等于100%为条件而构成
时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以相同的形态出现 由季节指数组成，各指数刻划了现象在一个年度内各月或季的典型数量特征 以各个指数的平均数等于100%为条件而构成 如果分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，则由4 个指数组成

149 季节变动的分析原理 季节指数 反映季节变动的相对数 以全年月或季资料的平均数为基础计算的 平均数等于100%
月(或季)的指数之和等于1200%(或400%) 指数越远离其平均数(100%) 季节变动程度越大 计算方法有按月(季)平均法和趋势剔出法

150 按月(季)平均法 (原理和步骤) 根据原时间序列通过简单平均计算季节指数 假定时间序列没有明显的长期趋势和循环波动 计算季节指数的步骤
计算同月(或同季)的平均数 计算全部数据的总月(总季)平均数 计算季节指数(S)

151 【例】 已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。试用按季平均法计算各季的季节指数
按月(季)平均法(实例) 【例】 已知我国1978～1983年各季度的农业生产资料零售额数据如表11.15。试用按季平均法计算各季的季节指数 表 ～1983年各季度农业生产资料零售额数据 年 份 销售额(亿元) 一季度 二季度 三季度 四季度 1978 1979 1980 1981 1982 1983 62.6 71.5 74.8 75.9 85.2 86.5 88.0 95.3 106.3 106.0 117.6 131.1 79.1 88.5 96.4 95.7 107.3 115.4 64.0 68.7 68.5 69.9 78.4 90.3

152 按月(季)平均法 (计算表) 表 农业生产资料零售额季节指数计算表 年 份 销售额(亿元) 一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计 合计
表 农业生产资料零售额季节指数计算表 年 份 销售额(亿元) 一季度 二季度 三季度 四季度 全年合计 1978 1979 1980 1981 1982 1983 62.6 71.5 74.8 75.9 85.2 86.5 88.0 95.3 106.3 106.0 117.6 131.1 79.1 88.5 96.4 95.7 107.3 115.4 64.0 68.7 68.5 69.9 78.4 90.3 293.7 324.0 346.0 347.5 388.5 423.3 合计 456.5 644.3 582.4 439.8 2123.0 同季平均 76.08 107.38 97.07 73.30 88.46 季节指数(%) 86.01 121.39 109.73 82.86 100.00