§3.5 回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例.

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1 §3.5 回归模型的其他函数形式 一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例

2 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。

3 一、模型的类型与变换 1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X c<0

4 2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A +  ln K +  ln L

5 3、复杂函数模型与级数展开法 例如，常替代弹性CES生产函数 (1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入
：替代参数， 1、2：分配参数 方程两边取对数后，得到： 将式中ln(1K- + 2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得

6 并非所有的函数形式都可以线性化 无法线性化模型的一般形式为: 其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：

7 二、非线性回归实例 例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为 (*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变 (**) 为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。

8 因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。
首先,确定具体的函数形式 根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系: 对数变换: (***) 考虑到零阶齐次性时 (****) (****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。

9 X：人均消费 X1：人均食品消费 GP：居民消费价格指数 FP：居民食品消费价格指数 XC：人均消费（90年价） Q：人均食品消费（90年价） P0：居民消费价格缩减指数（1990=100） P：居民食品消费价格缩减指数（1990=100

10 建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:
中国城镇居民人均食品消费 特征： 消费行为在1981~1995年间表现出较强的一致性 1995年之后呈现出另外一种变动特征。 建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型: (9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)

11 按零阶齐次性表达式回归: 为了比较，改写该式为： 发现与 接近。 意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
（75.86）(52.66) (-3.62) 为了比较，改写该式为： 发现与 接近。 意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征