§5.4 小振动 (problem of small oscillations)

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1 §5.4 小振动 (problem of small oscillations)
内容： · 振动概述 · 两个自由度保守系的自由振动 难点： · 多自由度的自由振动 · n个自由度保守系的自由振动 · 简正坐标和简正振动 重点: · 两个自由度的自由振动 · 简正坐标 难点： 多自由度的自由振动

2 一、 振动概述 小振动指 和 都是很小的量，此时 体系的动能和势能都只精确到二次项。 （1）振动的分类 （2）线性振动概念
振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学中的分子振动光谱等）中普遍存在。本节讨论多自由度体系微振动的一般处理方法和小振动在物理上的应用。 小振动指 和 都是很小的量，此时 体系的动能和势能都只精确到二次项。 一、 振动概述 （1）振动的分类 按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振动（机械能不断转化为热能）和强迫振动（不断从外界获得能量）三类，其运动微分方程是同一种类型的。 按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由度振动三类。 按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。 （2）线性振动概念 凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。

3 （3）力学体系平衡位置的性质 平衡位置的三种情况：如图所示

4 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置——保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即
（a）稳定平衡 如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置——保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即 （自由度为1） （b）不稳定平衡 势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。 （c）随遇平衡 势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。

5 5.16 已知：m, r, R； 求：圆球微摆动的周期。 R r  O C E 固定

6 解: R r  O C E 固定 完整、理想约束系统 代入拉格朗日方程得：

7 弹簧质点系统 自由振动: 质点仅在线性恢复力作用下运动 运动特性 简谐性 周期与初始条件无关 振幅与初位相取决于初始条件
自由振动: 质点仅在线性恢复力作用下运动 运动特性 简谐性 周期与初始条件无关 振幅与初位相取决于初始条件 常力的影 响: 振动中心移到静平衡位置 固有频率的常力的影响:计算方法

8 例1 并联弹簧系统的固有频率 运动微分方程法 (以静平衡位置为原点) 能量法 (以静平衡位置为势能零点)

9 二、两个自由度系统的小振动 （1）拉格朗日方程 设体系的两个广义坐标为 、 ，则体系的拉格朗日方程为

10 对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的二次齐次式，即
（6.1） 其中 是广义坐标的函数，且 （6.2） 势能仅是广义坐标的函数 为了简化和近似，广义坐标零点取平衡位置上，将 和T中的 在平衡位置用泰勒级数展开

11 三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量，（6.3）式可简化为
（6.4） （6.3）式中的（**）是 三次以上的项。如果保留到最低阶的非零小量，（6.3）式可简化为 ） （6.5） 式中 ，是常数。 思考：（6.3）式中为何可略去（**）项和取 ， ？

12 动能T的表式中也只要保留到二级小量，故 只取零级近似即可。 式中 也都是常数。 将（6.5）和（6.6）代入（6.1）得 （6.7） 或 （6.8） 上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐次微分方程组。

13 （2）微分方程的解.频率方程（久期方程） 用常规方法求解。设（6.7）式的解为 （6.9） 将（6.9）式代入（6.7）得 （6.10） 或
（6.11） 由（6.10）知： ，由此得 ，对应于体系的平衡状态， 所需要的解。要使（6.10）中的 不是　　　　　　　　　　　　　　　　　有异于零的解，方程的系数行列式必须为 零，因 ，得，

14 （6.12） （方程6.12）称为频率方程（或久期方程）。可以证明它恒有两个正的实根。设 ，根据线性方程的原理，经过计算得方程（6.7）的通解为 为 和 （6.13） 式中四个常数 由初始条件 决定。 若两个正根相等（正等根）： ，则通解为 （6.14）

15 [例题1] 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。
解：自由度为2，取 和 为广义坐标，则 （1） 将（1）代入拉格朗日方程得 （2） 令（2）式的特解为 （3）

16 将（3）代入（2）得 （4） 要使上式的 有不恒为零的解，必须 （5） 由（5）得 （6）

17 将（6）代入（4）中的任一式得振幅比值 这里 　　　　　　　　　　为方程（4）的根，于是两个特解即可确定，两个特解的 线性叠加即得通解 （8） 常数 由初始条件决定。

18 三、 n个自由度保守体系的自由振动 （1）拉格朗日方程 （2）振动规律（拉格朗方程的通解） （6.15） 代入拉格朗方程，得 （6.16）
将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得 （6.15） 代入拉格朗方程，得 （6.16） （2）振动规律（拉格朗方程的通解） 令（6.16）的特解为 （6.17） （6.17）代入（6.16）式： （6.18）

19 要使上式有不为零的解的条件为 （6.19） 上式是关于 的n次多项式，有n个根 且都是正的实根。 振幅比： 将 代入（6.18）式，把 看作已知的，然后已知对（n-1）个 求解，可得 （6.20） 这些 都是常数，共有n（n-1）个。 方程（6.16）的一个特解为 （6.21）

20 这些特解的线性叠加即为通解： （6.22） 方程（6.22）中共有 个振幅中独立的只有 个，即 再加上n个相角 ，共有2n个待定常数，可由初始条件决定。 值，因此， 个振幅

21 四、 简振坐标和简正振动 以双单摆为例。 若选取 为广义坐标： 或 （6.23） 由此可得 （6.24）
力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很容易求解。 以双单摆为例。 若选取 为广义坐标： 和 或 （6.23） 由此可得 （6.24）

22 代入拉格朗日方程，得 （6.25） 显然通解为 （6.26） 其中 （6.27）

23 因此，在处理线性振动问题如果所选取的广义坐标能使T和V同时成为广义速度
和广义坐标 的平方和的形式 （6.28） 则代入拉格朗方程得 （6.29）

24 （6.30） 其解即为 选取这种能使T和V同时表示为 和 的平方和形式的广义坐标称为 简正坐标。 简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态，则是各种简正振动的线性叠加。

25 [例题2] 试求如图所示的两个耦合振子的振动频率。
解：自由度为2，以位移 为广义坐标，则 （1） 将（1）代入拉格朗日方程得 （2） （3） 以试探解 代入（2）、（3）式，得 （4） 角频率方程

26 和 引进两个新的坐标 分别将（2）和（3）相加减，得 由此得 和 振动模式的频率分别为 和

27 叫做体系的简正频率（normal angular frequency),或本征频率 称作简正坐标。
和 叫做体系的简正频率（normal angular frequency),或本征频率 称作简正坐标。 eigen angular frequency 体系的每一个广义坐标q只对应一个简正频率的振动。 两质点以ω1作同相（同步）振动，对称模式 两质点以ω1作异相（异步）振动，反对称模式

28 作业：5.17) 5.18)

29 第五章