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微积分学基本定理 与定积分的计算.

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1 微积分学基本定理 与定积分的计算

2 一 变限积分与原函数的存在性 1 变限积分的概念 定义

3 2 变限上积分的性质 1) 连续性 定理9.9

4 证明:

5 2) 原函数存在定理(微积分学基本定理) 定理9.10

6 由积分中值定理得

7 (1) (2)

8 (i) 解决了原函数的存在性问题 精僻地得出: 上的连续函数一定存在原函数,且 是 的一个原函数这一基本结论. (ii) 沟通了导数与定积分之间的内在联系 为微分学和积分学架起了桥梁,因此被称为微积分学 基本定理. (iii) 为寻找定积分的计算方法提供了理论依据 定理指出 是 的一个原函数,而 又是变上限 积分,故

9 (iiii) Newtom—leibnize公式(微积分基本公式)证明
证明:

10 牛顿(Newton)—莱布尼茨(Leibniz)公式

11 微积分基本公式表明: (2)求定积分问题转化为求原函数不定积分的的问题.

12 例 求 分析:这是 型不定式,应用洛必达法则.

13 3 积分第二中值定理 1) 定理9.11

14 2) 推论 证明:

15 因此证得

16 二 换元积分法与分部积分法 问题的提出 我们知道求定积分的关键是求原函数,而求原函数的方法是求不定积分,然而不定积分中有换元法,那么定积分是否也有换元法,有哪些不同? 在一定条件下,可以用换元积分法与分 部积分法来计算定积分.

17 1 定积分的换元法 (Formula for Integration by Substitution)
定理9.12 则有定积分换元公式

18 证明:

19 说明 (1) (2) (3)

20 例1 计算 原式

21 例2 计算 此题也可简要记法如下:

22 例3 计算

23 它与上面第三个积分相消,故

24 (Formula for Integration by Parts)
2 定积分的分部积分法 (Formula for Integration by Parts) 定理9.13 定积分的分部积分公式 注:为方便起见,分部积分公式常写成

25 证明

26 例4 计算

27 作 业: P 、3 、6 P221 1、(1)-(8) 2、(1)-(5)、4


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