本章首先借助矢量语言对质点的运动给予简洁而完备的描述，

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1 本章首先借助矢量语言对质点的运动给予简洁而完备的描述，
然后利用微积分求解质点的运动学方程； 最终解决运动学中的两类问题。

2 一 参考系 质点 1 参考系 为描述物体运动而选的标准物． 2 质点 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
一　参考系　质点　 1　参考系 为描述物体运动而选的标准物． 2　质点 物体能否抽象为质点，视具体情况而定． 地——日间距： 1.5 ×108 km 地球半径： 6.37 × 103 km 太阳 地球 物体大小和形状的变化对其运动的影响可忽略时的理想模型．

3 二 位置矢量　运动方程　位移 1　位置矢量 * 大小： 方向：

4 2　运动方程 分量式 P 从上式中消去参数 得质点的轨迹方程．

5 3　位移 B A 平面运动: 三维运动:

6 4 路程( ) 从P1到P2： 路程 位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯一的． (2) 一般情况 ． (3) 位移是矢量，路程是标量．

7 注意 的意义不同． ， ，

8 三　速度 B A s D 1 平均速度 在 时间内，质点位移为

9 2　瞬时速度（简称速度） 若质点在三维空间中运动，其速度

10 当 时, 速度方向 切线向前 速度大小 速度 的值 速率 平均速度大小? 平均速率

11 讨论 质点作曲线运动，判断下列说法的正误。

12 讨论 一运动质点在某瞬时位于位矢 的端点处，其速度大小为 （A） （B） （C） （D） 注意

13 例1 设质点的运动方程为 其中 式中x，y的单位为m(米)， t 的单位为s(秒)， （1）求 时的速度． （2）作出质点的运动轨迹图．

14 已知： 解 (1) 由题意可得 时速度为 速度 与 轴之间的夹角

15 （2）运动方程 消去参数 可得轨迹方程为 轨迹图 2 4 6 - 6 - 4 - 2

16 例2 如图A、B 两物体由一长为 的刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道上滑行．如物体 A以恒定的速率 向左滑行, 当 时, 物
l

17 解　 A B l 两边求导得

18 即 A B l 沿 轴正向 当　 时， 1.73 = B v

19 例: 恒定的速率u拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度为h, 求小船向岸边移动的速度。
解：以绞车定滑轮处为坐标原点, x 轴水平向右, y 轴竖直向下, 如图所示。 x l h x l h y o

20 设小船到坐标原点的距离为l , 任意时刻小船到岸边的距离x总满足 x 2 = l 2  h 2
两边对时间t 求导数, 得 拉动纤绳的速率, 纤绳在缩短, 故 ; 是小船向岸边移动的速率。 负号表示沿x 轴反方向。

21 四 加速度 A B 反映速度大小和方向随时间变化快慢的物理量 1 平均加速度 与 同方向

22 2 (瞬时)加速度 加速度 加速度大小 质点作三维运动时加速度为 加速度大小

23 加速度大小 加速度方向 直线运动 曲线运动 指向凹侧 说明：矢量性 瞬时性 相对性

24 讨论 吗？ 在Ob上截取 有 速度方向变化 速度大小变化

25 问 吗？ 讨论 例 匀速率圆周运动 O 因为 所以 所以 而

26 质点运动学两类基本问题 一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；
一　由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度； 二　已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程． 求导 积分

27 1. 第一类问题 已知运动学方程，求 例 已知一质点运动方程 求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时 (3) 轨迹方程 解 (1) 由运动方程得 (2) 当 t =2s 时 (3) 轨迹方程为

28 2. 第二类问题 已知加速度和初始条件，求 例 已知 , t =0 时， 求 和运动方程 解 由已知有 代入初始条件 代入初始条件

29 例3：设质点沿x轴作匀变速直线运动，加速度 不随时间变化，初位置为x0，初速度为 . 试用积分法求出质点的速度公式和运动方程.
解：因为质点做直线运动, 所以 对上式两边做积分运算, 得: 将初始条件带入上式, 确定积分常数 所以速度公式为:

30 由速度定义, 有 所以 对上式两边定积分: 得运动方程:

31 例4　有一个球体在某液体中竖直下落, 其初速度　 ，它在液体中的加速度为 ，问：(1)经过多少时间后可以认为小球已停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程有多长？

32 解　

33 10