4.5定积分的计算 主要内容: 1.牛顿—莱布尼兹公式. 2.定积分的换元积分法. 3.定积分的分部积分法.

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1 4.5定积分的计算 主要内容: 1.牛顿—莱布尼兹公式. 2.定积分的换元积分法. 3.定积分的分部积分法.

2 一、牛顿—莱布尼兹公式 1、微积分基本定理 2、牛顿——莱布尼兹公式

3 这种积分上限为变量的定积分称为变上限定积分。
1.微积分基本定理 设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，x∈ [a,b] ,则函数 f (x) 在 [a,b] 上可积。 以x为积分上限的定积分 显然它是x的函数， （如图）， 与x相对应， 即 这种积分上限为变量的定积分称为变上限定积分。 x y b a O y=f(x) Φ(x)

4 变上限定积分所确定的函数是被积函数的原函数，即设 f (x) 在 [a,b] 上连续，x∈ [a,b] ，则
定理1 （微积分基本定理） 定理1告诉我们： （1）变上限定积分的导数等于被积函数，这表明变上限定积分是被积函数的原函数，这揭示了微分（或导数）与（变上限）定积分之间的内在联系，因而定理1称为微积分基本定理。 （2）定理1要求函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，于是附带给出了原函数存在定理，即： 推论 某区间上连续函数在该区间上存在原函数。

5 例1 解 例2 解

6 例3 解 则这个变上限定积分是由 复合而成的， 按复合函数的求导法则，得

7 2. 牛顿—莱布尼兹公式 定理2 设 f (x) 在 [a,b] 上连续，且 F(x)是 f (x) 原函数，则 （﹡） 证 已知 F(x) 是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，有定理1知 也是 f (x) 的一个原函数，并且两个原函数相差一个常数，

8 公式（﹡）是著名的牛顿—莱布尼兹公式，常记作
有了牛顿—莱布尼兹公式，定积分的计算问题就归结为求被积函数的原函数在积分上、下限的函数值之差，从而巧妙地避开了求和式极限的艰难道路，为运用定积分计算普遍存在的总量问题找到较为简单的计算方法。 说明：

9 在计算定积分时，我们只要先求出被积函数的一个原函数 ，再求这个原函数在积分上、下限的函数值之差即可。
例4 求由抛物线 直线 x = 1和 x 轴围成的 曲边三角形的面积。 解 设所求曲边三角形的面积为 S ，则 例5 解

10 例6 解 若被积函数是分段函数，当分段点在积分区间内时，计算定积分要用定积分对区间的可加性（性质6）。例6的被积函数是绝对值函数，而绝对值函数是分段函数，且分段点x = 1在积分区间内，所以求积分时用了性质6。 说明：

11 例7 解 先用换元积分法求不定积分 取一个原函数 由牛顿—莱布尼兹公式，得 在本例求原函数时用到了不定积分的换元积分法。需消去新变量 t，还原为原积分变量 x，而后用牛顿—莱布尼兹公式。 注意：

12 二、定积分的换元积分法 依据N—L公式,求定积分是先求被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处的函数值之差。这种方法遇到用换元积分法求原函数时，需将新变量还原为原来的积分变量，才能求原函数值之差。定积分的换元积分法是省略还原为原积分变量的步骤,而直接用新限来计算定积分的方法。 下面用新方法来计算例7 ：

13 这样做需注意两点： 1、引入新函数 必须单调，使 t 从α变到β时， x 从 a 变到 b， 2、改变积分变量 时必须改变积分上、下限，简称换元必换限。 定理3（定积分的换元积分法） 设 （1）函数 f (x) 在以 a、b 为端点区间上连续, （2）函数 在以α、β为端点的区间上 单调,有连续导数， （3）当 t 从α变到β时， x 从 a 变到 b，

14 例8 求 解

15 三、定积分的分部积分法 设函数 u (x) 和 v (x) 在区间 [a, b] 上存在连续导数，则由
两端从 a 到 b 对 x 求定积分, 便得定积分的分部积分公式： 例9 求 解

16 例10 求 解 与求不定积分类似，在求定积分时也会遇到换元积分法和分部积分法综合应用的情况，要灵活掌握。 说明：

17 例11 计算 解 当 n > 1 时， 移项得： 上述公式称为递推公式。

18 例如 同样地依次进行下去，直到 的下标递减 到0或1为止。 于是 例如

19 四、小结 1、牛顿—莱布尼兹公式 2、定积分的换元积分法
应用定积分的换元积分法计算定积分时省略了将新积分变量还原为原积分变量的步骤，但要注意换元同时要换积分限. 3、定积分的分部积分法 定积分的分部积分法用于计算被积函数是两类不同类型函数乘积的定积分。并注意先积出来的先代值，可使后面的计算简便。

20 作业：习题4。5