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高等院校非数学类本科数学课程 大 学 数 学(一) —— 一元微积分学 第三十五讲 二阶常系数线性微分方程
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第七章 常微分方程 本章学习要求: 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方
第七章 常微分方程 本章学习要求: 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程:变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利(Bernoulli)方程和全微分 方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法: 了解高阶线性微分方程阶的结构,并知道高阶常系数齐线 性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法. 掌握自由项(右端)为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方 程的解法.
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第五节 二阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐线性方程 二阶常系数非齐线性方程 特征方程 特征根
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一、二阶常系数齐次线性微分方程 形如 的方程,称为二阶常系数齐线性微分方程, 即 特征方程
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二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 是方程 (1) 的两个线性无关的解,故方程 (1) 的通解为
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二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 由求根公式
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由刘维尔公式求另一个解: 于是,当特征方程有重实根时,方程 ( 1 ) 的通解为
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二阶常系数齐线性微分方程 的特征方程为 3) 特征方程有一对共轭复根: 是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解,其通解为 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。
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欧拉公式: 由线性方程解的性质: 均为方程 ( 1 ) 的解,且它们是线性无关的:
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故当特征方程有一对共轭复根 时,原方程的通解可表示为
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二阶常系数齐线性微分方程 特征方程 特 征 根 通 解 形 式
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例 解
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例 解
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例 解 故所求特解为
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例 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手, 开始拉长, 簧运动的规律(设其弹性系数为 k )。 解
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例 此时弹簧仅受到弹性恢复力 f 的作用。求反映此弹 突然放手, 开始拉长, 簧运动的规律(设其弹性系数为 k )。 解
取 x 轴如如图所示。 由力学的虎克定理,有 ( 恢复力与运动方向相反 ) 由牛顿第二定律,得
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它能正确描述我们的问题吗? 记拉长后,突然放手的时刻为 我们要找的规律是下列初值问题的解:
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简谐振动 从而,所求运动规律为
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二、n 阶常系数齐线性微分方程 形如 的方程,称为 n 阶常系数齐线性微分方程,
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n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 特 征 根 通 解 中 的 对 应 项
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例 解
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例 在研究弹性地基梁时,遇到一个微分方程 试求此方程的通解。 解
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三、二阶常系数非齐线性微分方程 形如 的方程,称为二阶常系数非齐线性微分方程, 它对应的齐方程为
我们只讨论函数 f ( x ) 的几种简单情形下,(2) 的特解。
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常系数非齐线性微分方程算子解法 参考书: 《常微分方程讲义》 王柔怀 伍卓群 编 人民教育出版社
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方程 (2) 对应的齐方程 (1) 的特征方程及特征根为
单根 二重根 你认为方程应该有什么样子的特解? 一对共轭复根
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假设方程 有下列形式的特解: 则 代入方程 (2) ,得 即 方程 (3) 的系数与方程 (2) 的特征根有关。
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由方程 (3) 及多项式求导的特点可知,应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
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由多项式求导的特点可知,应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
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由多项式求导的特点可知,应有 方程 (2) 有下列形式的特解:
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定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 它有下列形式的特解: 其中:
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例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 将它代入原方程,得
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比较两边同类项的系数,得 故原方程有一特解为 综上所述,原方程的通解为
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例 解 对应的齐方程的特征方程为 特征根为 对应的齐方程的通解为 请同学们自己算 将它代入原方程,得
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上式即 故原方程有一特解为 综上所述,原方程的通解为
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例 解 对应的齐方程的通解为 综上所述,原方程的通解为
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你有什么想法没有?
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欧拉公式: 性质 4 的一个特解。
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例 解 代入上述方程,得 从而,原方程有一特解为
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例 解 代入上述方程,得 比较系数,得
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故 从而,原方程有一特解为
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例 解 由上面两个例题立即可得
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例 解 对应的齐次方程的通解为 将它代入此方程中,得 从而,原方程有一特解为
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故原方程的通解为 我想, 你一定会做这种推广工作。
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四、欧拉方程 形如 的方程,称为 n 阶欧拉方程,其中 关于变量 t 的常系数线性微分方程 。
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引入算子记号: 由数学归纳法可以证明:
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例 解 这是三阶欧拉方程, 作代数运算后,得 即 这是一个三阶常系数线性非齐微分方程,且
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方程 (1) 对应的齐方程的通解为 为方程 (1) 特解形式,代入方程 (1) 中,得 从而 故原欧拉方程的通解为
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作业 P359 1,3大题的奇数小题
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