第五章 导数和微分 §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分.

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1 第五章 导数和微分 §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分

2 第五章 导数与微分 §4 高阶导数

3 §4 高阶导数 教学内容：高阶导数；高阶导数的莱布尼茨公式． 教学重点：高阶导数的概念和计算． 教学要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定
§4 高阶导数 教学内容：高阶导数；高阶导数的莱布尼茨公式． 教学重点：高阶导数的概念和计算． 教学要求：掌握高阶导数的定义，能够计算给定 函数的高阶导数．

4 §4 高阶导数 当我们研究导函数的变化率时就产生 了高阶导数.如物体运动规律为 , 它的运动速度是 , 而速度在时刻
§4 高阶导数 当我们研究导函数的变化率时就产生 了高阶导数.如物体运动规律为 , 它的运动速度是 , 而速度在时刻 t的变化率就是物体在时刻t的加速度 返回

5 定义 4 如果 的导函数 在点 可导, 二阶可导. 如果 f (x) 在区间 I 上每一点都二阶可导, 则得到 一个定义在 I 上的二阶导函数, 仿照上述定义, 可以用 f 的 n –1 阶导函数定义 f 的 n 阶导数. 二阶及二阶以上导数称为高阶导数.

6 n 阶导函数记作 意即对 y 进行了n 次 ( 看作一个算符 ).

7 高阶导数求法举例 1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 解

8 例2 求下列函数的各阶导数: 解

9 同理 高阶导数运算法则 ( 可用数学归纳法验证 )：

10 例3 解

11 注意: 求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)——逐阶求导，寻求规律，写出通式 例4 解

12 加法 乘法 莱布尼茨( Leibniz,G.W , 德国 ) 公式 (2) 称为莱布尼茨公式.

13 2.高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式

14 例5 解

15 例6 解 由Lebniz公式，两边求 n 阶导数，有

16 注意到 注: 这一解法的特点：找到了 的连续三阶导数之间的关系，利用 得到两相隔导数之间的关系，解决问题

17 3.间接法: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则 运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式

18 例7 解一

19 解二 解三

20 例7’ 解

21 例8 讨论分段函数 的高阶 导数. 解 分段函数要分段讨论: 当 x > 0时,

22 由于 因此在 x = 0 处 不存在 .

23 参量方程确定的函数的二阶导数

24 因此由§3公式（2），得

25 例9 求参变量函数 ( 摆线 ) 解 首先讨论一般参变量函数 的二阶导数. 这个函数的一阶导数为

26 把它写成参数方程: 由此求得

27 即 回到方程(3)，根据公式(4)就有 解法一 ( 公式法 )

28 解法二 ( 直接计算法 )

29 试从 导出 例10 ① ② 解 ①

30 ②

31 注: ①关于抽象函数求导数，必须注意并分清是对哪 一个变量来求导数，尤其是求高阶导数。 ② 都是对 x 求导 ③

32 小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法.

33 思考题 设 连续，且 ， 求

34 思考题解答 可导 不一定存在 故用定义求

35 作 业 第 页 A 类：1，2，3（2）（4），4（1）（3）， 5（2）（4）（6）； B 类：7，8； 讨论：11