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相互作用物体的相对位置有关的能量叫做势能，势能 包括 势能和 势能． 1．重力势能 (1)概念：物体由于 而具有的能．
一、势能 相互作用物体的相对位置有关的能量叫做势能，势能 包括 势能和 势能． 1．重力势能 (1)概念：物体由于 而具有的能． (2)大小：Ep＝ (3)相对性：重力势能的大小和正负与 的选取有关， 在期之上的为 值，在期之下的为 值． 重力 弹性 被举高 mgh 参考平面 正 负
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(4)系统性：重力势能是 与 所组成的这个“ ”
所共有的． (5)重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的 起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关． (6)重力做功与重力势能变化的关系 重力对物体做的功 物体重力势能的减少量，即 WG＝－(Ep2－Ep1)＝ 地球 物体 系统 等于 Ep1－Ep2
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2．弹性势能 (1)概念：物体由于发生 而具有的能． (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的 及 有关． (3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做 ， 弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能 ． 弹性形变 形变量 劲度系数 正功 增加
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二、机械能及其守恒定律 1．机械能：动能和势能统称为机械能，即E＝Ek＋Ep. 2．机械能守恒定律 (1)内容：在只有 或 做功的物体系统内，动能与 势能发生相互转化，而总的机械能 ． (2)表达式：Ep1＋Ek1＝ (3)机械能守恒的条件： ． 重力 弹力 保持不变 Ep2＋Ek2 只有重力或弹力做功
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1．重力势能的正负及大小与零势能面的选取有关，弹
性势能一般选弹簧原长时为弹性势能零位置． 2．应用机械能守恒定律时要注意判断机械能是否守恒 和选取零势能面．
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1．只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种
抛体运动，物体的机械能守恒． 2．受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功．例 如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的 作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒． 3．弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于 弹性势能的减少量．
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1．对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非
题目特别说明，否则机械能一定不守恒． 2．机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是 合力等于零，而是看是否只有重力或弹簧弹力做功．
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1．(2008·海南高考)如图5－3－1所 示，一轻绳的一端系在固定粗 糙斜面上的O点，另一端系一 小球．给小球一足够大的初速 度，使小球在斜面上做圆周运动，在此过程中( ) A．小球的机械能守恒 B．重力对小球不做功 C．绳的张力对小球不做功 D．在任何一段时间内，小球克服摩擦力所做的功总是等于 小球动能的减少
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解析：斜面粗糙，小球受到摩擦力作用，摩擦力对小球做负功，机械能有损失，则A错误；重力对小球做功，B错误；绳的张力始终与小球运动方向垂直，不做功，C正确；小球动能的减少应等于克服摩擦力和重力所做的功的总和，所以D错误． 答案：C
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系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
1．三种守恒表达式的比较 表达角度 表达公式 表达意义 注意事项 守恒观点 Ek＋Ep＝ Ek′＋Ep′ 系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等 应用时应选好重力势能的零势能面，且初、末状态必须用同一零势能面计算势能
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表达角度 表达公式 表达意义 注意事项 转化观点 ΔEk＝－ΔEp 表示系统(或物体)机械能守恒时，系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能 应用时关键在于分清重力势能的增加量和减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差 转移观点 ΔE增＝ΔE减 若系统由A、B两部分组成，则A部分物体机械能的增加量与B部分物体机械能的减少量相等 常用于解决两个或多个物体组成的物体系的机械能守恒问题
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2．应用机械能守恒定律解题的基本步骤 (1)分析题意，明确研究对象； (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清物体所受 各力做功的情况，判断机械能是否守恒； (3)选取零势能面，确定研究对象在始末状态时的机械能； (4)根据机械能守恒定律列出方程进行求解，并对结果进行 必要的讨论和说明．
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机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时要注意对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断．动能定理反映的是“功—能转化”关系，应用时要注意两个规律中功和能的不同含义和表达式．
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2．如图5－3－2所示，一根全长为l、粗 细均匀的铁链，对称地挂在光滑的轻 小滑轮上，当受到轻微的扰动时，铁 链开始滑动，求铁链脱离滑轮瞬间速 度的大小．
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解析：法一：根据重力势能的减少等于动能的增
量列方程：mg mv2，求得v＝ 法二：根据机械能守恒，选滑轮顶端为零势能面，列方程 － mgl＝－ mgl＋ mv2，求得v＝ 答案：
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(2010·江苏苏、锡、常、镇四市 联考)如图5－3－3所示，质量均为m的 A、B两个小球，用长为2L的轻质杆相 连接，在竖直平面内绕固定轴O沿顺时 针方向自由转动(转轴在杆的中点)，不 计一切摩擦，某时刻A、B球恰好在如图 所示的位置，A、B球的线速度大小均为 v，下列说法正确的是 ( )
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A．运动过程中B球机械能守恒 B．运动过程中B球速度大小不变 C．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化 量保持不变 D．B球在运动到最高点之前，单位时间内机械能的变化 量不断变化
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[思路点拨] 轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化．
![[思路点拨] 轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化．](http://slidesplayer.com/slide/14541068/90/images/22/%5B%E6%80%9D%E8%B7%AF%E7%82%B9%E6%8B%A8%5D+%E8%BD%BB%E6%9D%86%E5%AF%B9%E5%B0%8F%E7%90%83%E7%9A%84%E5%BC%B9%E5%8A%9B%E4%B8%8D%E4%B8%80%E5%AE%9A%E6%B2%BF%E6%9D%86%EF%BC%8C%E5%9B%A0%E6%AD%A4%EF%BC%8C%E5%9C%A8%E5%B0%8F%E7%90%83%E8%BD%AC%E5%8A%A8%E8%BF%87%E7%A8%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E6%9D%86%E7%9A%84%E5%BC%B9%E5%8A%9B%E5%AF%B9%E5%B0%8F%E7%90%83%E5%81%9A%E5%8A%9F%EF%BC%8C%E5%B0%86%E5%BC%95%E8%B5%B7%E5%B0%8F%E7%90%83%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E7%9A%84%E5%8F%98%E5%8C%96%EF%BC%8E.jpg "[思路点拨] 轻杆对小球的弹力不一定沿杆，因此，在小球转动过程中，杆的弹力对小球做功，将引起小球机械能的变化．")
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[课堂笔记] 以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒．以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E＝2× mv2＝mv2.假设A球下降h，则 B球上升h，此时两球的速度大小是v′，由机械能守恒定律知mv2＝ mv′2×2＋mgh－mgh，得到v′＝v，故运动过程中B球速度大小不变．当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加．由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的．B、D正确． [答案] BD
![[课堂笔记] 以A、B球组成的系统为研究对象，两球在运动过程中，只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零)，两球的机械能守恒．以过O点的水平面为重力势能的参考平面时，系统的总机械能为E＝2× mv2＝mv2.假设A球下降h，则](http://slidesplayer.com/slide/14541068/90/images/23/%5B%E8%AF%BE%E5%A0%82%E7%AC%94%E8%AE%B0%5D+%E4%BB%A5A%E3%80%81B%E7%90%83%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9A%84%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E4%B8%BA%E7%A0%94%E7%A9%B6%E5%AF%B9%E8%B1%A1%EF%BC%8C%E4%B8%A4%E7%90%83%E5%9C%A8%E8%BF%90%E5%8A%A8%E8%BF%87%E7%A8%8B%E4%B8%AD%EF%BC%8C%E5%8F%AA%E6%9C%89%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%81%9A%E5%8A%9F%28%E8%BD%BB%E6%9D%86%E5%AF%B9%E4%B8%A4%E7%90%83%E5%81%9A%E5%8A%9F%E7%9A%84%E5%92%8C%E4%B8%BA%E9%9B%B6%29%EF%BC%8C%E4%B8%A4%E7%90%83%E7%9A%84%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E5%AE%88%E6%81%92%EF%BC%8E%E4%BB%A5%E8%BF%87O%E7%82%B9%E7%9A%84%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%BA%E9%87%8D%E5%8A%9B%E5%8A%BF%E8%83%BD%E7%9A%84%E5%8F%82%E8%80%83%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E6%97%B6%EF%BC%8C%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E7%9A%84%E6%80%BB%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E4%B8%BAE%EF%BC%9D2%C3%97+mv2%EF%BC%9Dmv2.%E5%81%87%E8%AE%BEA%E7%90%83%E4%B8%8B%E9%99%8Dh%EF%BC%8C%E5%88%99.jpg "B球上升h，此时两球的速度大小是v′，由机械能守恒定律知mv2＝ mv′2×2＋mgh－mgh，得到v′＝v，故运动过程中B球速度大小不变．当单独分析B球时，B球在运动到最高点之前，动能保持不变，重力势能在不断增加．由几何知识可得单位时间内B球上升的高度不同，因此机械能的变化量是不断改变的．B、D正确． [答案] BD.")
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对A、B球组成的系统，两球在运动过程中，虽有轻杆对两球的弹力做功，但并不引起系统机械能的变化；对于单独的一个球来讲，弹力对小球做功将引起小球机械能的改变.
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(2010·绍兴模拟)如图5－ 3－4所示，倾角为θ的光滑斜面 上放有两个质量均为m的小球A 和B，两球之间用一根长为L的 轻杆相连，下面的小球B离斜面 底端的高度为h.两球从静止开始 下滑，不计机械能损失，求：
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(1)两球都进入光滑水平面时两小球运动的速度大小；
(2)此过程中杆对B球所做的功． [思路点拨] 解答本题时应注意以下三点： (1)A和B组成的系统在下滑过程中机械能守恒； (2)在水平面上运动时A、B的速度相等； (3)杆对B球的力为变力，变力的功可应用动能定理求解．
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[课堂笔记] (1)由于不计机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有
2mg(h＋ sinθ)＝2× mv2 解得v＝ (2)对B球下滑过程应用动能定理得： mgh＋W杆＝ mv2－0 解得：W杆＝ mgLsinθ. [答案] (1) (2) mgLsinθ
![[课堂笔记] (1)由于不计机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒．两球在光滑水平面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有](http://slidesplayer.com/slide/14541068/90/images/27/%5B%E8%AF%BE%E5%A0%82%E7%AC%94%E8%AE%B0%5D+%281%29%E7%94%B1%E4%BA%8E%E4%B8%8D%E8%AE%A1%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E6%8D%9F%E5%A4%B1%EF%BC%8C%E5%9B%A0%E6%AD%A4%E4%B8%A4%E7%90%83%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9A%84%E7%B3%BB%E7%BB%9F%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E5%AE%88%E6%81%92%EF%BC%8E%E4%B8%A4%E7%90%83%E5%9C%A8%E5%85%89%E6%BB%91%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A%E8%BF%90%E5%8A%A8%E6%97%B6%E7%9A%84%E9%80%9F%E5%BA%A6%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E8%AE%BE%E4%B8%BAv%EF%BC%8C%E6%A0%B9%E6%8D%AE%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E5%AE%88%E6%81%92%E5%AE%9A%E5%BE%8B%E6%9C%89.jpg "2mg(h＋ sinθ)＝2× mv2. 解得v＝ . (2)对B球下滑过程应用动能定理得： mgh＋W杆＝ mv2－0. 解得：W杆＝ mgLsinθ. [答案] (1) (2) mgLsinθ.")
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因两球质量相等，它们组成的系统的重心在杆的中心．本题解答中表示重力势能的减少量时用的是总重力与系统重心高度变化量的乘积；如果两球的质量不等，重心位置难以确定，这时可以分别表示两球重力势能的减少量，如：ΔEp＝mBgh＋mAg(h＋Lsinθ).
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(12分)(2010·菏泽模拟) 如图5－3－5所示，斜面轨道 AB与水平面之间的夹角θ＝53°， BD为半径R＝4 m的圆弧形轨 道，且B点与D点在同一水平面 上，在B点，斜面轨道AB与圆 弧形轨道BD相切，整个轨道处于竖直平面内且处处光滑，
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在A点处有一质量m＝1 kg的小球由静止滑下，经过B、C两点后从D点斜抛出去，最后落在地面上的S点时的速度大小vS＝8 m/s，已知A点距地面的高度H＝10 m，B点距地面的高度h＝5 m，设以MDN为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g取10 m/s2，cos53°＝0.6，求：
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(1)小球经过B点时的速度为多大？ (2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力多大？ (3)小球从D点抛出后，受到的阻力Ff与其瞬时速度方向始终相反，求小球从D点至S点的过程中阻力Ff所做的功． [思路点拨] 小球在光滑轨道ABCD运动时，只有重力做功，机械能守恒，但小球进入MN左侧阻力场区域后，因阻力做负功，小球的机械能不守恒．
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[解题样板] (1)设小球经过B点时的速度大小为vB，由机械能守恒得：mg(H－h)＝ mvB2┄┄┄┄┄┄┄(2分)
解得vB＝10 m/s. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分) (2)设小球经过C点时的速度为vC，对轨道的压力为N，则轨道对小球的支持力FN′＝FN，根据牛顿第二定律可得 FN′－mg＝m ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分) 由机械能守恒得：mgR(1－cos53°)＋ mvB2＝ mvC2(2分) 由以上两式及FN′＝FN解得FN＝43 N．┄┄┄┄┄┄(1分)
![[解题样板] (1)设小球经过B点时的速度大小为vB，由机械能守恒得：mg(H－h)＝ mvB2┄┄┄┄┄┄┄(2分)](http://slidesplayer.com/slide/14541068/90/images/32/%5B%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%A0%B7%E6%9D%BF%5D+%281%29%E8%AE%BE%E5%B0%8F%E7%90%83%E7%BB%8F%E8%BF%87B%E7%82%B9%E6%97%B6%E7%9A%84%E9%80%9F%E5%BA%A6%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E4%B8%BAvB%EF%BC%8C%E7%94%B1%E6%9C%BA%E6%A2%B0%E8%83%BD%E5%AE%88%E6%81%92%E5%BE%97%EF%BC%9Amg%28H%EF%BC%8Dh%29%EF%BC%9D+mvB2%E2%94%84%E2%94%84%E2%94%84%E2%94%84%E2%94%84%E2%94%84%E2%94%84%282%E5%88%86%29.jpg "解得vB＝10 m/s. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分) (2)设小球经过C点时的速度为vC，对轨道的压力为N，则轨道对小球的支持力FN′＝FN，根据牛顿第二定律可得. FN′－mg＝m ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分) 由机械能守恒得：mgR(1－cos53°)＋ mvB2＝ mvC2(2分) 由以上两式及FN′＝FN解得FN＝43 N．┄┄┄┄┄┄(1分)")
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(3)设小球受到的阻力为Ff，到达S点的速度为vS，在此过程中阻力所做的功为W，易知vD＝vB，由动能定理可得
mgh＋W＝ mvS2－ mvD2┄┄┄┄┄┄┄┄(2分) 解得W＝－68 J．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(1分) [答案] (1)10 m/s (2)43 N (3)－68 J
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机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动等知识相结合的多过程、多情景试题近几年高考中常有出现，这类题能够突出考查学生的分析复杂问题的能力、应用所学知识解决实际问题的能力以及创新应用能力．复习中要加强常用模型的训练，熟练掌握将复杂的多过程问题分解成常见问题解决的方法．
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1．下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是 ( )
A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒 C．合外力对物体做功为零时，机械能一定守恒 D．只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒
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解析：A中做匀速直线运动的物体，除了重力做功外，还可能有其他力做功，所以机械能不一定守恒，不正确．
B中做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能守恒，正确． C中合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，如降落伞匀速下降，机械能减少，不正确． D中符合机械能守恒的条件，正确． 答案：BD
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2．如图5－3－6所示，桌面高为h，质量为 m的小球从离桌面高H处自由落下，不 计空气阻力，假设地面处的重力势能为 零，则小球落到地面前瞬间的机械能为 ( ) A．mgh B．mgH C．mg(H＋h) D．mg(H－h)
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解析：整个过程的机械能守恒，在最高点的机械能是mg(H＋h)，与小球落地前瞬间的机械能相等，故选C.
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3．如图5－3－7所示，斜面体置 于光滑水平地面上，其光滑斜面上 有一物体由静止下滑，在物体下滑 过程中，下列说法正确的是 ( ) A．物体的重力势能减少，动能增加 B．斜面体的机械能不变 C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功 D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒 图5－3－7
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解析：物体下滑过程中，由于物体与斜面体相互间有垂直于斜面的作用力，使斜面体加速运动，斜面体的动能增加；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，又随斜面体向右运动，其合速度方向与弹力方向不垂直，且夹角大于90°，所以物体克服相互作用力做功，物体的机械能减少，但动能增加，重力势能减少，故A项正确，B、C项错误．对物体与斜面体组成的系统，只有动能和重力势能之间的转化，故系统机械能守恒，D项正确． 答案：AD
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4．(2010·大连模拟)如图5－3－8所示，在高1.5 m的光滑
平台上有一个质量为2 kg的小球被一细线拴在墙上，球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧．当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60°角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g＝10 m/s2) ( )
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图5－3－8 A．10 J B．15 J C．20 J D．25 J
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解析：由h＝ gt2和vy＝gt得：vy＝ m/s，落地时，由tan60°＝ 可得：v0 ＝ m/s，由机械能守恒得：Ep＝ mv02，解得：Ep＝10 J，故A正确．
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5．(2010·宁波模拟)跳台滑雪是勇 敢者的运动，它是利用山势特 别建造的跳台．运动员穿着专 用滑雪板，不带雪杖在助滑路 这项运动极为壮观．设一位运 动员由山坡顶的A点沿水平方向飞出，到山坡上的B点 着陆，如图5－3－9所示．已知运动员水平飞出的速度 v0＝20 m/s，山坡倾角为θ＝37°，山坡可以看成一个 斜面．(g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)求：
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(1)运动员在空中飞行的时间t； (2)AB间的距离s； (3)运动员运动到B点时的机械能．(以A点为零势能点，运动员的质量m＝60 kg)
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解析：(1)运动员由A到B做平抛运动，水平方向的位移为
x＝v0t ① 竖直方向的位移为y＝ gt ② ＝tan37° ③ 由①②③可得t＝ ＝3 s． ④ (2)由题意可知sin37°＝ ⑤
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联立②⑤得s＝ t2 将t＝3 s代入上式得s＝75 m. (3)运动员由A到B的过程只有重力做功，机械能守恒，故运动员在B点的机械能EB与运动员在A点的机械能相等，即：EB＝ mv02＝ ×60×202 J＝1.2×104 J 答案：(1)3 s (2)75 m (3)1.2×104 J
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