第十八章 平行四边形 18.2.1 矩 形 第2课时 矩形的判定 豫灵一中 赵晓林.

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1 第十八章 平行四边形 矩 形 第2课时 矩形的判定 豫灵一中 赵晓林

2 学习目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理．（重点） 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)

3 一、复习导入 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 边： 对边平行且相等 角：
问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题 矩形有哪些性质？ 边： 对边平行且相等 角： 对角相等，邻角互补四个角都是直角 矩形 对角线： 对角线互相平分且相等

4 二、新知探究 类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 定义判定：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题1 类比研究平行四边形的判定，我们可以从哪些角度入手判定矩形呢？

5 情境一： 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 。 工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形。
一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形。 你有什么猜想吗？ 这个命题的条件和结论分别是？ 你能证明吗？ 猜想： 对角线相等的平行四边形是矩形 。

6 证一证 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. B A D C
∴AD=BC，AD∥BC ∴∠ADC+∠BCD=180° 在△ADC和△BCD中 AD=BC BC=CB AC=BD ∴△ADC≌△BCD ∴∠ADC=∠BCD ∴∠ADC=∠BCD=90° ∴ 平行四边形ABCD是矩形 A B C D

7 归纳总结 矩形的判定定理1： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中 B A ∵AC=BD，

8 练一练 B A A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD 1、下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ）
1、下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ） ①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形； ③对角线相等的平行四边形； ④对角线互相平分且相等的四边形． A． B． C． D．4 B 2、如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是 （　　） A A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD

9 典例精析 例1 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.求证:四边形EFGH是矩形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等) ∴ AO =BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分）， ∵ AE=BF=CG=DH， ∴OE=OF=OG=OH， ∴四边形EFGH是平行四边形， EO+OG=FO+OH， 即EG=FH， ∴平行四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A

10 练习3、 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
∴OA=OC= AC，OB=OD= BD 又∵OA=OD， ∴AC=BD， A　 B　 C　 D　 O ∴平行四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°， ∴∠OAB=40°.

11 问一问 问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？ 你能证明它吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 成立

12 证一证 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵ ∠A=90° ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 还有其它的方法吗？

13 问题2： 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角)

14 归纳总结 矩形的判定定理2： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, A

15 练一练 1、在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （ ）
1、在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的4位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　） A．测量对角线是否相等 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量其中三个角是否都为直角 D

16 2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
∴∠ADC=180°-90°=90° ∵AB=5，BC=12，AC=13 ∴AB² +BC² =AC² ∴△ABC是直角三角形 且∠ABC=90° ∵∠BAD=90°∠ADC=90° ∠ABC=90° ∴四边形ABCD是矩形．

17 例2 如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC, A B D C H E F G ∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AE与BG分别为∠DAB、 ∠ABC的平分线, ∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=90°. ∴∠AFB=90°， ∴∠GFE=90°. 同理可证∠AED=∠EHG=90°, ∴四边形EFGH是矩形．

18 对应练习：如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是
（ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 C D E F M N Q P A B C

19 三、课堂小结 定义判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 矩形的判定 判定定理
有三个角是直角的四边形是矩形. 数学思想： 类比思想

20 四、当堂练习 1、下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； × （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； √
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； × （4）有三个角都相等的四边形是矩形; × （5）有三个角是直角的四边形是矩形； √ （6）四个角都相等的四边形是矩形； √ （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； × （8）一组对角互补的平行四边形是矩形. √

21 2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直 C 3、下列识别图形不正确的是（ ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C

22 4、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F 为AB上的两点，且△DAF≌△CBE.

23 5、如图3-12，平行四边形 ABCD中，∠DAC =∠ADB, 求证：四边形ABCD是矩形

24 数学的奥秘很深，永无止境，你不研究它，它枯燥无味；你研究它， 趣味无穷。
结束语 数学的奥秘很深，永无止境，你不研究它，它枯燥无味；你研究它， 趣味无穷。