三角形的高、中线与角平分线.

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1 三角形的高、中线与角平分线

2 相关知识回顾 1.垂线的定义： 2.线段中点的定义： 3.角的平分线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 1.垂线的定义： 2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点。 3.角的平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。

3 画法 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C
画法 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C

4 三角形的高 A 从三角形的一个顶点 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 之间的线段 和垂足 叫做三角形这边的高， 简称三角形的高。 B C
D 如图, 线段AD是BC边上的高. 任意画一个锐角△ABC, A B C 请你画出BC边上的高. 注意 ! 标明 垂直的记号 和垂足的字母. D

5 锐角三角形的三条高 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 使折痕过顶点,顶点的对边边缘重合
每个人画一个锐角三角形纸片。 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? A F (2) 你能用折纸的办法找到吗? E (3) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 将你的结果与同伴进行交流. C B 锐角三角形的三条高是 在三角形的内部还是外部? D 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。

6 直角三角形的三条高 直角三角形的三条高交于直角顶点. 在纸上画出一个直角三角形。 A (1) 画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？ 将你的结果与同伴进行交流. D 直角三角形的三条高交于直角顶点. ● B C 直角边BC边上的高是 ; AB 直角边AB边上的高是 ; CB BD 斜边AC边上的高是 ;

7 钝角三角形的三条高 议一议 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 O (1) 钝角三角形的 三条高交于一点吗？ A B C D E F
它们所在的直线交于一点吗？ 将你的结果与同伴进行交流. 钝 角三角形的 三条高不相交于一点 钝角三角形的三条高所在直线交于一点 O

8 三角形的高的 表示法 A B C D ∵AD是△ ABC的高 ∴∠ BDA = ∠ CDA =90°

9 小结:三角形的高 三角形的三条高所在直线交于一点 从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三条高所在直线的 交点的位置 三角形内部 直角顶点 三角形外部 三角形的三条高所在直线交于一点

10 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部.
三角形的中线 在三角形中,连接一个 顶点与它对边中点的线段, 叫做这个 三角形这边的中线. A B C 三角形中线的理解 ● E F O ∵AD是△ ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC ● D 三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. 任意画一个 三角形, 然后利 用刻度尺画出 这个 三角形三条边的中线,你发现了什么?

11 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部
三角形的角平分线 在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间的线段, 叫做三角形的角平分线。 A ∵AD是 △ ABC的角平分线 ● ∴∠ BAD = ∠ CAD = １ ２ ∠BAC ︶ 1 2 B ● C 三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部 D 任意画一个三角形,然后利用量角器画出 这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?

12 角平分线的理解： O ∴____=_____= _____ ∴∠ACB=2______=2______ A ∵BE是△ABC的角平分线 E
F O ∠ABC ∴____=_____= _____ ∠ABE ∠CBE ∵CF是△ABC的角平分线 B D ∴∠ACB=2______=2______ ∠ACF ∠BCF C

13 三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考 三角形的角平分线是一条线段 , 角的平分线是一条射线

14 点击重点 如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法那些是正确的,哪些是错误的. × ⌒ A B C D E 1 2 F G H ①AD是⊿ABE的角平分线 ( ) × ②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ) × ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ) √ ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( ) 三角形的高、中线与角平分线都是线段

15 拓展练习 1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( ) D
2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 B

16 拓展练习 3、填空： （1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的三条中线，则AB=2 ，BD= ,AE= 。
（2）如图（2）， AD，BE，CF是ΔABC的三条角平分线，则∠1= , ∠3= , ∠ACB= 。 AF CD AC ∠2 ∠ABC ∠4

17 拓展练习 3.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空： （1）BE= = ； （2）∠BAD= = ；
CE BC ∠CAD ∠BAC ∠AFC

18 拓展练习 1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质( ) A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一 D

19 拓展练习 2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是( ) A.DE是△BCD的中线 B.BD是△ABC的中线 C.AD=DC,BD=EC D.∠C的对边是DE D

20 知识小结 今天我们学了什么呀？ 1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念 及它们的画法。 2. .三角形的高、中线、角平分线
几何表达及简单应用。

21 知识归纳 ∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°. 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中的 线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC

22 作业 P69 3、4