統 計 學 第十章 實驗設計與變異數分析 編著 江建良 10-1 實驗法與實驗設計 10-5 多重比較 10-2 統計的實驗設計

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1 統 計 學 第十章 實驗設計與變異數分析 編著 江建良 10-1 實驗法與實驗設計 10-5 多重比較 10-2 統計的實驗設計
第十章 實驗設計與變異數分析 10-1 實驗法與實驗設計 10-5 多重比較 10-2 統計的實驗設計 10-6 隨機區集設計的變異數分析 10-3 變異數分析的基本概念 10-7 拉丁方格設計的變異數分析(選讀) 10-4 完義隨機的變異數分析 10-8 二因子設計的變異數分析(選讀) 書號：512282 編著 江建良 普林斯頓國際有限公司

2 10-1 實驗法與實驗設計 實驗法的意義： 實驗法的要件：
係指在控制的情境之下，實驗者有系統的操弄 (manipulate) 實驗變數 ( 又稱實驗因子或自變數 )，以觀察其對實驗結果 (又稱反應變數、依變數) 的影響之研究程序。 實驗法的要件： 實驗單位 (experimental unit)： 即被實驗的對象，如：單位或人 (受測者、受試者)。 實驗變數 (experimental variable)： 即實驗者所操弄的變數，一般稱為自變數 (independent variable) 或實驗因子 (factor)。表示實驗因子的狀態，稱為水準 (level)，而因子水準的特定組合，稱為處理 (treatment)。 P366

3 10-1 實驗法與實驗設計 實驗法的要件： 反應變數(response variable)：
即實驗結果的變數，一般稱為依變數 (dependent variable)。 實驗設計(experimental design)： 即能增加實驗效果精確度的一些方法，如控制在干擾變數等方法。 變異數分析(ANOVA; analysis of variance)： 即衡量自變數對依變數影響效果的統計方法。 (p. 366 例10-1) P366

4 實驗法的要件 例：某連銷超商經理想了解行銷部所提出的三種不同促銷方案，對營業額的增加效果是否相同，此時就需要透過實驗法的方式來進行了。在實驗法中，促銷手法稱為因子(factor)，三種不同的行銷手法就為處理(treatment)或水準(level)，而營業額就稱之為反應變數(response variable)或依變數(dependent variable)，實施促銷手法的超商就稱為實驗單位(experiment unit)。由於我們的目的是要了解不同的促銷手法對營業額的效果是否相同，因此，變異數分析也可以用來回答這樣的問題。 另外，由於只考慮一個因子，因此也稱為一因子變異數分析(one-way ANOVA)。

5 10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 實驗設計的意義：
狹義的實驗設計：利用某些技巧 (如隨機性、重複性、區集性等) 使實驗變數能充分發揮其對反應變數的影響，並能牌除實驗變數以外的干擾變數，以純粹觀察實驗變數對反應變數的影響效果，而能提高實驗分析的精確度。 (2) 廣義的實驗設計：泛指在進行實驗設計之前，對實驗如何進行所做的計畫。如擬定實驗假設、決定自變數與依變數、考慮如何控制外來干擾變數、如何減少實驗誤差、如何抽樣及選擇適當的統計方法，甚至利用實驗結果加以推論等均是。 P367

6 10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 實驗設計的類型： (1) 因子設計：係指對實驗因子 (即實驗變數) 作適當處理
的設計，使其能充分顯示出實驗因子對 反應變數的影響情形。 (2) 區集設計：係指依據某一外在影響變數，將實驗單位 區分為若干區集，然後再觀察實驗因子對 反應變數的影響效果。 例：價格對銷售量的影響 (p. 368) P367

7 10-1 實驗法與實驗設計 實驗設計的意義與類型： 一因子設計 因子設計 二因子設計 實驗設計 一區集設計(簡單區集設計) 區集設計
二區集設計(拉丁方格設計) 一因子設計 二因子設計 因子設計 區集設計 實驗設計 P369

8 10-2 統計的實驗設計 完全隨機設計： 係指沒有區集設計的一因子實驗設計，
通稱為一因子分類 (one-way classification) 的實驗設計， 這是較簡單的實驗設計。 (p. 370 例10-2) 假設檢定的寫法： H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 上述等號至少有一個不成立 P369

9 10-2 統計的實驗設計 隨機區集設計： 係指一區集設計的一因子設計之實驗設計。
其特色乃依某一外在變數將實驗單位劃分為若干區集 (block)，使區集變數能吸收反應變數的某些變異， 而減少抽樣所造成的誤差。屬於二因子分類 (two-way classification) 的實驗設計。 (p. 371 例10-3) 假設檢定的寫法： (1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (2) H΄0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H΄1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 P370

10 10-2 統計的實驗設計 二因子設計： 二因子設計之特點： 是指二個實驗因子的實驗設計 (區集設計可依實際需要加入 或不加入 )。
假設二因子為A與B因子，各有a與b個水準，稱為a×b的二因子設計。於實驗設計中，共有a×b個處理水準（ 即a×b個方格），A與B因子中之水準可為重覆或不重複。 二因子設計之特點： 可衡量各個實驗因子的個別效果，稱為主要效果 (main effects)。 在重覆的實驗單位下，可衡量兩實驗因子間是否發生交互作用 (interaction effects，又稱為互動效果 )。 (交互作用係指當一個實驗因子與反應變數之關係，依另一實驗因子的不同水準而顯著改變；此為二因子變異數分析之主要目的) P373

11 10-2 統計的實驗設計 二因子設計： (p. 374 例10-5) 獨立樣本二因子變異數分析 假設檢定的寫法：
(2) 實驗因子A之影響效果 H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (3) 實驗因子B之影響效果 H΄0:包裝差異，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H΄1:包裝差異，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 (1) A與B因子之交互作用 H˝0:價格與包裝無交互作用。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3 H˝1:價格與包裝有交互作用。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3 (即價格對銷售量的影響受包裝的影響) P373

12 10-2 統計的實驗設計 拉丁方格設計： 係指二區集設計的一因子設計之實驗設計。 其特色為一種雙向區集設計，包括行區集設計、列區集設計。
拉丁方格的特色是若實驗因子有K個水準，則外在變數須分為K類，實驗單位須有K×K 個，並以隨機方式將實驗因子的水準分派到各個實驗單位，且同行或同列不得出現相同的處理水準（把實驗因子所造成的效果加以平衡，以看出實驗處理效果之差異）。(p. 372 例10-4) 當有三個因子，而每個因子的水準數都相等，且這三個因子之間並無交互作用存在時，可用拉丁方格實驗設計來代替三因子變異數分析的實驗設計。 假設檢定的寫法： (1) H0:價格差異，銷售量並無顯著差異。 H0:μ1=μ2=μ3 H1:價格差異，銷售量有顯著差異。 H1: μ1≠μ2≠μ3 (2) H0:不同商店類型，銷售量並無顯著差異。 H΄0:μ΄1=μ΄2=μ΄3 H1:不同商店類型，銷售量有顯著差異。 H΄1: μ΄1≠μ΄2≠μ΄3 (3) H0:商店地點不同，銷售量並無顯著差異。 H˝0:μ˝1=μ˝2=μ˝3 H1:商店地點不同，銷售量有顯著差異。 H˝1: μ˝1≠μ˝2≠μ˝3 P370

13 實驗設計 實驗設計之實施步驟 找出並詳細說明問題所在 決定影響之因子與其水準數和範圍 選擇應變變數 尋找適當之實驗設計 進行實驗 統計分析
做出結論與建議

14 10-3 變異數分析的基本概念 變異數分析的意義： 係指將實驗的結果 (即反應變數) 按變異發生的原因，
區分為實驗變數所造成的變異 (即已知原因所造成) 及 外在干擾變數 (即實驗因子以外的因素) 所造成的變異 [通稱為實驗誤差 (如：抽樣與非抽樣誤差)]， 再配合這兩類變異的自由度取成變異數，再轉換成分配， 用分配來檢定各變異是否有顯著差異，以判斷變異發生的原因，是否顯著的統計方法。 變異數分析(analysis of variance) ： 用來檢定三個或三個以上母體平均數，是否有顯著性差異的方法。 P376

15 變異數分析的意義、原理 變異數分析的意義 統計學家R.A. Fisher（1890～1962）首創變異數分析（Analysis of Variance，ANOVA），在相同的顯著水準下，同時（simultaneously）檢定k個母體平均數是否相等的方法，謂之。 一因子ANOVA（one-way ANOVA）：以一個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 二因子ANOVA（two-way ANOVA）：以兩個解釋變數來解釋反應變數變異來源的一種分析方法。 多因子ANOVA：按兩個以上因子分類分析。

16 考慮因素 因子ANOVA 小麥品種 1因子ANOVA 小麥品種 + 肥料 2因子ANOVA 小麥品種 + 肥料 + 土壤 3因子ANOVA ……………… …………… 機　　器 機器 + 操作人員 機器 + 操作人員 + 原料

17 10-3 變異數分析的基本概念 變異數分析的基本假設： 每個處理水準 (即依實驗因子的準分組之各組樣本資料) 的母體，均為常態分配。
每個處理水準的母體之變異數相等。 抽自各母體的各組隨機樣本互為獨立。 實驗結果的變異可區分為實驗因子所造成的變異，加上實驗因子以外的因素所造成的變異。 P377

18 變異數分析基本觀念 變異數分析既然是以變異數為名，自然地它的基本觀念自是源自資料的變異，而其想法是利用全部資料的變異，也就是指所有資料與其平均數差的平方和，然後再考慮個別母體間的變異與個別母體內的變異，再由其間的差異來做比較。 因此變異數分析的基本觀念在虛無假設的成立下，亦即假設所有母體的平均數均相等的情況下，將所有樣本資料混合的變異分成兩部分：一部分為各母體內的變異，另一部分為各母體間的變異。然後再去比較這兩個部分的變異比值，是否足以支持虛無假設成立的假說。

19 變異數分析基本觀念 變異數分析中虛無假設成立的狀況

20 變異數分析基本觀念簡介 變異數分析中對立假設成立的狀況
ANOVA方法是透過對變異數的分析來同時檢定k個母體之平均數 i，i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定，H0：1 = 2 =…= k，H1：至少有二平均數不等。

21 ANOVA的步驟是將樣本各觀測值之總變異（total of variation）分解為組間變異（between of variation）與組內變異（within of variation）。
組內變異：由各組本身資料的分佈情形去觀察資料本身內部的變異。 組間變異：由各組平均數的分佈情形去觀察各組平均數之間的變異。

22 變異數分析基本觀念 總變異(sum of squares due to total,SSt) ：混合後資料的變異。
處理間變異(sum of square between treatment, SSb ) 處理內變異 (sum of square due to error,SSE; sum of square within treatment; SSw) 總變異=處理間變異+處理內變異 SS (sum of square): 平方和

23 變異數分析基本觀念 單因子變異數分析標準資料表 其中，yij代表第i水準下第j個觀測值。

24 變異數分析基本觀念 母體間的變異：各組組平均與總平均數間之變異總和 離均差 (deviation)：任一樣本觀察值yi與其平均數 的差，即
母體內的變異：各組內離均差平方和之總和 總變異：各個數值與總平均數之差的平方和 離均差 (deviation)：任一樣本觀察值yi與其平均數 的差，即 變異(variation)：離均差的平方，即 離均差平方和 (sum of square for deviation) ：所有變異相加，即

25 變異數的估計 變異數 (variance) 或均方(mean of square): 離均差平方和除以自由度，即 變異數分析中的一個假設條件是隨機樣本，因此MSb和MSw是獨立的，所以MSb與MSw的比值將是一個分子自由度為，分母自由度為的F分配。

26 10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析(摘要)表：
實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位相同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 相等)： 獨立樣本單因子變異數分析表 ( 樣本大小相同 ) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 處 理 SSB k - 1 誤 差 SSE (SSW) k (n – 1) 總 和 SST nk - 1 MSB SSB = - k 1 MSE SSE n ( ) F P382

27 10-4 完全隨機的變異數分析 å n 1 - 變異數分析表： MSB F = MSE
實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位不同(即分為 k 組，每組樣本大小 n 不同)： 獨立樣本單因子變異數分析表 (樣本大小不等) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 組間 (處 理) SSB k - 1 組內 (誤 差) SSE 總 和 SST F = MSB MSE n 1 i k - å SSB SSE P383

28 SSw.s (2) =SSres (3) +SSb.t (4); SSt (5) =SSb.s (1) +SSw.s (2)
10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析表： 實驗因子有 k 個水準處理，每個處理之實驗單位重覆 相依樣本時，除了將MSw( 組內變異數估計值) 改為MSres( 殘餘誤差)(SSres=SSw-SSb. treatment)，將dfw 改為dfres=(k-1)(n-1) 之外，其他都與獨立樣本時的算法一樣。 相依樣本單因子變異數分析表 (樣本大小必定相等) 變異來源 平方和 SS 自由度 df 均方 MS F 受試者間 SSb.subject (1) (n – 1) 受試者內 SSw. subject (2) n (k-1) 處 理 SSb.treatment (3) k - 1 殘 差 SSres (4) (k-1) (n – 1) 總 和 SSt (5) nk - 1 MSB SSb.t = - k 1 MSres SSres (k-1) n ( ) F MSb.t P382 SSw.s (2) =SSres (3) +SSb.t (4); SSt (5) =SSb.s (1) +SSw.s (2)

29 10-4 完全隨機的變異數分析 變異數分析的步驟： 將總變異區分為實驗因子變異(處理變異、可解釋變異)與誤差變異(未解釋變異)。
決定各變異對應之自由度。 將變異平方和除以自由度，化為變異數 ( 即均方 )。 求算 F 統計量。 若 F f > - ( : ) 1 2 α 時，放棄 H0。 p P383

30 關聯強度 變異數分析的結果若F值達到顯著水準，即可說自變項與依變相之間有關聯存在，其關聯強度 (strength of association) ω2為： SSb-(k-1)MSw SSt+MSw 即自變項所能解釋依變項的總變異百分比。 當F值達到顯著水準時ω2將會是正值，若為負值則要解釋為”0” 當樣本數很大而使MSw變得很小時，F值很容易達到顯著。此時若ω2很小，即使在統計上有意義，實際應用上仍然沒意義。

31 10-5 多重比較 事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。 事後比較：共有 對平均數比較使用
檢定。 當變異數分析達顯著水準，才 可實施。 C F k 2 多重比較  任取一對或某些對作平 均數比較 個別 之估計。 m i t 檢定 事前比較 事後比較：當變異數分析的F值達到顯著水準後才須尋找到底哪些對平均數之間有顯著差異。 P390

32 10-5 事後比較 杜凱氏HSD 法(Tukey’s Honestly Significant Difference)：HSD 法係由J.W. Tukey 於1953 年發展而成，此法適用於當各組樣本數相等時，比較兩組平均數相互之間的差異（q值之差距考驗）。 q值：差距與標準誤的比值 查表值 當二平均數的差值大於HSD者，該對平均數之差即達到顯著水準

33 10-5 事後比較 紐曼－科爾氏法(Newman-Keuls method; N-K法)：此法同HSD法，適用於每組人數相等時的差距考驗，而其最大特色，係依平均數之大小依序使用不同的臨界q值 (依相差等級數r而異)，而HSD法，則不管平均數之大小次序，都使用同一個臨界q值。 查表值 等級數 (rank) ：二個平均數在平均數排列次序中相差的等級

34 10-5 事後比較 薛費法(Scheff ’e method)：係H．Scheffe’於1959 年所發展而成，無論各組樣本人數相等或不相等均可適用。常用於人數不相等時多組平均數間的比較。 HSD法與N-K法均只適用於各組人數相等時，以及比較一對二個平均數之間的差異時。當各組人數不相等或者想要進行複雜的比較 (每次比較包含二個以上平均數的差異) 時，則可使用此方法。 查表值

35 10-5 事後比較 費雪爾氏LSD法(Fisher’s Least Significant Difference)：LSD係由R.A Fisher於1914 年發展而成，此法適用於一組K個平均數間的成對比較。 查表值

36 10-5 事後比較 鄧肯氏法(Duncan’s method)：此法與Newman-Keuls法的系列檢定程序類似，但需採用特別的臨界值。
龐費洛尼t 考驗法(Bonferroni procedure)：此法亦稱為杜恩氏多重比較法(Dunn’s multiple comparison procedure)，係利用LSD法加以修正而成，故又稱為修正的LSD法(modified LSD)，其特色是將α依比較數加以分割。 R-E-G-W F 值是以 F 檢定為基礎，而 R-E-G-W Q 值則以 Studentized 全距為基礎。這些檢定，比 Duncan 多重全距檢定和 Student-Newman-Keuls 法都更有效，但在細格大小不相等的時候，建議最好別用。

37 10-5 事後比較 Duncan 多重範圍檢定、Student-Newman-Keuls 法 (S-N-K) 和 Tukey-b 檢定，都是全距檢定，它們會將組別平均數分等級，並計算全距值。 Hochberg GT2 檢定，跟 Tukey 最誠實顯著性差異檢定很像，但是它使用Studentized 最大模數。通常，Tukey檢定比較有效。再者，Gabriel 成對比較檢定，也使用 Studentized 最大模數，而且當細格大小不等的時候，通常會比 Hochberg GT2 檢定有效。當細格大小變化很大時，Gabriel 檢定可能會變成開放式的。 Waller-Duncan t 檢定，乃是使用 Bayesian 作法。這個全距檢定在樣本大小不相等的時候，會使用樣本大小的調和平均數。

38 10-5 事後比較 Dunnett 成對多重比較 t 檢定，會把一組處理方式，與單一控制平均數做比較。其中最後一個類別，是預設的控制類別。此檢定法可以選擇雙邊或單邊檢定。若要檢定因子在任何水準 (除了控制類別) 的平均數，是否不等於控制類別的平均數，使用雙邊檢定。若要檢定因子在任何水準的平均數，是否小於控制類別的平均數，則選取「< 控制」。同樣地，若要檢定因子在任何水準的平均數，是否大於控制類別的平均數，可選取「> 控制」。

39 10-5 事後比較 當我們在選擇事後比較方法時，應該考慮研究的性質再作決定。
若研究屬於初步的探索性研究，則應該考慮強調統計的強韌性，盡量找出可能的差異出來；若是較接近驗證性研究，則應該考慮強調保守性，除非二組間平均數差異真的是非常顯著，否則寧可接受虛無假設。

40 10-4 完全隨機的變異數分析 單因子變異數分析 (p.385例題10-7) Excel法：用單因子變異數分析 (適用於獨立樣本) 變源
SS 自由度 MS F P-值 臨界值 組間 3 組內 18 總和 21

41 10-4 完全隨機的變異數分析 獨立樣本單因子變異數分析 (p.385例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA

42 10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures

43 10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures

44 10-4 完全隨機的變異數分析 相依樣本單因子變異數分析 SPSS法：GLM-Repeated Measures 六種事後比較
離差(Deviation) ：每一組皆與其餘組做比較。 簡單(Simple) ：每一組皆與參考組做比較。 差分(Difference) ：除第一組外，每一組皆與其前面各組的平均數做比較。 Helmert：除最後一組外，每一組皆與其後面各組的平均數做比較。 重覆(Repeated) ：除第一組外，每一組皆與其前一組做比較。 多項式(Polynomial) ：進行多項式比較。 相依樣本變異數分析中不能採用離差(Deviation) 、簡單(Simple)及重覆(Repeated) 這三種

45 10-4 完全隨機的變異數分析 單因子變異數分析之預檢資料 (p.385例題10-7) SPSS法：one-way ANOVA
變異數分析須符合常態分配、變異數同質的條件，故應預檢資料是否成常態分配、變異數同質。 P383

46 10-9 t檢定與F檢定的再說明 二組樣本用t檢定，三組以上的樣本用F檢定。二組樣本用t檢定的結果與用變異數分析之F檢定的結果是一樣的；t2=F。 (p. 415 例10-17獨立樣本、 p. 417 例10-18相依樣本) P415

47 作業 請自訂一研究主題，後進行四種實驗設計的方法安排設計內容。