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Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis Chapter 9
第九章 單一母體之假設檢定 Inferences Based on a Single Sample: Tests of Hypothesis Chapter 9
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學習目標 1. 區別各種的假設 假設與檢定的過程 3. Ｐ值p-value的觀念與應用 單母體假設與檢定問題的解決 5. 假設的檢定力與應用
1. 區別各種的假設 假設與檢定的過程 3. Ｐ值p-value的觀念與應用 單母體假設與檢定問題的解決 5. 假設的檢定力與應用 As a result of this class, you will be able to ...
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推論統計的應用 5
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假設檢定的觀念 Hypothesis Testing Concepts
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假設檢定Hypothesis Testing
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假設檢定Hypothesis Testing
Population
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假設檢定Hypothesis Testing
Population
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假設檢定Hypothesis Testing
Population 隨機抽樣 Random sample Mean X = 20
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假設檢定Hypothesis Testing
拒絕Reject hypothesis! 差了太多 Population 隨機抽樣 Random sample Mean X = 20
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何謂假設Hypothesis? 1.對於母體母數的信念論述A belief about a population parameter
母體的母數可能為population mean, proportion, variance 必須在事前先確定Must be stated before analysis
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何謂假設Hypothesis? 1.對於母體母數的信念論述A belief about a population parameter
母體的母數可能為population mean, proportion, variance 必須在事前先確定Must be stated before analysis 我認為本班同學的平均 GPA 為 3.5! ? T/Maker Co.
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虛無假設Null Hypothesis 1. 對於母體母數的通常性，一般性的論述 2. 若被拒絕則就得到對立假設的顯著性
1. 對於母體母數的通常性，一般性的論述 2. 若被拒絕則就得到對立假設的顯著性 3. 總是包含了等號: , , or 4. 通常簡寫為H0 5. 例如 H0: 某特定值 也可寫為不等式（或） 例H0: 3
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對立假設 Alternative Hypothesis
1. 對立於虛無假設 2. 總是為不等式(不包含=)即: ,, or 3. 通常寫作Ha （亦被記為H1) 4. 例如Ha: < 某特定值 例, Ha: < 3
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得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps
1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達
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得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps
1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 某廠商由供應商進了一批零件需求的規格是：平均長度為2吋，為了決定此批零件該被收下或退回，品管部門須抽樣做檢定 Ha: 2 H0: = 2
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得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps
1.將問題以統計方式敘述 2需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次? Ha: ＜ 20 H0: ≧ 20
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得到虛無及對立假設的步驟Identifying Hypotheses Steps
1.將問題以統計方式敘述 2.需要充分證據證明的設為對立假設 3.將對立假設以不等式表達 , <, or > 4.確定虛無假設並以數學式表達 範例 某研究室設計了一種新的汽化器，預計能增加汽油利用的效率。假設過去平均每加崙的汽油可行使24哩，在大量製造推廣這種新的汽化器之前，我們必須搜尋充分證據證明此種新的設計的確比舊的有效 Ha: 24 H0: ≦ 24
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檢定依對立假設的形式可分成三類 以母體平均數μ之檢定為例
H0: ≦ 0，Ha: ＞ 0 右尾檢定（right-tailed test） H0: ≧ 0，Ha: ＜ 0 左尾檢定（ left-tailed test ） H0: ＝ 0，Ha: ≠ 0 雙尾檢定（ two-tailed test ） 0為一事先決定之常數 其中1. 2.又稱為單尾檢定
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估計時可靠度（relibility）之評估
信賴水準（Confidence Level ） 誤差範圍（Error Bound）
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決策風險機率 Decision Making Risks
檢定時可靠度之評估 決策風險機率 Decision Making Risks
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決策錯誤機率 Errors in Making Decision
1. 型Ｉ錯誤Type I error 拒絕了正確的虛無假設reject a true null hypothesis 型Ｉ錯誤機率以(alpha)表示 也就是檢定的顯著水準Called level of significance 2. 型II錯誤Type II error 接受了錯誤的虛無假設Do not reject false null hypothesis 型II錯誤機率以(beta)表示
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檢定力(power of the test) 正確的接受了對立假設的機率 =P(reject Ho I Ha is true) =1 - b
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每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次?
範例 每位大學生平均每年逛書店的次數明顯的低於過去的20次? H0: ≧ Ha: ＜ 20 型Ｉ錯誤 真實的情形：大學生平均每年逛書店的次數大於等於20次 檢定的決策：大學生平均每年逛書店的次數少於20次 型 II 錯誤 真實的情形：大學生平均每年逛書店的次數少於20次 檢定的決策：大學生平均每年逛書店的次數大於等於20次
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決策後之結果 Decision Results
H0: 被告是無辜的Innocent
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與 有相互間的反效應
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與 有相互間的反效應
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與 有相互間的反效應
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與 有相互間的反效應
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與 有相互間的反效應 你無法同時減低型Ｉ與型II誤差
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決策後之結果 Decision Results
H0: 被告是無辜的Innocent
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顯著水準 Level of Significance
2. 一般以(alpha)表達；為既定顯著水準 3. 在進行檢定之前就先確定 常見的值為 .01, .05, .10
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單母體假設檢定
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單母體假設檢定 One Population
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單母體假設檢定 One Population Mean
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單母體假設檢定 One Population Mean Proportion
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單母體假設檢定 σknown One Population Mean Proportion Large Sample Z Test
(1 & 2 tail)
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單母體假設檢定 σunknown σknown One Population Mean Proportion Small Large
Sample Sample Z Test t Test (1 & 2 (1 & 2 tail) tail)
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單母體假設檢定 σunknown σknown One Population Mean Proportion Small Large
Sample Sample Z Test t Test (1 & 2 (1 & 2 tail) tail)
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基本知識
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基本知識 What is Z given = .025? = .025
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基本知識 當 = .025 時 Z 為? = .025 α
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基本知識 當 = .025 時 Z 為? 標準常態分配表 (部份) .06 = .025 0.025 1.9 .4750
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基本知識 當 = .025 時 Z 為? 標準常態分配表 (部份) .06 = .025 = 0.025 1.9 .4750
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假設檢定問題解決的步驟 Hypothesis Testing Steps
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解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定 決定樣本數 n 決定合適的檢定統計
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解決檢定問題的步驟流程 確定拒絕域rejection region及臨界值 critical values 根據問題決定 H0
計算出檢定統計值 根據檢定統計值做出決策 將決策以口語或文字表達 出來 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定 決定樣本數 n 決定合適的檢定統計
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σ已知時平均數的單尾Ζ檢定 One-Tailed Z Test of Mean (σ known)
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左尾檢定的範例 你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解Escorts型汽車的耗油量是否顯著的低於所訂定的32 mpg（公里每公升）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為3.8 mpg。今隨機抽取了 60 輛Escorts汽車得到了樣本平均耗油輛為 30.7 mpg。 試以顯著水準a=0.01 決定耗油量是否低於所訂定的32 mpg? Alone Group Class
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解決檢定問題的步驟流程 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定 決定樣本數 n 決定合適的檢定統 計 H0：μ≧32
α ＝ 0.01 n ＝ 60
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步驟五：決定檢定統計量 （Test Statistic）
若有一統計量其數值可判定虛無假設應被接受或拒絕，則此統計量稱為檢定統計量 一般檢定μ時，x 為一恰當的檢定統計量
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解決檢定問題的步驟流程 確定拒絕域rejection region及臨界值 critical values 根據問題決定 H0
計算出檢定統計值 根據檢定統計值做出決策 將決策以口語或文字表達 出來 根據問題決定 H0 根據問題決定 H1 根據問題決定 決定樣本數 n 決定合適的檢定統計
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步驟六：確定拒絕域（rejection region）及臨界值（critical value）
拒絕域： X ＜ C C 即為臨界值 臨界值須由檢定統計量的抽樣分配及顯著水準決定
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當母體的機率分配為常態或是大樣本（n≧30）
基本知識：X 的抽樣分配 當母體的機率分配為常態或是大樣本（n≧30） X 的抽樣分配為（或近似） 常態分配 N（μ，σ/√n）
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Rejection region does NOT include critical value.
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Rejection region does NOT include critical value. Ho Sample Statistic Value
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Ho Sample Statistic Value
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Nonrejection Region 接受區 Ho Sample Statistic Value
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Nonrejection Region 臨界值 Critical Value Ho Sample Statistic Value
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Rejection Region Rejection region does NOT include critical value. Nonrejection Region Ho Critical Value Sample Statistic Value
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Level of Confidence Rejection region does NOT include critical value. 1 - 接受虛無假設 若樣本統計落在接受區Observed sample statistic
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單尾拒絕區 Rejection Region (One-Tail Test)
Sampling Distribution Level of Confidence Rejection region does NOT include critical value. 1 - 不接受虛無假設 若樣本統計落在拒絕區Observed sample statistic
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臨界值的決定
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臨界值的決定
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步驟八：根據檢定統計值作出決策 X ＝ 30.7 ＜ 30.86 落在拒絕域 決策：拒絕虛無假設（ H0：μ≧32 ）
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Escorts型汽車的耗油量顯著的低於所訂定的32 mpg（公里 / 公升）。
步驟九：將決策以文字表達 在0.01的顯著水準下， 有充分的證據證明 Escorts型汽車的耗油量顯著的低於所訂定的32 mpg（公里 / 公升）。
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動腦想一想 μ>32 時之型 ∣錯誤機率為何? 2. 需要將型 ∣錯誤機率降的更低嗎?
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動腦想一想 μ>32 時之型 ∣錯誤機率為何? Ans: μ>32 時之型 ∣錯誤機率必定較 μ＝32 時之型 ∣錯誤機率為小
2. 需要將型 ∣錯誤機率降的更低嗎? Ans: 不用，否則型 ∥錯誤機率會增加
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Standardized Test Statistic：
標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Standardized Test Statistic： Z = （X -μ）/ （σ/ √n）
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標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Test Statistis： Z = （X -μ）/ （σ/ √n）
Z的抽樣分配為標準常態 N（0 ,1）
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標準化檢定統計量 亦可將 X 標準化後以做為檢定統計量 Test Statistis： Z = （X -μ）/ （σ/ √n）
Z的抽樣分配為標準常態 N（0 ,1） 左尾檢定之拒絕域：Z＜- Zα
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左尾檢定的範例 你是福特公司的汽車性能分析師，你想要了解Escorts型汽車的耗油量是否顯著的低於所訂定的32 mpg（公里每公升）。根據製造部門提供的訊息得知標準差為3.8 mpg。今隨機抽取了 60 輛Escorts汽車得到了樣本平均耗油輛為 30.7 mpg。 試以顯著水準a=0.01 決定耗油量是否低於所訂定的32 mpg? Alone Group Class
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標準化檢定統計量解答 H0: Ha: = n = Critical Value(s): Test Statistic:
Decision: Conclusion:
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單尾Z檢定解答 H0: = 32 Ha: < 32 = n = Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: Conclusion:
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單尾Z檢定解答 H0: = 32 Ha: < 32 = .01 n = 60 Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: Conclusion:
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單尾Z檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = 0.10 n = 48
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: -1.28
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單尾Z檢定解答 H0: = 32 Ha: < 32 = .01 n = 60 Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: Conclusion:
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單尾Z檢定解答 H0: = 32 Ha: < 32 = .01 n = 60 Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .01下拒絕虛無假設
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σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 25
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05情形下拒絕Ho 有充分證據證明重量超過368公克
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σ已知時平均數的單尾檢定例題 假設由台北飛金門的班機，必須平均至少有60%的載客率才會有利可圖，今隨機調查48架次由台北飛金門的班機的載客率，顯示平均載客率為58%，若已知載客率的標準差為11%，試在0.10的顯著水準下檢定此資料是否足以證明該此班機無利可圖？
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σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = n =
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的單尾Ζ檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = 0.10 n = 48
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:
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單尾Z檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = 0.10 n = 48
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: -1.28
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單尾Z檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = .10 n = 48 Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: 1.26 0.11 48 -1.28
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單尾Z檢定解答 H0: ≧ 0.60 Ha: < 0.60 = .10 n = 48 Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: 在 =0 .10下無法拒絕虛無假設 1.26 0.11 48 -1.28
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單尾Z檢定解答 Conclusion： 在0.1的顯著水準下，樣本並沒有顯示充分 的證據來證明此班機無利可圖。
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單尾Z檢定解答 檢定結果無法拒絕虛無假設Ho時： 錯誤結論： 有足夠的證據支持虛無假設 正確結論：沒有足夠的證據來支持對立假
設或沒有足夠的證據來拒絕虛無假設
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單尾Z檢定解答 檢定結果無法拒絕虛無假設Ho時： 錯誤結論： 有足夠的證據支持虛無假設 正確結論：沒有足夠的證據來支持對立假
設或沒有足夠的證據來拒絕虛無假設 理由： 檢定時並沒有控制型II錯誤機率
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影響的因素 母體母數的真實值 型Ｉ誤差, 的選擇 3. 母體的標準差, 4. 樣本數, n 當兩假設母數差異減少時， b增加
減小時b增加； 增加時b減小 3. 母體的標準差, 增加時b增加 4. 樣本數, n 當n減少時b增加
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右尾檢定範例 368 gm. 盒裝的麥片重量是否顯著的多過標籤上所載為368 公克呢?
隨機抽選了36 盒的麥片得到了： 樣本平均數為X = 372.5公克。 根據盒上記載裝填所產生的標準差為15公克。請以顯著水準a= 0.05檢定之。 368 gm.
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: Ha: = n = Critical Value(s): Test Statistic:
Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = n = Critical Value(s):
Test Statistic: Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 36
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 36
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 25
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion:
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 25
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05情形下拒絕Ho
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σ已知時平均數的右尾Ζ檢定解答 H0: = 368 Ha: > 368 = .05 n = 25
Critical Value(s): Test Statistic: Decision: Conclusion: 在 = .05情形下拒絕Ho 有充分證據證明重量超過368公克
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σ已知時平均數的單尾Ζ檢定 H0:≧μ0 Ha: <μ0 H0: ≦μ0 Ha: > μ0
若檢定統計量Ζ值小於－ Zα時拒絕H0 若檢定統計量Ζ值大於Zα時拒絕H0
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檢定 動動腦想一想 在“某一新型汽車美加侖汽油平均行駛的里程數是否顯著的低於25哩 ”的檢定中，若已知該型汽車行駛里程數的標準差為3哩 / 加崙，隨機測試了30輛車並建立決策法則如下：若樣本平均數少於24，則拒絕虛無假設。試問 a.此檢定的顯著水準為何？ b.若真實的情形：每加侖汽油平均行駛的里程數只有24.5哩，則此時的型II錯誤機率為何？
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單尾Z檢定 動動腦想一想 解答 Ho：μ≧25 Ha：μ＜25 P(型I錯誤機率) 顯著水準：可容忍的最大型I錯誤機率
= P(拒絕Ho∣Ho正確) = P(X < 24∣μ = 25) = P(Z < -1.83) =
100
單尾Z檢定 動動腦想一想 解答 b. Ho：μ≧25 Ha：μ＜25 P(型II錯誤機率) = P(接受Ho∣Ha正確)
= P(X ≧ 24∣μ = 24.5) = P(Z ≧- 0.91) = b.
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