第1章 插 值 概念 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；

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1 第1章 插 值 概念 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；
第1章 插 值 概念 实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。 自然地，希望g(x)通过所有的离散点 x0 x1 x2 x3 x4 x g(x)  f(x)

2 问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计 定义： 为定义在区间 上的函数， 为区间上n+1个互不
相同的点， 为给定的某一函数类。求 上的函数 满足 问题 是否存在唯一 如何构造 误差估计

3 有解 系数行列式不为0 设 则 特点： 与基函数无关 与原函数f(x)无关 基函数个数与点个数相同

4 存在唯一定理 定理1.1 ： 为n＋1个节点， n+1维空间，则插值函数存在唯一，当且仅当

5 对应于 则 Vandermonde行列式

6 多项式插值的Lagrange型 如何找？ 在基函数上下功夫，取基函数为 要求 则

7 求 ，易知： 线性插值

8 二次插值

9 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。
例： 例：已知 分别利用 sin x 的1次、2次 Lagrange 插值计算 sin 50 并估计误差。

10 内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。
§1 Lagrange Polynomial 解： n = 1 分别利用x0, x1 以及 x1, x2 计算 利用 内插通常优于外推。选择要计算的 x 所在的区间的端点，插值效果较好。 ) 18 5 ( 50 sin 1  p L 这里 而 sin 50 = … 外推 /* extrapolation */ 的实际误差   利用 sin 50  , 内插 /* interpolation */ 的实际误差 

11 sin 50 = 0.7660444… 2次插值的实际误差  0.00061 高次插值通常优于低次插值 n = 2 0.76543 )
18 5 ( 50 sin 2  p L sin 50 = … 2次插值的实际误差  高次插值通常优于低次插值

12 误差 解： 求 设 易知

13 有n+2个零点 由a的任意性

14 事后误差估计 给定 任取n+1个构造 如： 另取 则

15 近似 则

16 Lagrange 插值的缺点 无承袭性。增加一个节点，所有的基函数都要重新计算

17 Newton型多项式插值 承袭性： 且 为实数 同样

18 而且有：

19 这样：

20 定义：差商 称为k阶差商 称为1阶差商

21 由归纳：

22 此处用到差商的一个性质： （用归纳法易证）
对称性： 定义关键：找不同的元素相减作分母

23 Newton插值构造 1、先构造差商表

24 2、利用差商表的最外一行，构造插值多项式 例子 2点Newton型插值

25 一些性质 性质2

26 误差 性质3

27 差商性质总结

28 1.4 Hermite插值 有时候，构造插值函数除了函数值的条件以外，还需要一定的

29 §3 Hermite Interpolation
例：设 x0  x1  x2, 已知 f(x0)、 f(x1)、 f(x2) 和 f ’(x1), 求多项式 P(x) 满足 P(xi) = f (xi)，i = 0, 1, 2，且 P’(x1) = f ’(x1), 并估计误差。 解：首先，P 的阶数 = 3 模仿 Lagrange 多项式的思想，设  + = 2 1 3 ) ( i x h x1 f ’ f P  其中 hi(xj) = ij , hi’(x1) = 0, (xi) = 0, ’(x1) = 1  h1 有根 x1, x2，且 h0’(x1) = 0  x1 是重根。 h0(x) ) ( 2 1 x C h - = 又: h0(x0) = 1  C0 h2(x) 与h0(x) 完全类似。 h1(x) 有根 x0, x2  与 Lagrange 分析完全类似 ) )( ( 2 1 x B Ax h - + = 由余下条件 h1(x1) = 1 和 h1’(x1) = 0 可解。 (x)  h1  h1 ) )( ( 2 1 x C - = 有根 x0, x1, x2   h1 又: ’(x1) = 1  C1 可解。

30 仿照Lagrange插值的做法，首先确定多项式插值空间的维数，
注意到，我们的条件共有2(n+1)个条件，所以，最高次数为2n+1

31

32 整个构造步骤如下： 1、确定多项式的最高项次数，就是函数空间的维数 2、假设一组基函数，列出插值多项式 3、列出基函数满足的公式（画表），求基函数 称为 构造基函数方法

33 误差分析 类似Lagrange插值的分析方法

34 二重密切Hermite插值误差

35  是否次数越高越好呢？ 例：在[5, 5]上考察 的Ln(x)。取 Ln(x)  f (x) n 越大， 端点附近抖动 越大，称为
- 5 4 3 2 1 0.5 1.5 2.5 Ln(x)  f (x)  n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象

36 分段低阶插值 Runge现象 等距高次插值，数值稳定性差，本身是病态的。 1901年，Runge 例：
等距节点构造10次Lagrange插值多项式 -0.90 -0.70 -0.50 -0.30

37 分段低次插值 分段线性插值 每个小区间上，作线性插值 特性 (1) (2) 在每个小区间上为一个不高于1次的多项式

38 误差 可以看出

39 收敛，可惜只一阶精度，不够光滑。 类似，可以作二重密切Hermite插值 关键： 分段、低阶插值

40 三次样条插值 分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够理想。在工业设计中， 对曲线光滑性要求高，如：流线型
设想这样一曲线：插值，次数不高于3次，整个曲线2阶连续导 数，称为三次样条函数插值。

41 每个小区间不高于3次， 有4n个未知数，我们的已知条件如下： 共3n-3+n+1=4n-2个条件

42 需要附加2个条件，通常在边界处给出 m关系式 设 所以，是3次二重Hermite插值，记

43

44 由

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46 两个边界条件

47 有 加上边值条件 (1) 固支边界条件 (2) (3) 周期边界条件

48 M关系式 设 记 三弯距法： 3次多项式导2次后，为线性函数

49 积分2次 由 有

50 计算过程如下