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二元隨機變數(Bivariate Random Variables)
複習 社會中大多數的事件是同時發生或互相關連的： 如教育程度與薪資 人口密度與犯罪率 市場中廠商的數目與商品價格 二元隨機變數描述兩個隨機變數X與Y共同發生的的數值組合(X,Y)，其發生的機率可用聯合機率函數來表達 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Joint Probability Tables 聯合機率表
複習 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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聯合機率函數 複習 設X,Y為二元間斷隨機變數，X之值為x1,x2,x3,…xn，Y之值為y1,y2,y3…ym，若f(xi, yj)滿足下列兩條件： 則f(xi, yj)成為聯合機率函數 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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邊際機率函數 設X,Y為二元間斷隨機變數，其機率函數為f(x,y)，則X, Y的邊際機率函數分別為fx(xi)與fy(yj) 複習
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X,Y的聯合機率分配表 複習 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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條件機率 設f(x,y)為二元機率函數，則 在Y= yj的條件下，xi發生的條件機率為： 在X= xi的條件下，yj發生的條件機率為： 複習
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兩變數獨立 兩變數彼此沒有關連，稱為獨立(independent): 設X,Y為二元隨機變數，若X,Y滿足下列任一條件，則X,Y為獨立：
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Covariance, 共變量 當X, Y兩隨機變數不互為獨立時，表示兩者間有關連。其關連的形式有很多種，最常見的關連為線性的共變關係。
觀念 當X, Y兩隨機變數不互為獨立時，表示兩者間有關連。其關連的形式有很多種，最常見的關連為線性的共變關係。 兩個隨機變數X,Y間的線性關係可用兩個統計量來測量(1) 共變數(covariance) (2) 相關係數 (correlation coefficient)。兩者都能衡量兩變數之間是否有線性關係存在。 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Stochastic Relationships and Scatter Diagrams
觀念 Scatter Plot可以顯示兩連續變數x, y之間的關聯 形式與 強度： 依 變項y 自變項x 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Y X與Y之間的關係為線性還是非線性？ X (a)
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Y X與Y之間的關係為線性還是非線性？ X (b)
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Y X與Y之間的關聯強度為何？ X (c)
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Y X與Y之間的關係是正向還是反向？ X (d)
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我們用簡單圖形可以來瞭解兩變數x與y之間的關係。另一種分析兩變數關係的統計技術為相關分析(correlation analysis)。
Covariance, 共變量 觀念 我們用簡單圖形可以來瞭解兩變數x與y之間的關係。另一種分析兩變數關係的統計技術為相關分析(correlation analysis)。 兩個隨機變數之間的共變關係為何？ 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Covariance, 共變量 觀念 假設兩隨機變數Y與X之間具有某種關聯，母體X的平均值為ux、母體變異數σx2，母體Y的平均值為uy 、母體變異數σy2， 樣本變異數 母體變異數 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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測量兩變數之間是否有關連的一個有效指標為共變數(covariance)
觀念 測量兩變數之間是否有關連的一個有效指標為共變數(covariance) 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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先生的收入(x)與太太的收入(y)關係如下表，請計算共變量(covariance)
觀念 先生的收入(x)與太太的收入(y)關係如下表，請計算共變量(covariance) 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Covariance, 共變量 觀念 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Covariance, 共變量 觀念 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 求x與y的covariance? 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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⊕ I II (14-10)(8-5) =(4)(3) (6-10)(3-5)=(-4)(-2) ⊕ III IV
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⊕ I II (13-10)(8-5) =(-3)(3) (5-10)(8-5)=(-5)(3) ⊕ III IV
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Covariance, 共變量 觀念 證明： 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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證明：if X, Y are independent,
Covariance, 共變量 觀念 證明：if X, Y are independent, 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數
用共變量來衡量兩變數的關係有一個缺點，即σxy及sxy的值會受到x與y衡量單位的影響。 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數
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The Population Correlation Coefficient, ρ 母體相關係數
因此，我們將covariance分別除上x與y的標準差σx、σy，得到標準化後的指標稱之為相關係數: 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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Sample Correlation Coefficient, r 樣本相關係數
樣本相關係數: 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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相關係數的特性 相關係數衡量兩變數之間是否有線性關係，相關係數愈大，代表兩變數之間的線性關係愈強。相關係數為零，代表兩變數沒有線性關係。
相關係數的值介於正負1之間，正1代表兩者呈完全正相關，負1代表兩者呈現完全負相關。 如果x與y為獨立，則相關係數ρ=0。 如果ρ=0，x與y不一定為獨立，因為他們可能具有非線性關係。 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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證明：若x為y之線性函數y=a+bx，則x與y的相關係數為±1。
相關係數的特性 證明：若x為y之線性函數y=a+bx，則x與y的相關係數為±1。 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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r = 0.8 Y X (a)
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Y r = .95 X (b)
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Y r = 0 X (c)
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Y r = 0 X (a)
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Y r = -.90 X (d)
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Y r = -0.5 X (c)
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相關係數的強弱 r = 1 為完全相關 r = 0 為無相關 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 求x與y的correlation? 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 求x與y的correlation? 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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母體相關係數的檢定 樣本相關係數r為母體相關係數的估計式。
若(x, y)為一組具有雙邊常態分配(bivariate normal distribution)的隨機變數 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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母體相關係數的檢定 相當於檢證 利用檢定斜率的公式： 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 續上例 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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z 相關係數與因果關係 相關僅代表兩變數間有線性關係，不必然隱含因果關係，下列情況皆有可能
Two variables are said to be spuriously correlated when their correlations is nonzero and there is no reason to believe that the variables are related to one another. 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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相關係數與因果關係 商品的價格愈高，需求愈低？ 美國職業運動的票價每年都在增長，但需求不減反增。
相關分析僅考慮兩個變數x, y 之間的關係，而忽略其他可能影響y的因素。 人口增加、收入增加、職業運動受歡迎的程度增加等 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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相關係數不受單位尺度變換的影響 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 某校MBA畢業生的在學成績(x)與工作起薪(y)的資訊如下： 求r並檢定H0: =0 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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例題 社會統計（上） ©蘇國賢2000
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