單一分配 Uniform distribution

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1 單一分配 Uniform distribution
若 在 發生的機率皆相同

2 常態分配 Normal distribution

3 標準常態分配 Standard normal distribution
把常態分配標準化

4 中央極限定理 Central limit theorem (CLT)
如果觀察值數目N增加，則N個獨立且認定分配(independent and identically distributed, I.I.D.)的變數之平均數向常態分配收斂

5 常態分配重要特性 如果變數間 (1)為獨立分配；或 (2)多變數常態分配 則聯合常態分配變數的線性組合亦為一常態分配

6 例題 (1999 FRM Exam Q.12) 對一標準常態分配，累加分配函數介乎 -1 與 1之間下的面積大概為: A. 50% B. 68% C. 75% D. 95%

7 例題 (1999 FRM Exam Q.11) 若 X 與 Y為標準常態分配，其共變異數 Cov(X,Y)=0.4, 則(5X+2Y)之變異數為: A B C D. 37.0

8 隨機變數的線性轉換 若 則

9 隨機變數的和 若 則

10 例題 (1999 FRM Exam Q.13) 常態分配之峰度係數 A. 0 B. 無法決定，因為必需先知道該分配 的變異數為何 C. 2 D. 3

11 例題 (1999 FRM Exam Q.16) 如果一分配，其變異數與常態分配相同，但峰度係數大過3，則下列何者為對? A.其雙尾較常態分配為厚 B.其雙尾較常態分配為薄 C. 因其變異數與常態分配相同，故其雙尾與 常態分配相同 D. 條件不夠，無法決定

12 常態分配的缺點 儘管常態分配有許多優點，但其在雙邊有無限長，不符現實，因金融資產皆為有限責任，報酬率絕不会小過負一

13 對數常態分配 Lognormal distribution
若一隨機變數 X，其對數 Y = ln(X)為常態分配 ，則X為對數常態分配。最常見為連續複利報酬率。

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15 例子:前述之債劵定價，100元面值Zero的價格為
隱含 故如 利率 (r) 為常態分配，則價格(V)為對數常態分配

16 例題 (2001 FRM Exam Q.72) 對數常態分配為 A. 正偏態 B. 負偏態 C. 不偏態，偏態係數 = 2 D. 不偏態，偏態係數 = 0

17 例題 (1999 FRM Exam 5) 下列何者最適合描述常態分配與對數常態分配之關係: A. 常態分配之對數為對數常態分配; B. 若 X 之自然對數為對數常態分配，則 X為常態分配； C. 若 X為對數常態分配，則X 之自然對 數為常態分配; D.兩種分配相互間，無任何關係

18 例題 (1998 FRM Exam Q.10) 若 X 為對數常態分配，而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.2之常態分配，則 X 之預期值為: A B C D. 1.20

19 例題 (1998 FRM Exam Q.16) 下列何者正確: I. 兩隨機常態變數之和，亦為隨機常態變數 II.兩隨機常態變數之乘積，亦為隨機常態變數 III.兩隨機對數常態變數之和，亦為隨機對數常 態變數 IV.兩隨機對數常態變數之乘積，亦為隨機對數常態變數 A. 只有I和II B.只有II和III C. 只有III和IV D.只有I和IV

20 例題 (2000 FRM Exam Q.128) 若 X 為對數常態分配，而 ln(X)為平均數 = 0 及標準差=0.5之常態分配，則 X 之預期值及變異數為: A 及 C 及 C 及 D 及 0.399