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第十一章 无穷级数 返回
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一、主要内容
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幂级数 三角级数 泰勒展开式 傅氏展开式 泰勒级数 傅氏级数 数或函数 常数项级数 函数项级数 一 般 项 级 数 正 项 级 数 任 意
收 敛 半 径 R 幂级数 三角级数 泰勒展开式 傅氏展开式 满足狄 氏条件 泰勒级数 傅氏级数 在收敛 级数与数 条件下 相互转化 数 数或函数 函 数
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1、常数项级数 定义 级数的部分和 级数的收敛与发散
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收敛级数的基本性质 性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变. 性质2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和. 级数收敛的必要条件:
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常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 一般项级数 1. 2. 3.按基本性质; 4.充要条件 4.绝对收敛 5.比较法 5.交错级数
6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数
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2、正项级数及其审敛法 定义 审敛法 (1) 比较审敛法
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(2) 比较审敛法的极限形式
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3、交错级数及其审敛法 定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.
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4、任意项级数及其审敛法 定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
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5、函数项级数 (1) 定义 (2) 收敛点与收敛域
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(3) 和函数
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6、幂级数 (1) 定义
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(2) 收敛性
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推论
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定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.
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(3)幂级数的运算 a.代数运算性质: 加减法 (其中
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乘法 (其中 除法
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b.和函数的分析运算性质:
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7、幂级数展开式 (1) 定义
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(2) 充要条件 (3) 唯一性
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(3) 展开方法 a.直接法(泰勒级数法) 步骤: b.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式.
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(4) 常见函数展开式
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(5) 应用 a.近似计算 b.欧拉公式
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8、傅里叶级数 (1) 三角函数系 三角函数系
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(2) 傅里叶级数 定义 三角级数
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其中 称为傅里叶级数.
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(3) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
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(4) 正弦级数与余弦级数
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(5) 周期的延拓 奇延拓:
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偶延拓:
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二、典型例题
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例1 判断下列级数的敛散性 解 四、例题解析-例1-1
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解 四、例题解析-例1-2
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解 四、例题解析-例1-3
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解 四、例题解析-例1-4
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解 四、例题解析-例1-5
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解 四、例题解析-例1-6
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例2 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
解 四、例题解析-例2-1
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解 四、例题解析-例2-2
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解 四、例题解析-例3
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解 四、例题解析-例4-1
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四、例题解析-例4-2
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解 四、例题解析-例5
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解 四、例题解析-例6
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一、幂级数 1.会求收敛半径，收敛区间 一、幂级数-1
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2.幂级数的求和 一、幂级数-2
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例1.求下列各幂级数的收敛域 解 ∴收敛半径为 所以原级数在（-2，2）收敛 发散 收敛 故：原级数的收敛域为 [-2，2）。 例1（1）
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解 ∴收敛半径为 例1（2）— 1
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∴收敛半径为 例1（2）— 2
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例1（2）— 3
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解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 发散； 故：原级数的收敛域为 例1（3）
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解 用比值法： 则 原级数收敛； 原级数发散； 原级数绝对收敛； 故：原级数的收敛域为 例1（4）
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例2 (1) 解 两边逐项积分 例2（1）—1
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例2（1）—2
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解 两边逐项求导 例2（2）—1
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两边同时积分， 例2（2）—2
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解 由上题结论，有 （*） 例2（3）—1
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例3 解 例3(1)-1
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例3(1)-2
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解 例3(2)-1
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例3(2)-2
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解 例3(3)-1
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例3(3)-2
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解 Y -2 -1 1 2 X O 例4-1
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X Y O 1 -1 2 例4-2
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解 例5-1
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三、巩固练习
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巩固练习题答案
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谢谢使用，再见 ！ Thank you! Byebye!
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