第六章 曲面 体 形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。

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1 第六章 曲面 体 形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。
第六章 曲面 体 §6-1 曲面体的投影 由平面与曲面或全部由曲面围成的几何体称为曲面体，如圆柱、圆锥、圆球等。 工程上常用的曲面立体一般为回转体。回转体由回转面或回转 面与平面围成。 i 一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回转运动所形成的曲面称为回转面。 i 形成回转面的动线称为母线，定直线称为回转轴，母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆。

2 圆 柱 面 圆 锥 面 圆 球 面 回转轴 母线 素线 回转轴 母线 素线 母线 素线 回转轴

3 一 圆 柱 空间分析 1 圆柱的投影 1. 圆柱各表面的投影特性 2. 圆柱的投影 3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线 a(a1) a`
一 圆 柱 A A1 a(a1) a` a1` a`` a1`` 最左素线的正面投影 1 圆柱的投影 a`` a1`` a` a1` 最左素线 空间分析 1. 圆柱各表面的投影特性 2. 圆柱的投影 a (a1) 3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线

4 一 圆柱 1 圆柱的投影 2 圆柱表面上的点、 线 在圆柱表面取点常利用积聚性法求,即在该面具有积聚性的投影上作出点的投影,然后再作点的第三投影.再判定可见性 在圆柱表面取线是在圆柱表面上取点的基础上进行的，若为直线 则求其两端点的投影然后将其同面投影相连即 可。若为曲线则要作出曲线上若干个点的 投影,再将同面投影光滑连线 可见性判定:面可见则点、线可见，面不可见则点、线不可见 。

5 例6-1 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B的正面投影a`和b`和点C的侧面投影c’’,试求出a和a``、b和b``及c 和c’。
(1) 分析基本体的投影特性 解题分析 主要分析是否有积聚性表面,图示圆柱面为侧垂面,其侧面投影积聚为圆周。 a` b` a`` b`` ( C`` ) (2) 判定点的空间位置 C` YW A点在上半圆柱面的前方,B点在圆柱的最前素线上。C点在右端面上。 YH C (3) 作图 利用积聚性直接求出a``、b’’和c’’、再由a`和a`` ; b’和b``;c’和c’’ 求得a,b,c。 a b

6 例6-2 如图所示,已知圆柱表面上的线ABC的正面投影,试求其余两面投影。
解题分析 (c``) (1) 分析基本体的投影特性 2` c (2``) 圆柱面的水平投影有积聚性 2 (2) 分析线的位置及投影 b`` 1` 线ABC位于前半个圆柱面上,空间为一段曲线,点A在圆柱面的最左素线上,点B在最前素线上 1 1`` a`` (3) 作图 a ·1· 利用积聚性直接求出ABC的水平投影,再求其侧面投影; b ·2· 求曲线上一般点的投影 ; ·3· 判别可见性,光滑连线。

7 二. 圆 锥 1 圆锥的投影 投影分析： (1) 圆锥各表面的投影特性 (2) 圆锥的投影 (3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线 最左素线
二. 圆 锥 s` a` 1 圆锥的投影 s`` a`` s` A a` S s a M m 最左素线 s a 投影分析： (1) 圆锥各表面的投影特性 (2) 圆锥的投影 (3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线

8 二. 圆 锥 1 圆锥的投影 2 圆锥表面上的点和线 例6-3 如图所示，已知圆锥面上一点K的正面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。 s` k` s s`` 形体分析 由于圆锥面的三面投影均无积聚性，且K点也不在特殊位置素线上，故必须通过作辅助线的方法求解。

9 注意:所作的素线一定要过锥顶 作图 (2) 纬圆法 锥顶S与锥面上任一点的连线都是直线,如图中SK , 交底圆于M点。
(1) 素线法 m` m`` 锥顶S与锥面上任一点的连线都是直线,如图中SK , 交底圆于M点。 (k``) k 注意:所作的素线一定要过锥顶 m YW YH (2) 纬圆法 S K M 由于母线上任一点绕轴线旋转轨迹都是垂直于轴线的圆,图示圆锥轴线为铅垂线,故过K点的纬圆为水平圆,其水平投影是圆。

10 解题分析 作 图 例6-3 已知圆锥面上的折线SABC的正面投影s`a`b`c`,求其它两面投影。
线段SA过锥顶,空间为直线;线段AB为曲线;线段BC平行底为一水平圆。如立体图所示。 d` d`` e` e`` c`` b`` 作 图 S A B C (1) 辅助线法求出直线另一端点A的水平及侧面投影 c (2) 确定圆弧BC的半径,求出它的水平及侧面投影 a b e d (3) 描点求曲线AB的投影(特殊点D、一般点E) (4) 判别可见性,依次光滑连线

11 三. 圆 球 1 圆球的投影 作图时先确定球心的三面投影,再画出三个与球的直径相等的圆.
三. 圆 球 1 圆球的投影 作图时先确定球心的三面投影,再画出三个与球的直径相等的圆. 如图所示,圆球的三面投影都是与球的直径相等的圆.这三圆分别为球面上平行于正面、水平面、和侧面的最大圆周的投影,

12 三. 圆 球 1 圆球的投影 2 圆球表面上的点和线 如图所示,已知球面上点A的正面投影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``. 解题分析
三. 圆 球 1 圆球的投影 2 圆球表面上的点和线 如图所示,已知球面上点A的正面投影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``. 解题分析 圆球的三面投影均无积聚性,故球面上的取点通常采用纬圆法 , A点在球的左、前、上方。 R1 a` a`` 作 图 (1) 过点A作一水平辅助圆 , 正面投影作过a`的水平线段 ,水平投影以线段的长R1为半径画圆 ; (2) 求出水平投影a和侧面投影a``。 a

13 例6-4 求作立体的第三投影,并完成其表面上的点和线的其余投影.
例6-4 求作立体的第三投影,并完成其表面上的点和线的其余投影. 1. 点A是主子午线上的点,可直接求得其余两投影。 作 图 2. 线段CD是一段水平圆弧,其水平投影反映实形,侧面投影为一段直线。 a` b` c` d` a a`` (b``) e` b (e``) e c`` d d`` 3. 线段BC是一段正垂圆弧,其水平投影和侧面投影均为一段椭圆弧。点C投影已求出,再求点B的投影。 解题分析 1 基本体及其投影特性 2 点的位置及投影特性 4. 取若干一般点(如点E)，求解方法同点B。 3 折线BCD空间形状及投影特性 c 5. 判别可见性，光滑连线。

14 §6-2 平面与曲面立体相交 一 、 概述 二、 平面与 圆柱相交 三、平面与 圆锥相交 四、平面与 圆球相交 五、综合题

15 一 、 概述 平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。 曲面体截交线的性质：
1、封闭的平面图形（曲、 直线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。 求曲面体的截交线的方法： 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依 次连线。

16 二、 平面与 圆柱相交 1 平面与圆柱相交所得截交线形状 2 圆柱截交线的求法 3 圆柱截交线例题

17 1、平面与 圆柱相交所得截交线形状 矩形 圆 椭圆

18 圆柱截交线求共有点的方法 1、利用积聚性法 2、素线法 上一级

19 带切口的圆柱 如图所示 , 圆柱左侧的切槽是由一个侧平面和一个水平面切割而成。 平面Ⅰ为侧平面,它与圆柱面的交线为两条铅垂线AA1,BB1。
Ⅱ A1 B 平面Ⅱ为一水平面,它与圆柱面的交线为圆弧。 B1 作图关键是求出AA1和BB1的侧面投影

20 B B1 A A1

21 a (a1) A A1

22 例6-5 圆柱截交线 1 a' a" 2‘1' 1" 2" a 2 1 d‘c' d" c" d c 2 1 3‘4' 3" 4" a b 4 3 b' b" b c d 3 4

23 例6-6 圆柱截交线3 侧平面 正垂面 水平面 分析： 侧平面 9 8 1. 截平面数量 6 及相对投面影面的位置 正垂面 7 5 4 2
例6-6 圆柱截交线3 侧平面 正垂面 水平面 分析： 1. 截平面数量 及相对投面影面的位置 2.截交线的空间形状及投影形状 侧平面 8 9 6 正垂面 7 4 5 2 3 水平面 1

24 例6-6 圆柱截交线3 作图: 1.求特殊点 2.求一般点 9` 7` （8`） （6`） 5' 3` （4`） 1` （2`） 侧平面 8
正垂面 7 4 5 2 3 水平面 1

25 例6-6 圆柱截交线3 Y。 作图: 9`` 9` (8``) (7``) 7` （8`） （6`） 5' 5`` 6`` 3` （4`）
1.求特殊点 2.求一般点 3 判断可见性 4.检查 9`` 9` (8``) (7``) 7` （8`） （6`） 5' 5`` 6`` 3` （4`） 2`` 1`` 1` （2`） y 2 5 6 8 7 9 4 3 1 4 2 6 8 y Y。 9 1 5 7 3

26 三、平面与 圆锥相交 1、平面与 圆锥相交所得截交线形状 2、 圆锥截交线的求法 3、 圆锥截交线例题

27 1 平面与 圆锥相交所得截交线形状 圆 一对相交直线 椭圆 双曲线 抛物线

28 圆锥上的截交线 求共有点的方法 素线法 纬圆法

29 例6-7圆锥截交线 分析： 作图: 1.分析形体特征 2. 截平面与圆锥 体及投影面相 对位置 3.截交线的形状 1.求特殊点 2.求一般点
3 判断可见性 4.检查

30 例6-8 圆锥截交线 分析： RV 作图: 1.分析形体特征 2. 截平面与圆锥 体及投影面相 对位置 3.截交线的形状 1.求特殊点
2.求一般点 3 判断可见性 4.检查

31 例6-9 圆锥截交线 分析： 作图: 1.分析形体特征 2. 截平面数量 及相对位置 3.截交线的形状 1.求特殊点 2.求一般点
3 判断可见性 4.检查

32 四、平面与 圆球相交 1、平面与 圆球相交所得截交线形状 2、 圆球截交线的求法 3、 圆球截交线例题

33 1、平面与 圆球相交所得截交线形状 圆球被任何位置平面切割时, 其交线均为圆。截平面离球心愈近,交线圆的直径愈大。
当 截平面与某投影面平行时, 则交线在该投影面上的投影反映圆的实形。

34 2 、圆球上的截交线 求共有点的方法 纬圆法

35 例6-10 求球被水平面截切后的投影。

36 例6-11 完成带切口的半球的投影。 分析

37 例6-12圆球截交线1 分析： 作图: 1.分析形体特征 2. 截平面的相 对位置 3.截交线的形状 1.求特殊点 2.求一般点
3 判断可见性 4.检查

38 例6-13 已知半球被截切后的水平投影,求作其余两投影.
例6-13 已知半球被截切后的水平投影,求作其余两投影. 2. 作图 1. 3. 题给 分析

39 § 6-3直线与曲面体相交 直线与曲面体相交一般有两个交点,这样的点也称贯穿点 ,它是直线与曲面体表面的共有点. 求共有点的方法:
1.积聚性法 2.辅助平面法

40 分析 例6-14求直线与圆柱的贯穿点. 作图 判别可见性 1’ 2’ 2 1 题给

41 例 求水平线AB与圆锥 的贯穿点 分析 作图 PV 题给 判别可见性

42 例6-16 求AB直线与正圆锥的贯穿点 作图 判别可见性 分析 题给 3’ d’ e’ 4’ m’2 m’1 1’ 2’ 3 4 d m1

43 §6-4 平面立体与曲面立体相交 平面立体与曲面立体相交.其相贯线为由若干段的平面曲线组合而成的封闭曲线
相贯线为平面曲线 每段平面曲线可看成是平面体上的棱面与曲面体的截交线 每两段平面曲线的交点可看成是平面体的棱线与曲面体的贯穿点,称为相贯线的结合点. 结合点为贯 穿点 因此,求平面立体与曲面立体的相贯线可归结为求截交线和贯穿点的问题. 相贯线为平面曲线

44 例 求四棱锥与圆柱的相贯线 作图 题给 分析

45 例6-18求三棱柱与半圆球的相贯线. 作图 题给 分析

46 §6-5 两曲面立体相贯 1、两曲面立体相贯线的性质 2、相贯线的三种基本形式 3、两曲面立体相贯线的求法 4、相贯线上共有点的求法
5、求相贯线的作图步骤 6、例题 7、相贯线的特殊情况 返回

47 1、相贯线的性质 （1） 、一般情况下,相贯线为封闭的空间曲线。
（2）、相贯线是两立体表面的共有线，也是两立体表面的分界线,相贯线上的点是两立体表面的共有点。 相贯线 相贯线 相贯线

48 3、求解相贯线的关键 4、相贯线上共有点的基本求法 (1)、利用曲面的积聚投影法 (2)、辅助平面法
求出两曲面体表面的共有点，然后依次连线。 4、相贯线上共有点的基本求法 (1)、利用曲面的积聚投影法 当相交两立体之一表面的投影具有积聚性时，（如圆柱的轴线垂直某一投影面，此圆柱体的相贯线，在该投影面有积聚性，可利用积聚性或面上取点法作图。 (2)、辅助平面法 返回

49 5、作图步骤 （2）相贯线空间分析、投影分析 （1）形体分析（两立体之间及立体与投影面之间的相对位置） （3）求特殊位置点
（4）求一般位置点 （5）依次连接各点 （6）判断可见性 （7）整理轮廓线 返回

50 （1）、利用曲面的积聚投影法求相贯线 例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线 分析： 平直立圆柱的水平投影有积聚 性，水圆柱的侧面投影有积聚性，
相贯线的两面投影分别落在这两个有积聚性的圆上，故只需求正面投影。 作图： 1，求特殊点。 2，求一般点。 3，判别可见性。

51 例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线 1` 2` 1`` 3`` 3` 4`` 最前最低点 最后最低点投影 最左最高点 最左最高点投影
(1)求特殊点。 由于两圆柱轴线相交，且同时平行于正面，故两圆柱的外形线位于同一正平面内，因此，它们的正面投影的交点分别就是相贯线上的最左点，最右点，同时是最高点的投影。 1` 2` 1`` 3`` 3` 4`` 外表面和外表面相交 最前最低点 最后最低点投影 最左最高点 最左最高点投影 最右最高点投影 1 4 1 2 相贯线 3 3 最前最低点投影

52 （2）求一般点。 在相贯线水平投影上任取一点 。 （3）判别可见性，按顺序光滑连接。 例6-19：求垂直相交圆柱的相贯线 y 1` 1``
2`` 2` 3`` 3` 判别相贯线可见性的原则： 只有当相贯线同时位于两立体的可见表面时，其相贯线才是可见的。由于该两圆柱所形成相贯形 外表面和外表面相交 相贯线 y 辅助素线 1 2 1 3 y 2 2 3

53 两圆柱相交的三种形式 外表面和内表面相交 外表面和内表面相交

54 两圆柱相交的三种形式 挖孔后 切割后 内表面和内表面相交

55 综合举例 错误的做法 内表面和内表面相交 错误的做法 外表面和内表面相交 返回

56 （2）、辅助平面法 利用辅助平面法求相贯线，就是利用辅助平面与参加相贯的两曲面立体相交，各得一截交线，而这两截交线的交点，就是所求相贯线上的点。 辅助平面 辅助平面 A B A A B B

57 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。
辅助平面法原理 甲立体表面 截交线 甲面 R面 乙面 两截交线的 交点即为 辅助平面 共点 截交线 乙立体表面 为了作图简便和准确，在选取辅助平面时，应尽量使辅助平面与两曲面立体的截交线的投影都是直线或圆。 Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅳ 交线是圆 交线是平行两直线 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。 辅助平面

58 （2）、辅助平面法举例 常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。 返回

59 例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线 局部放大图 7` 7`` 6`` 8`` 6` 8` 5`` 9` 9`` 5` 4`` 10`
10`` 3`` 3` 1`` 1` 2` 2`` 9 8 7 10 6 1 5 2 3 4 局部放大图

60 例6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线 返回

61 例 6-20 求两轴线交叉圆柱圆锥的相贯线 局部放大图 返回

62 例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 1.求特殊点 垂直圆柱的水平投影中标注特殊点。先确定转向轮廓线上的点。 2.求一般点
例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 作图： 1.求特殊点 垂直圆柱的水平投影中标注特殊点。先确定转向轮廓线上的点。 点A,B为最左最右点。点C,D为最前后点，1，2点为半球前后的轮廓线上点。 3，4点为半球左右的轮廓线上点。E,F最高最低点。点5，6为一般点。 2.求一般点 利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点就是相贯线上的点。 3.判别可见性，并将各点的同面投影依次光滑地连接起来，即得相贯线。 4.补全外形线，完成作图 分析： 圆柱与半球相交其相贯线为空间曲线，圆柱的轴线垂直水平面，其相贯线的水平投影与圆柱的投影重合为圆。故只求作相贯线的正面投影，侧面投影。 由于两圆柱的水平积聚投影左右，前后不对称。故相贯线的正面投影，侧面投影为完整的封闭的相贯线的投影。 d 3 e 1 2 a b 5 6 f c 4

63 例6-21求圆柱与半圆球的相贯线 UH RH QH d` d`` a`` b`` b` a` c`` c` 作图： 1.求特殊点 ：
先作圆柱上的外形轮廓线上的点A,B,C,D。利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点就是相贯线上的点。 D UH B d 3 e 1 2 A RH C a b f 4 QH c

64 例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 Y Y MV KH Y Y 作图： 1.求特殊点 再作圆球上的外形轮廓线上的点1，2，3，4。
例6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 Y Y 作图： 1.求特殊点 再作圆球上的外形轮廓线上的点1，2，3，4。 最高点E最低点F。 3` 4` e` d` 2` 3`` e`` 1`` 2`` b`` d`` 1` b` 4`` MV a` c`` c` a`` f`` f` 3 E d 3 2 KH e Y 1 1 2 4 a b F Y f c 4

65 例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 KH KH 2.求一般点
3` e` d` 2` 3`` e`` 2`` b`` d`` 6`` 5`` 1` KH 4`` 6` b` 1`` a` 4` c`` c` a`` 5` f` f`` 2.求一般点 利用辅助正平面R，与圆柱面的截交线正面投影为两条平行的直线，与圆球面的截交线正面投影为圆，该两截交线的交点5,6 就是相贯线上的点。 d 3 e 1 2 a b KH 5 6 f c 4

66 例 6-21 求圆柱与半圆球的相贯线 KH KH 3.判别可见性，并将各点的同面投影依次光滑地连接起来，即得相贯线。
例 求圆柱与半圆球的相贯线 3.判别可见性，并将各点的同面投影依次光滑地连接起来，即得相贯线。 4.补全外形线，完成作图 3` e` d` 2` 3`` e`` 2`` b`` d`` 1` 6`` 5`` KH 4`` 6` b` 1`` a` c`` 4` c` a`` 5` f` f`` 1` d 3 e a` 1 2 5` a b f` KH 5 6 f c 4

67 6 . 相贯线的特殊情况 两回转立体相交，相贯线一般为空间曲线，但在特殊情况也可能是平面曲线或直线。 相贯线为平面曲线(圆) 相贯线为直线

68 相贯线的特殊情况一 同轴的回转体相交, 相贯线为圆 返回

69 相贯线的特殊情况二 公切于一球 的两回转体 相交,相贯线为椭圆 相贯线的特殊情况二 返回

70 轴线互相平行的两圆柱相交,相贯线为两条平行于轴线 的直线
相贯线的特殊情况三 轴线互相平行的两圆柱相交,相贯线为两条平行于轴线 的直线

71 曲面立体与曲面立体相贯 返回

72 曲面立体与曲面立体相贯 返回