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比與比值 比例式 應用問題 自我評量.

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1 比與比值 比例式 應用問題 自我評量

2 搭配頁數 P.102 比例式 比與比值 日常生活中,經常發現許多事物裡面 含有比例的關係,例如:料理食材的比 例、地圖上的比例尺、 ⋯⋯。事實上, 這些都和比與比值有許多關聯;首先, 透過一些生活例子來複習國小學過的比 與比值概念。

3 搭配頁數 P.102 炎炎夏日,飲用一杯冰涼好喝的飲料,是莫大的享受。例如:將 200 毫升的冬瓜茶加入 300 毫升的鮮奶中,可以調配出一杯 500 毫升的冬瓜鮮奶。

4 搭配頁數 P.102

5 搭配頁數 P.102 比與比值

6 搭配頁數 P.103 同類量中,相同單位的比與比值 6 公分 4 公分 10 公分 C A B

7 (1)男生人數與女生人數的比為何?比值是 多少? (2)女生人數與全班人數的比為何?女生人 數是全班人數的幾倍?
搭配頁數 P.103 七年二班有男生 20 人、女生 15 人,則: (1)男生人數與女生人數的比為何?比值是 多少? (2)女生人數與全班人數的比為何?女生人 數是全班人數的幾倍? (2)全班人數=20+15 = 35

8 在例題 1 與隨堂練習中,所求的皆是同類量,且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值,但它們的單位不同時,則須先將它們化成相同單
搭配頁數 P.103 在例題 1 與隨堂練習中,所求的皆是同類量,且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值,但它們的單位不同時,則須先將它們化成相同單 位,再求其比值。

9 甲物品重 2 公斤,乙物品重 500 公克。則: (1)甲、乙兩物品重量的比為何? (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少?
搭配頁數 P.104 同類量中,不同單位的比與比值 甲物品重 2 公斤,乙物品重 500 公克。則: (1)甲、乙兩物品重量的比為何? (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少? (1)因為 2 公斤=2000 公克, 所以甲、乙兩物品重量的比為 2000:500 (2)甲、乙兩物品重量的比值為 2000 ÷ 500=4

10 小寬、小君兩人比賽跳繩的時間,小寬跳了 2 分鐘,小君跳了 36 秒。則: (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何?
搭配頁數 P.104 小寬、小君兩人比賽跳繩的時間,小寬跳了 2 分鐘,小君跳了 36 秒。則: (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何? (2) 小寬、小君兩人跳繩時間的比值是多少? (1) 2 分鐘:36 秒 =120:36 (2)比值= 120 ÷ 36

11 搭配頁數 P.104

12 搭配頁數 P.105 求比值

13 搭配頁數 P.105

14 搭配頁數 P.105

15 搭配頁數 P.106 繁分數的化簡

16 搭配頁數 P.106

17 搭配頁數 P.106

18 搭配頁數 P.107 比值的比較大小 在某次的籃球比賽當中,學生隊全場三分球出手 20 次,投進 15 次,教師隊全場三分球出手 24 次,投進 18 次,則哪一隊三分球的命中率較高? (命中率=投進次數與投球次數的比值) 學生隊三分球投進次數與投球次數的比是 15:20, 教師隊三分球投進次數與投球次數的比是 18:24, 因此學生隊與教師隊三分球的命中率相同

19 搭配頁數 P.107 正敏與金鋒參加棒球比賽,正敏在 15 次打擊中,擊出 6 次安打;金鋒在 24次打擊中,擊出 9 次安打,已知安打數與打擊數的比值稱為打擊率。則: (1)正敏和金鋒的打擊率分別 是多少?(以小數表示) (2)兩人的打擊率誰比較高? (2)正敏的打擊率比較高

20 已知 m ≠ 0,則(1) a:b=(a × m):(b × m)。 (2) a:b=(a ÷ m):(b ÷ m)。
搭配頁數 P.108 比值相等的兩個比,稱為相等的比。 例如:例題 5 中,「15:20」與「18:24」的比值相等,就稱這兩個比相等,可記成 15:20=18:24。 由於比值可以用分數來表示,且分數經過擴分或約分後,其值不變,因此一個比的前項與後項同乘或同除以一個不等於 0 的數後,比值仍是不變。 相等的比 已知 m ≠ 0,則(1) a:b=(a × m):(b × m)。 (2) a:b=(a ÷ m):(b ÷ m)。

21 1. 如果 2:5=6:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 6:4=□:2,則 □ 內填入的數是多少?
搭配頁數 P.108 等比值變化 1. 如果 2:5=6:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 6:4=□:2,則 □ 內填入的數是多少? 1.因為 2:5=(2×3):(5×3) = 6:15 所以 □ 內填入的數是 15。 2.因為 6:4=(6 ÷ 2):(4 ÷ 2) = 3:2 所以 □ 內填入的數是 3。

22 1.如果 7:3 = 21:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 36:48 = □:16,則 □ 內填入的數是多少?
搭配頁數 P.108 1.如果 7:3 = 21:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 36:48 = □:16,則 □ 內填入的數是多少? 1.因為 7:3=(7 × 3):(3 × 3) = 21:9 所以 □ 內填入的數是 9。 2.因為 36:48=(36 ÷ 3):(48 ÷ 3) = 12:16 所以 □ 內填入的數是 12。

23 搭配頁數 P.109

24 (1) 52:65= (52÷13):(65÷13) = 3:10 = 42:35 = (42 ÷ 7):(35 ÷ 7) = 6:5 解
搭配頁數 P.109 最簡整數比 (1) 52:65= (52÷13):(65÷13) = 3:10 = 42:35 = (42 ÷ 7):(35 ÷ 7) = 6:5

25 搭配頁數 P.109 (1) 39:21= (39 ÷ 3):(21 ÷ 3) = 260:13 = 20:1 = 21:10

26 搭配頁數 P.110 比例式 前面已經學過,如果 a:b 與 c:d 是相等的比,則可以記作a:b=c:d,像這樣的式子稱為比例式。 其中,a 和 d 稱為這個比例式的外項, b 和 c 稱為這個比例式的內項。 例如:在例題 6 第(1)題 2:5=6:□中,求得□內填入的數是15,進一步觀察這個比例式可以發現: 兩個內項的乘積 ( 5 × 6 ) 與兩個外項的乘積 ( 2 × 15 )是一樣的。

27 搭配頁數 P.110 比值相等 等號兩邊同乘以 bd 外項乘積=內項乘積 外項 如果 a:b=c:d,則 ad=bc。 內項

28 求下列各比例式中 x 的值: (1) 3:4=5:x (2) (x-3):2=(2x-5):3
搭配頁數 P.110 外項乘積等於內項乘積 求下列各比例式中 x 的值: (1) 3:4=5:x (2) (x-3):2=(2x-5):3 (2)因為(x-3):2=(2x-5):3 (1)因為 3:4=5:x 所以 3x=4×5 所以 3(x-3)=2(2x-5) 3x=20 3x-9 =4x -10 -x=-1 x= 1

29 搭配頁數 P.111 2x=5

30 搭配頁數 P.111 (2) 4 × 2(x-4)=3(x+1) 8x-32=3x+3 5x=35

31 那麼,要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢?
搭配頁數 P.111 消毒酒精 D I Y 酒精能使細菌的蛋白質脫水變性凝固而殺死細菌,因此生活上我們常用酒精來消毒。使用高濃度的酒精殺菌,因為脫水迅速,細菌表面的蛋白質很快就變性凝固,反而阻止酒精繼續滲入細菌內,因此藥局購買的 95% 藥用酒精並不適合拿來消毒;反倒是濃度較低的 75% 酒精因為與細菌的滲透壓相近,可以深入細菌內部,使得細菌內部及表面的蛋白質皆脫水變性凝固,因此最適合拿來消毒。 那麼,要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢?

32 加入 90% 精緻酒精 75ml,再加入純水至 90ml,可調出 75% 的消毒酒精。 搭配頁數 P.111
1加入 95% 藥用酒精 75ml 2再加入純水至 95ml _75% 的消毒酒精 加入 90% 精緻酒精 75ml,再加入純水至 90ml,可調出 75% 的消毒酒精。

33 如果 a:b=m:n ( m、n 為已知的數),則
搭配頁數 P.112 外項乘積等於內項乘積 等號兩邊同乘除以 6 比例式的應用 如果 a:b=m:n ( m、n 為已知的數),則

34 已知 x:y=5:7,求下列各比的比值: (1) 2x:3y (2) (x+y):(x-y)
搭配頁數 P.112 比例式的運算 已知 x:y=5:7,求下列各比的比值: (1) 2x:3y (2) (x+y):(x-y) 因為x:y=5:7,所以可設 x=5r,y=7r,其中 r ≠ 0。 (1) 2x:3y =(2 × 5r):(3 × 7r) (2)(x+y):(x-y) =(5r+7r):(5r-7r) =10r:21r =12r:(-2r) =10:21 =12:(-2) 因此2x:3y的比值為 =6:(-1) 因此(x+y):(x-y)比值為 6 ÷(-1) =-6

35 已知 x:y=5:2,求下列各比的比值:(1) 3x:4y (2) (2x-3y):(x-4y)
搭配頁數 P.112 已知 x:y=5:2,求下列各比的比值:(1) 3x:4y (2) (2x-3y):(x-4y) 設 x=5r,y=2r,其中 r ≠ 0。 (1) 3x:4y =(3×5r):(4×2r) (2) (2x-3y):(x-4y) =(10r-6r):(5r-8r) =15r:8r =4r:(-3r) =15:8 =4:(-3) 3x:4y的比值為 (2x-3y):(x-4y)的比值為

36 已知 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, (1)求 x:y (2)若 2x-3y=6,求(x+3):(y-5)
搭配頁數 P.113 比例式的運算 已知 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, (1)求 x:y (2)若 2x-3y=6,求(x+3):(y-5) (1)因為 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, 將等號兩邊同除以 15 得 x:y=5:3 (2)設 x=5r,y=3r,其中 r ≠ 0。 依題意可得 2×5r-3×3r=6,r=6, 所以(x+3):(y-5)=(5×6+3):(3×6-5) =33:13

37 已知 x、y 皆不等於 0 ,且 5x=2y, (1)求 x:y (2)若 4x-3y=-21,求(2x-3):(4x+1)
搭配頁數 P.113 已知 x、y 皆不等於 0 ,且 5x=2y, (1)求 x:y (2)若 4x-3y=-21,求(2x-3):(4x+1) (1) x:y=2:5 (2)設 x=2r,y=5r,其中 r ≠ 0 4x-3y=-21 ⇒ 4×2r-3×5r=-21 ⇒ r=3 ⇒ x=2×3=6 (2x-3):(4x+1) =(2×6-3):(4×6+1) =9:25

38 已知 x:y=2:3,則(x+1):( y+1)的比值是否為固定的值?並說明理由。
搭配頁數 P.113 已知 x:y=2:3,則(x+1):( y+1)的比值是否為固定的值?並說明理由。 設 x=2r,y=3r,其中 r ≠ 0 (x+1):(y+1)=(2r+1):(3r+1) 所以(x+1):(y+1)的比值不是固定的值

39 搭配頁數 P.114 應用問題 兩個同類量的比值表示兩者的倍數關係,而兩個不同類量的比值可以用來表示兩者的對應關係,例如:120 元可以購買 5 公斤的檸檬,120 與 5 的比值是 24,表示檸檬的單價是每公斤 24 元;100 公里的路程開車共需 2 小時,100與 2 的比值是 50,表示開車的平均速率是每小時 50 公里。

40 已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子, 則 90 元可以購買多少公斤的橘子?
搭配頁數 P.114 不同類量的比值問題 已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子, 則 90 元可以購買多少公斤的橘子? 橘子的單價為定值, 設 90 元可以購買 x 公斤的橘子, 150x=90×4

41 已知 120 公里的路程開車共需 3 小時,則以相等的速率開車, 100 公里需要多少小時?
搭配頁數 P.114 已知 120 公里的路程開車共需 3 小時,則以相等的速率開車, 100 公里需要多少小時? 設 100 公里需要開車 x 小時, ⇒ 120x=300

42 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個?
搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個? 因為蘋果和梨子個數的比是 3:4, 解一

43 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個?
搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個? 設蘋果有 3r 個,梨子有 4r 個,r ≠ 0 解二 依題意可得 3r+4r=63 7r=63 r=9 因此蘋果有 3r=3 × 9=27 (個), 梨子有 4r=4 × 9=36 (個)。

44 在例題 12 中,如果假設蘋果有 x 個,則解法為何?
搭配頁數 P.115 在例題 12 中,如果假設蘋果有 x 個,則解法為何? 參考解法: 假設蘋果有 x 個,則梨子有(63-x) 個。 依題意可知 x:(63-x)=3:4 4x=3(63-x) 4x=189-3x 7x=189 x=27 故蘋果有 27 個, 梨子有 63-27=36 (個)。

45 七年二班全班有35人,近視與沒有近視的人數比是2:3,則該班沒有近視的學生有多少人?
搭配頁數 P.116 七年二班全班有35人,近視與沒有近視的人數比是2:3,則該班沒有近視的學生有多少人? 設近視的學生有 2r 人,沒有近視的學生有 3r 人,r ≠ 0。 2r+3r=35 ⇒ 5r=35 ⇒ r=7 所以沒有近視的學生有 3r=3×7=21 (人)。

46 班上原來女生與男生之人數比是2:3。如果有 2 位男同學轉到他校,此時女生與男生的人數比是3:4,則班上原來的女生與男生各有多少人?
搭配頁數 P.116 比例的應用 班上原來女生與男生之人數比是2:3。如果有 2 位男同學轉到他校,此時女生與男生的人數比是3:4,則班上原來的女生與男生各有多少人? 設班上原有女生 2r 人,男生 3r 人,r ≠ 0。 依題意可得 2r:(3r-2)=3:4 9r-6=8r r=6 因此班上原來的女生有 2r=2×6=12 (人) 男生有 3r=3×6=18 (人)

47 今年敬宇與父親的年齡比是 1:3,7 年後敬宇與父親的年齡比是3:7,則敬宇今年幾歲?
搭配頁數 P.116 今年敬宇與父親的年齡比是 1:3,7 年後敬宇與父親的年齡比是3:7,則敬宇今年幾歲? 設敬宇今年 r 歲,父親今年 3r 歲,r ≠ 0。 (r+7):(3r+7)=3:7 ⇒ 3(3r+7)=7(r+7) ⇒ 9r+21=7r+49 ⇒ 2r=28 ⇒ r=14 所以敬宇今年 14 歲。

48 搭配頁數 P.117 比的前項、後項與比值:

49 一個比如果前項、後項為互質的兩個整數,稱為最簡整數比。
搭配頁數 P.117 相等的比: 比值相等的兩個比稱為相等的比。 最簡整數比: 一個比如果前項、後項為互質的兩個整數,稱為最簡整數比。 8:5 是最簡整數比,6:8 不是最簡整數比。

50 (1)a:b=c:d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a:b=c:d 中,a、d 稱為外項,b、c 稱為內項,
搭配頁數 P.117 比例式、內項與外項: (1)a:b=c:d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a:b=c:d 中,a、d 稱為外項,b、c 稱為內項, 則 ad=bc,即外項乘積等於內項乘積。 外項 內項 2:3=6:9 2 × 9 = 3 × 6 (外項乘積) (內項乘積)

51 搭配頁數 P.117 比例式的應用:

52 3-1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分,其周長的比為____:____ ,面積比為 ____:____ 。 3 2 9 4
搭配頁數 P.118 3-1 1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分,其周長的比為____:____ ,面積比為 ____:____ 。 2.七年 3 班有學生 40 人,第一次段考數學成績有 6 個人不及格,則及格人數和全班學生人數的比為____:____ ,比值為 ______ 。 正方形面積比為邊長平方比 及格人數= 40 – 6=34 34:40 = 17: 20

53 假設速率不變,如果甲 30 分鐘走 2000 公尺,則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。
搭配頁數 P.118 2 假設速率不變,如果甲 30 分鐘走 2000 公尺,則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。 設走的距離 x 公尺 則 30分: 2 小時 15 分= 2000: x 30:135= 2000: x 30x =135 × 2000 x =9000

54 (1) 18:30=3:____ (2) 1.5:0.9=15:____ = ____:3 ÷6 ÷6 5 9 5
搭配頁數 P.118 3 填填看: (1) 18:30=3:____ (2) 1.5:0.9=15:____ = ____:3 ÷6 ÷6 5 9 5 ×10 ×10 ÷3 ÷3 18 ⇒ 3 (經過18 ÷ 6得3) 所以30也 ÷ 6 ⇒ 得5 1.5 ⇒ 15 (經過1.5 × 10得15) 所以0.9也 × 10 ⇒ 得9 9 ⇒ 3 (經過9 ÷ 3得3) 所以15也 ÷ 3 ⇒ 得5

55 搭配頁數 P.118 4 將下列各繁分數化成最簡分數:

56 搭配頁數 P.118 5

57 搭配頁數 P.118 6 求下列各式中,□所代表的數: 28:35 =4:□ (2) □:4=51:12 (3)25:□=5:3 □=5

58 搭配頁數 P.119 7 求下列各比例式中 x 的值: (1) 24:x=2:7 (2) (x-1):3=(x+1):6

59 搭配頁數 P.119 8 甲地面積 10 平方公里,乙地面積 8 平方公里,如果甲地的人口數比乙地的人口數多 3000 人,且兩地的人口數與土地面積的比值相等,則甲、乙兩地共有多少人? 設甲地有 x 人,則乙地有(x-3000)人 8x=10(x-3000) 30000=2x x=15000 15000-3000=12000 15000+12000=27000 :27000人

60 已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31:29,如果男生比女生多 120人,則全校學生有多少人?
搭配頁數 P.119 9 已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31:29,如果男生比女生多 120人,則全校學生有多少人? 設男生有 31r 人,女生有 29r 人,r ≠ 0 31r-29r=120 2r=120 r=60 則全校學生有 31r+29r =60r =60×60 =3600 :3600人

61 設 x:y=2:7,且 3x+y=26, 求(x+1):(y+1) 設 x=2r,y=7r,r ≠ 0, 代入 3x+y=26
搭配頁數 P.119 10 設 x:y=2:7,且 3x+y=26, 求(x+1):(y+1) 設 x=2r,y=7r,r ≠ 0, 代入 3x+y=26 6r+7r=26 13r=26 r=2 解得 x=4,y=14 (x+1):(y+1)=5:15 =1:3

62 5:8 192 8×甲=5×乙 甲:乙=5:8 (2) 120:乙=5:8 乙× 5=120 × 8 乙=192 11 解
搭配頁數 P.119 11 5:8 192 8×甲=5×乙 甲:乙=5:8 (2) 120:乙=5:8 乙× 5=120 × 8 乙=192

63 設 x、y 皆不為 0,且 4x+2y=5x-3y,求(x+2y):(2x-y)的比值。
搭配頁數 P.119 12 設 x、y 皆不為 0,且 4x+2y=5x-3y,求(x+2y):(2x-y)的比值。 由 4x+2y=5x-3y 得 x=5y, ⇒ x:y=5:1 設 x=5r,y=r,r ≠ 0 則(x+2y):(2x-y) =(5r+2r):(10r-r) =7r:9r =7:9

64 比例式 結束播放

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