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比與比值 比例式 應用問題 自我評量
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搭配頁數 P.102 比例式 比與比值 日常生活中,經常發現許多事物裡面 含有比例的關係,例如:料理食材的比 例、地圖上的比例尺、 ⋯⋯。事實上, 這些都和比與比值有許多關聯;首先, 透過一些生活例子來複習國小學過的比 與比值概念。
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搭配頁數 P.102 炎炎夏日,飲用一杯冰涼好喝的飲料,是莫大的享受。例如:將 200 毫升的冬瓜茶加入 300 毫升的鮮奶中,可以調配出一杯 500 毫升的冬瓜鮮奶。
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搭配頁數 P.102
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搭配頁數 P.102 比與比值
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搭配頁數 P.103 同類量中,相同單位的比與比值 6 公分 4 公分 10 公分 C A B 解
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(1)男生人數與女生人數的比為何?比值是 多少? (2)女生人數與全班人數的比為何?女生人 數是全班人數的幾倍?
搭配頁數 P.103 七年二班有男生 20 人、女生 15 人,則: (1)男生人數與女生人數的比為何?比值是 多少? (2)女生人數與全班人數的比為何?女生人 數是全班人數的幾倍? 解 (2)全班人數=20+15 = 35
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在例題 1 與隨堂練習中,所求的皆是同類量,且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值,但它們的單位不同時,則須先將它們化成相同單
搭配頁數 P.103 在例題 1 與隨堂練習中,所求的皆是同類量,且單位相同的兩數的比值。 如果要求兩個同類量的比值,但它們的單位不同時,則須先將它們化成相同單 位,再求其比值。
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甲物品重 2 公斤,乙物品重 500 公克。則: (1)甲、乙兩物品重量的比為何? (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少?
搭配頁數 P.104 同類量中,不同單位的比與比值 甲物品重 2 公斤,乙物品重 500 公克。則: (1)甲、乙兩物品重量的比為何? (2)甲、乙兩物品重量的比值是多少? 解 (1)因為 2 公斤=2000 公克, 所以甲、乙兩物品重量的比為 2000:500 (2)甲、乙兩物品重量的比值為 2000 ÷ 500=4
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小寬、小君兩人比賽跳繩的時間,小寬跳了 2 分鐘,小君跳了 36 秒。則: (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何?
搭配頁數 P.104 小寬、小君兩人比賽跳繩的時間,小寬跳了 2 分鐘,小君跳了 36 秒。則: (1) 小寬、小君兩人跳繩時間的比為何? (2) 小寬、小君兩人跳繩時間的比值是多少? 解 (1) 2 分鐘:36 秒 =120:36 (2)比值= 120 ÷ 36
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搭配頁數 P.104
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搭配頁數 P.105 求比值 解
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搭配頁數 P.105 解
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搭配頁數 P.105
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搭配頁數 P.106 繁分數的化簡 解
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搭配頁數 P.106 解
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搭配頁數 P.106
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搭配頁數 P.107 比值的比較大小 在某次的籃球比賽當中,學生隊全場三分球出手 20 次,投進 15 次,教師隊全場三分球出手 24 次,投進 18 次,則哪一隊三分球的命中率較高? (命中率=投進次數與投球次數的比值) 解 學生隊三分球投進次數與投球次數的比是 15:20, 教師隊三分球投進次數與投球次數的比是 18:24, 因此學生隊與教師隊三分球的命中率相同
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搭配頁數 P.107 正敏與金鋒參加棒球比賽,正敏在 15 次打擊中,擊出 6 次安打;金鋒在 24次打擊中,擊出 9 次安打,已知安打數與打擊數的比值稱為打擊率。則: (1)正敏和金鋒的打擊率分別 是多少?(以小數表示) (2)兩人的打擊率誰比較高? 解 (2)正敏的打擊率比較高
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已知 m ≠ 0,則(1) a:b=(a × m):(b × m)。 (2) a:b=(a ÷ m):(b ÷ m)。
搭配頁數 P.108 比值相等的兩個比,稱為相等的比。 例如:例題 5 中,「15:20」與「18:24」的比值相等,就稱這兩個比相等,可記成 15:20=18:24。 由於比值可以用分數來表示,且分數經過擴分或約分後,其值不變,因此一個比的前項與後項同乘或同除以一個不等於 0 的數後,比值仍是不變。 相等的比 已知 m ≠ 0,則(1) a:b=(a × m):(b × m)。 (2) a:b=(a ÷ m):(b ÷ m)。
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1. 如果 2:5=6:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 6:4=□:2,則 □ 內填入的數是多少?
搭配頁數 P.108 等比值變化 1. 如果 2:5=6:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 6:4=□:2,則 □ 內填入的數是多少? 解 1.因為 2:5=(2×3):(5×3) = 6:15 所以 □ 內填入的數是 15。 2.因為 6:4=(6 ÷ 2):(4 ÷ 2) = 3:2 所以 □ 內填入的數是 3。
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1.如果 7:3 = 21:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 36:48 = □:16,則 □ 內填入的數是多少?
搭配頁數 P.108 1.如果 7:3 = 21:□,則 □ 內填入的數是多少? 2. 如果 36:48 = □:16,則 □ 內填入的數是多少? 解 1.因為 7:3=(7 × 3):(3 × 3) = 21:9 所以 □ 內填入的數是 9。 2.因為 36:48=(36 ÷ 3):(48 ÷ 3) = 12:16 所以 □ 內填入的數是 12。
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搭配頁數 P.109
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(1) 52:65= (52÷13):(65÷13) = 3:10 = 42:35 = (42 ÷ 7):(35 ÷ 7) = 6:5 解
搭配頁數 P.109 最簡整數比 解 (1) 52:65= (52÷13):(65÷13) = 3:10 = 42:35 = (42 ÷ 7):(35 ÷ 7) = 6:5
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搭配頁數 P.109 解 (1) 39:21= (39 ÷ 3):(21 ÷ 3) = 260:13 = 20:1 = 21:10
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搭配頁數 P.110 比例式 前面已經學過,如果 a:b 與 c:d 是相等的比,則可以記作a:b=c:d,像這樣的式子稱為比例式。 其中,a 和 d 稱為這個比例式的外項, b 和 c 稱為這個比例式的內項。 例如:在例題 6 第(1)題 2:5=6:□中,求得□內填入的數是15,進一步觀察這個比例式可以發現: 兩個內項的乘積 ( 5 × 6 ) 與兩個外項的乘積 ( 2 × 15 )是一樣的。
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搭配頁數 P.110 比值相等 等號兩邊同乘以 bd 外項乘積=內項乘積 外項 如果 a:b=c:d,則 ad=bc。 內項
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求下列各比例式中 x 的值: (1) 3:4=5:x (2) (x-3):2=(2x-5):3
搭配頁數 P.110 外項乘積等於內項乘積 求下列各比例式中 x 的值: (1) 3:4=5:x (2) (x-3):2=(2x-5):3 (2)因為(x-3):2=(2x-5):3 解 (1)因為 3:4=5:x 所以 3x=4×5 所以 3(x-3)=2(2x-5) 3x=20 3x-9 =4x -10 -x=-1 x= 1
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搭配頁數 P.111 解 2x=5
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搭配頁數 P.111 (2) 4 × 2(x-4)=3(x+1) 解 8x-32=3x+3 5x=35
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那麼,要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢?
搭配頁數 P.111 消毒酒精 D I Y 酒精能使細菌的蛋白質脫水變性凝固而殺死細菌,因此生活上我們常用酒精來消毒。使用高濃度的酒精殺菌,因為脫水迅速,細菌表面的蛋白質很快就變性凝固,反而阻止酒精繼續滲入細菌內,因此藥局購買的 95% 藥用酒精並不適合拿來消毒;反倒是濃度較低的 75% 酒精因為與細菌的滲透壓相近,可以深入細菌內部,使得細菌內部及表面的蛋白質皆脫水變性凝固,因此最適合拿來消毒。 那麼,要如何將買來的 95% 藥用酒精調配成 75% 的消毒酒精呢?
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加入 90% 精緻酒精 75ml,再加入純水至 90ml,可調出 75% 的消毒酒精。 搭配頁數 P.111
1加入 95% 藥用酒精 75ml 2再加入純水至 95ml _75% 的消毒酒精 加入 90% 精緻酒精 75ml,再加入純水至 90ml,可調出 75% 的消毒酒精。
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如果 a:b=m:n ( m、n 為已知的數),則
搭配頁數 P.112 外項乘積等於內項乘積 等號兩邊同乘除以 6 比例式的應用 如果 a:b=m:n ( m、n 為已知的數),則
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已知 x:y=5:7,求下列各比的比值: (1) 2x:3y (2) (x+y):(x-y)
搭配頁數 P.112 比例式的運算 已知 x:y=5:7,求下列各比的比值: (1) 2x:3y (2) (x+y):(x-y) 解 因為x:y=5:7,所以可設 x=5r,y=7r,其中 r ≠ 0。 (1) 2x:3y =(2 × 5r):(3 × 7r) (2)(x+y):(x-y) =(5r+7r):(5r-7r) =10r:21r =12r:(-2r) =10:21 =12:(-2) 因此2x:3y的比值為 =6:(-1) 因此(x+y):(x-y)比值為 6 ÷(-1) =-6
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已知 x:y=5:2,求下列各比的比值:(1) 3x:4y (2) (2x-3y):(x-4y)
搭配頁數 P.112 已知 x:y=5:2,求下列各比的比值:(1) 3x:4y (2) (2x-3y):(x-4y) 設 x=5r,y=2r,其中 r ≠ 0。 解 (1) 3x:4y =(3×5r):(4×2r) (2) (2x-3y):(x-4y) =(10r-6r):(5r-8r) =15r:8r =4r:(-3r) =15:8 =4:(-3) 3x:4y的比值為 (2x-3y):(x-4y)的比值為
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已知 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, (1)求 x:y (2)若 2x-3y=6,求(x+3):(y-5)
搭配頁數 P.113 比例式的運算 已知 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, (1)求 x:y (2)若 2x-3y=6,求(x+3):(y-5) (1)因為 x、y 皆不等於 0,且 3x=5y, 解 將等號兩邊同除以 15 得 x:y=5:3 (2)設 x=5r,y=3r,其中 r ≠ 0。 依題意可得 2×5r-3×3r=6,r=6, 所以(x+3):(y-5)=(5×6+3):(3×6-5) =33:13
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已知 x、y 皆不等於 0 ,且 5x=2y, (1)求 x:y (2)若 4x-3y=-21,求(2x-3):(4x+1)
搭配頁數 P.113 已知 x、y 皆不等於 0 ,且 5x=2y, (1)求 x:y (2)若 4x-3y=-21,求(2x-3):(4x+1) 解 (1) x:y=2:5 (2)設 x=2r,y=5r,其中 r ≠ 0 4x-3y=-21 ⇒ 4×2r-3×5r=-21 ⇒ r=3 ⇒ x=2×3=6 (2x-3):(4x+1) =(2×6-3):(4×6+1) =9:25
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已知 x:y=2:3,則(x+1):( y+1)的比值是否為固定的值?並說明理由。
搭配頁數 P.113 已知 x:y=2:3,則(x+1):( y+1)的比值是否為固定的值?並說明理由。 解 設 x=2r,y=3r,其中 r ≠ 0 (x+1):(y+1)=(2r+1):(3r+1) 所以(x+1):(y+1)的比值不是固定的值
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搭配頁數 P.114 應用問題 兩個同類量的比值表示兩者的倍數關係,而兩個不同類量的比值可以用來表示兩者的對應關係,例如:120 元可以購買 5 公斤的檸檬,120 與 5 的比值是 24,表示檸檬的單價是每公斤 24 元;100 公里的路程開車共需 2 小時,100與 2 的比值是 50,表示開車的平均速率是每小時 50 公里。
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已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子, 則 90 元可以購買多少公斤的橘子?
搭配頁數 P.114 不同類量的比值問題 已知 150 元可以購買 4 公斤的橘子, 則 90 元可以購買多少公斤的橘子? 解 橘子的單價為定值, 設 90 元可以購買 x 公斤的橘子, 150x=90×4
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已知 120 公里的路程開車共需 3 小時,則以相等的速率開車, 100 公里需要多少小時?
搭配頁數 P.114 已知 120 公里的路程開車共需 3 小時,則以相等的速率開車, 100 公里需要多少小時? 設 100 公里需要開車 x 小時, 解 ⇒ 120x=300
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籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個?
搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個? 因為蘋果和梨子個數的比是 3:4, 解一
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籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個?
搭配頁數 P.115 比例分配問題 籃子裡有蘋果和梨子共63個,已知蘋果和梨子個數的比是3:4,則蘋果和梨子各有多少個? 設蘋果有 3r 個,梨子有 4r 個,r ≠ 0 解二 依題意可得 3r+4r=63 7r=63 r=9 因此蘋果有 3r=3 × 9=27 (個), 梨子有 4r=4 × 9=36 (個)。
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在例題 12 中,如果假設蘋果有 x 個,則解法為何?
搭配頁數 P.115 在例題 12 中,如果假設蘋果有 x 個,則解法為何? 參考解法: 假設蘋果有 x 個,則梨子有(63-x) 個。 解 依題意可知 x:(63-x)=3:4 4x=3(63-x) 4x=189-3x 7x=189 x=27 故蘋果有 27 個, 梨子有 63-27=36 (個)。
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七年二班全班有35人,近視與沒有近視的人數比是2:3,則該班沒有近視的學生有多少人?
搭配頁數 P.116 七年二班全班有35人,近視與沒有近視的人數比是2:3,則該班沒有近視的學生有多少人? 設近視的學生有 2r 人,沒有近視的學生有 3r 人,r ≠ 0。 解 2r+3r=35 ⇒ 5r=35 ⇒ r=7 所以沒有近視的學生有 3r=3×7=21 (人)。
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班上原來女生與男生之人數比是2:3。如果有 2 位男同學轉到他校,此時女生與男生的人數比是3:4,則班上原來的女生與男生各有多少人?
搭配頁數 P.116 比例的應用 班上原來女生與男生之人數比是2:3。如果有 2 位男同學轉到他校,此時女生與男生的人數比是3:4,則班上原來的女生與男生各有多少人? 設班上原有女生 2r 人,男生 3r 人,r ≠ 0。 解 依題意可得 2r:(3r-2)=3:4 9r-6=8r r=6 因此班上原來的女生有 2r=2×6=12 (人) 男生有 3r=3×6=18 (人)
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今年敬宇與父親的年齡比是 1:3,7 年後敬宇與父親的年齡比是3:7,則敬宇今年幾歲?
搭配頁數 P.116 今年敬宇與父親的年齡比是 1:3,7 年後敬宇與父親的年齡比是3:7,則敬宇今年幾歲? 設敬宇今年 r 歲,父親今年 3r 歲,r ≠ 0。 解 (r+7):(3r+7)=3:7 ⇒ 3(3r+7)=7(r+7) ⇒ 9r+21=7r+49 ⇒ 2r=28 ⇒ r=14 所以敬宇今年 14 歲。
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搭配頁數 P.117 比的前項、後項與比值:
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一個比如果前項、後項為互質的兩個整數,稱為最簡整數比。
搭配頁數 P.117 相等的比: 比值相等的兩個比稱為相等的比。 最簡整數比: 一個比如果前項、後項為互質的兩個整數,稱為最簡整數比。 8:5 是最簡整數比,6:8 不是最簡整數比。
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(1)a:b=c:d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a:b=c:d 中,a、d 稱為外項,b、c 稱為內項,
搭配頁數 P.117 比例式、內項與外項: (1)a:b=c:d 稱為比例式。 (b、d 皆不等於 0) (2)比例式 a:b=c:d 中,a、d 稱為外項,b、c 稱為內項, 則 ad=bc,即外項乘積等於內項乘積。 外項 內項 2:3=6:9 2 × 9 = 3 × 6 (外項乘積) (內項乘積)
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搭配頁數 P.117 比例式的應用:
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3-1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分,其周長的比為____:____ ,面積比為 ____:____ 。 3 2 9 4
搭配頁數 P.118 3-1 1 1.兩個正方形的邊長各為 3 公分與 2 公分,其周長的比為____:____ ,面積比為 ____:____ 。 2.七年 3 班有學生 40 人,第一次段考數學成績有 6 個人不及格,則及格人數和全班學生人數的比為____:____ ,比值為 ______ 。 解 正方形面積比為邊長平方比 及格人數= 40 – 6=34 34:40 = 17: 20
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假設速率不變,如果甲 30 分鐘走 2000 公尺,則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。
搭配頁數 P.118 2 假設速率不變,如果甲 30 分鐘走 2000 公尺,則甲 2 小時 15 分走的距離是 ______公尺。 解 設走的距離 x 公尺 則 30分: 2 小時 15 分= 2000: x 30:135= 2000: x 30x =135 × 2000 x =9000
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(1) 18:30=3:____ (2) 1.5:0.9=15:____ = ____:3 ÷6 ÷6 5 9 5
搭配頁數 P.118 3 填填看: (1) 18:30=3:____ (2) 1.5:0.9=15:____ = ____:3 ÷6 ÷6 5 9 5 ×10 ×10 ÷3 ÷3 解 18 ⇒ 3 (經過18 ÷ 6得3) 所以30也 ÷ 6 ⇒ 得5 1.5 ⇒ 15 (經過1.5 × 10得15) 所以0.9也 × 10 ⇒ 得9 9 ⇒ 3 (經過9 ÷ 3得3) 所以15也 ÷ 3 ⇒ 得5
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搭配頁數 P.118 4 將下列各繁分數化成最簡分數: 解
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搭配頁數 P.118 5 解
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搭配頁數 P.118 6 求下列各式中,□所代表的數: 28:35 =4:□ (2) □:4=51:12 (3)25:□=5:3 解 □=5
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搭配頁數 P.119 7 求下列各比例式中 x 的值: (1) 24:x=2:7 (2) (x-1):3=(x+1):6 解
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搭配頁數 P.119 8 甲地面積 10 平方公里,乙地面積 8 平方公里,如果甲地的人口數比乙地的人口數多 3000 人,且兩地的人口數與土地面積的比值相等,則甲、乙兩地共有多少人? 設甲地有 x 人,則乙地有(x-3000)人 解 8x=10(x-3000) 30000=2x x=15000 15000-3000=12000 15000+12000=27000 :27000人
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已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31:29,如果男生比女生多 120人,則全校學生有多少人?
搭配頁數 P.119 9 已知中正國中男生人數與女生人數之比為 31:29,如果男生比女生多 120人,則全校學生有多少人? 解 設男生有 31r 人,女生有 29r 人,r ≠ 0 31r-29r=120 2r=120 r=60 則全校學生有 31r+29r =60r =60×60 =3600 :3600人
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設 x:y=2:7,且 3x+y=26, 求(x+1):(y+1) 設 x=2r,y=7r,r ≠ 0, 代入 3x+y=26
搭配頁數 P.119 10 設 x:y=2:7,且 3x+y=26, 求(x+1):(y+1) 解 設 x=2r,y=7r,r ≠ 0, 代入 3x+y=26 6r+7r=26 13r=26 r=2 解得 x=4,y=14 (x+1):(y+1)=5:15 =1:3
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5:8 192 8×甲=5×乙 甲:乙=5:8 (2) 120:乙=5:8 乙× 5=120 × 8 乙=192 11 解
搭配頁數 P.119 11 5:8 192 解 8×甲=5×乙 甲:乙=5:8 (2) 120:乙=5:8 乙× 5=120 × 8 乙=192
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設 x、y 皆不為 0,且 4x+2y=5x-3y,求(x+2y):(2x-y)的比值。
搭配頁數 P.119 12 設 x、y 皆不為 0,且 4x+2y=5x-3y,求(x+2y):(2x-y)的比值。 解 由 4x+2y=5x-3y 得 x=5y, ⇒ x:y=5:1 設 x=5r,y=r,r ≠ 0 則(x+2y):(2x-y) =(5r+2r):(10r-r) =7r:9r =7:9
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