控制系统分析与设计的 状态空间方法1 ——基础部分

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1 控制系统分析与设计的 状态空间方法1 ——基础部分
自动控制原理（现代控制理论） 控制系统分析与设计的 状态空间方法1 ——基础部分 （涉及第二、三、七章）

2 经典控制理论的特点 图形方法为主，物理概念强，直观简便，实用性强 控制结构简单，设定和调整参数少，且调整方针明确
以简单的控制结构获取相对满意的性能 主要缺点： 需反复“试凑”，控制结构及性能一般不是最优 仅适用于单变量（SISO）线性定常系统，一般不能用于多变量系统、时变系统或非线性系统 只考虑系统输入与输出的关系,不涉及系统的内部状态

3 现代控制理论（状态空间方法）的特点 统一表达和处理单、多变量系统，可以分析时变系统和非线性系统； 核心是状态变量的能控性、能观性；
通常寻求最优控制性能； 重要成果有极点配置、状态观测器、最佳调节器、最优控制等。 主要缺点： 对模型精度要求高，对模型误差及未知扰动的鲁棒性较差； 状态反馈难以直接实现，而采用状态观测器使控制结构复杂、 性能变差。

4 状态空间方法的主要内容 线性系统状态空间描述 —— 数学模型（2章） 线性变换与对角规范型 —— 模型的结构化简（3、7章）
状态空间描述下的运动分析 —— 分析的基础（3章） 李雅普诺夫稳定性理论 —— 稳定性分析（自学） 状态可控性和可观性 —— 核心概念（7章） 状态空间描述下系统的结构分析 —— 可控或可观状态变量的划分（自学） 状态反馈和极点配置、最优控制、状态观测器设计 —— 理论应用 （8章） 主要讲SISO线性定常系统

5 一、线性系统的状态空间描述 状态变量：完全描述系统行为的最小一组变量 称为状态向量 构成n维状态空间 x3 x(t1 ) x(t0 )
3维状态空间 x(t0 ) x(t1 ) x(t ) 构成n维状态空间 随时间变化产生状态轨迹

6 1. 系统的状态空间表达式 例: R-L-C串联网络 （输入u，输出uc） 状态方程
实际系统的阶数取决于独立储能元件的个数，一般 阶数=个数（有例外），如上例。如没有电感或电容，则为一阶；两者都没有，则为零阶。 输出方程

7 状态变量的选择是否唯一？ 不唯一! 由R-L-C网络的输入输出微分方程求 状态方程 该方法具有一般性,可用于输入输出高阶微分方程 输出方程

8 即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础）
同一系统不同状态变量之间的关系？ 前例R-L-C网络的两种状态变量为 即同一系统不同状态变量之间存在线性变换关系（化简的基础）

9 线性系统状态空间表达式的一般形式 系统 u(t) y(t) A、B、C、D 为常数阵  定常系统 A、B、C、D 含时变参数  时变系统

10 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D 状态空间描述的示意图 状态方程 … 输出方程

11 2. 两种模型的相互转化 由状态空间模型转化为传递函数（阵） 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自学）

12 由状态空间模型转化为传递函数（阵） 系统 u(t) y(t) G(s) 注意！

13 例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc）
由同一系统的不同状态空间表达式导出的传递函数（阵）必然相同

14 这种转换不唯一! 由微分方程或传递函数转化为状态空间模型
系统 u(t) y(t) G(s) U(s) Y(s) A,B,C,D 这种转换不唯一! 转化的实质：寻找在外部特性上等价的状态空间表达式，使其满足输入输出微分方程或传递函数 G(s) = C(sI-A)-1B+D 并称该状态空间表达式为该传递函数的一个实现。 方法：直接分解法、极点分解法、结构图分解法 （自学）

15 例: 求3阶微分方程的状态空间表达式 反映一般规律! 系统 u(t) y(t)

16 一般规律（输入端不含导数项）

17 输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？
即 可互换 输入端含导数项时如何建立状态空间表达式？

18 基于传递函数的直接分解法： 设 G(s) 为SISO系统 对该方程的处理类同前面！ A,B,C,D y(t) u(t) 系统 U(s)
Y(s) A,B,C,D 设 G(s) 为SISO系统 引入中间变量 h(t) 对该方程的处理类同前面！

19 称为（第二）可控规范形

20 思考：若传递函数分子分母的阶次相等 如何导出状态空间模型的可控规范形？

21 练习 B2.24(1),(2)； B2.25； B2.26; B2.27

22 二、线性变换与对角规范形 同一系统不同状态空间表达式之间的关系？ 设系统的两种状态空间表达式为 和 非奇异线性变换为 则有 y(t)
u(t) y(t) 和 非奇异线性变换为 则有

23 非奇异线性变换的重要性质 （1）线性变换不改变系统的特征值 ∵变换前后有 即变换前后的特征多项式相同

24 （2）线性变换不改变系统的传递函数 变换关系： 变换前 变换后为

25 矩阵 A 的对角化 （1） 矩阵A的特征值λi 互异（可变换为对角形） 设变换矩阵P为

26 变换矩阵P的计算: 先求矩阵 A 的特征值λi，i=1, 2, … , n
由 (λi I－A)Pi = 0 确定每一个λi 所对应的特征向量 Pi ， i = 1, 2, … , n P = [ P1 P2 … Pn ] 若矩阵A为可控规范形，则实现对角化的一个变换阵为Vandermonde矩阵，即 自证

27 试求对角化变换矩阵P。 解：

28 试求对角化变换矩阵P。 解： 注 特征向量不唯一 此处满足比例关系

29 注：关于独立解向量的举例说明

30 返回

31

32 （2）矩阵A 有多重特征值（可变换为约当标准形）
其特征值为λ1=2，λ2 =λ3 = 1，求将矩阵A变换为约当形的变换矩阵P。 解： 设属于λ1的特征向量为P1

33 取p13=1 P3×常量不再是特征向量

34 三、状态空间描述下的运动分析

35 先考虑最简单的情况 零输入响应 零状态响应（卷积）

36 1. 齐次状态方程的解 模仿单变量方程的求解

37 2. 状态转移矩阵的性质（自证） 分段转移特性 求逆容易 类似（3）

38 3. 状态转移矩阵的计算 ①　拉氏变换法

39 ②　对角标准形法 设矩阵 A 的特征值相异，对角变换为

40 解：1）用拉氏变换法计算

41 2）利用对角形变换法计算

42 4. 非齐次状态方程的解

43

44 参考前面的例

45 练习 B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7

46 四、状态可控性 问题：状态变量能否通过输入 u 任意改变？ 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D

47 显然，通过 u 可以控制状态变量 iL，但不能控制 uc，所以系统是不完全可控的。

48 虽然 u不能直接控制 uc，但可以通过控制 iL 来间接影响uc， 可以证明系统是完全可控的。

49 可控性定义 为何不研究输出y(t)是否可控？

50 - u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可控（直观解释？）; 但 R1 C1 ≠ R2 C2 时系统完全可控。

51 较复杂的情况： 如图所示的系统是否可控？ （Kalman问题） 难以直观判断！ - 一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？
u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C 如图所示的系统是否可控？ （Kalman问题） 难以直观判断！ 一般情况下，对于任意给定的 A、B，系统是否可控？

52 线性定常系统的可控性判据 1. 凯莱-哈密尔顿（Cayley-Hamilton）定理 设特征多项式为

53 将上述结果应用于状态转移矩阵可得

54 2. 可控性判据

55 （充分性证明可参考胡寿松教材） 结论：线性定常系统完全可控的充要条件为 Qc ：可控性判别阵; 下标c代表 Controllability。

56 关于可控性判别阵的说明：

57 重新讨论前面的例： - u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1
R1 C1 ≠ R2 C2 时 det Qc ≠0，Qc 满秩，系统状态完全可控； 但 R1 C1 = R2 C2 时 det Qc =0， Qc 不满秩，系统状态不完全 可控。

58 Kalman问题：如图所示系统是否可控？
u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C R1 R2 C ≠ L 时，Qc 满秩，系统状态完全可控； 但 R1 R2 C = L 时， Qc 不满秩，系统状态不完全可控。

59 例：判断下列多输入系统的可控性 解： ∵rank B = 2，∴ 简化判别阵为 系统不可控

60 问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？
五、状态可观测性 问题：反馈控制需要状态信息，但 x 通常无法直接测取，能否通过输出 y 确定状态变量？ 线性系统状态空间模型的结构图 B ∫ C A D

61 显然，通过 y 可以确定状态变量 x1 ( iL )，但不能确定 x2 ( uc )，所以系统是不完全可观测的。

62 - u(t) R1 R2 C2 + y x1 x2 C1 可以证明，R1 C1 = R2 C2 时系统不可观测（直观解释？） 但 R1 C1 ≠ R2 C2 时 系统完全可观测。

63 Kalman问题：如图所示系统是否可观测？
u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C 难以直观判断！

64 状态可观测性定义： 对于任意给定的输入u(t) ，如果能在有限的时间区间[ t0, t1]内，根据输出y(t) 的量测值唯一地确定系统的初始状态x(t0) ，则称系统是可观测的。

65 线性定常系统的可观测性判据 D = 0 根据Cayley-Hamilton定理 Qo ：可观测 性判别阵
下标o代表 Observability。

66 结论：线性定常系统完全可观测的充要条件为
说明：

67 重新讨论前面的例： R1 C1 ≠ R2 C2  可观测 R1 C1 = R2 C2  不可观测 - u(t) R1 R2 C2 + y
x1 x2 C1 R1 C1 ≠ R2 C2  可观测 R1 C1 = R2 C2  不可观测 同可控性条件

68 Kalman问题：如图所示系统是否可观测？
u(t) R1 R2 L + - y x1 x2 C R1 R2 C ≠ L  可观测 R1 R2 C = L  不可观测 同可控性条件

69 注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性
注：非奇异线性变换不改变系统的可控性 和可观测性 设变换关系为 则变换后的可控性判别阵为 即变换前后的可控性判别阵同秩 直观理解？ 可观测性的情况类似（自证）

70 对偶性原理

71 六、可控性、可观测性与传递函数

72 可控性判别阵为 显然满秩，系统状态可控。 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可控标准形的系统一定是状态可控的。

73 可观测性判别阵为 上述结论可推广到任意 n 阶系统，表达为可观测标准形的系统一定是状态可观测的。

74 可观测标准型的一般表达式 为可控标准形的对偶实现

75 传递函数零极点与可控、可观性 状态可控

76 可控标准形实现的可观测性判别阵为 所以当系统零点与极点相同时，状态不完全可观测，反之则完全可观测。 上述结论可推广到一般情况，系统存在零极点对消时，按可控标准形实现的系统虽然是状态完全可控的，但不完全可观测；没有零极点对消时则既可控又可观测。

77 所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。
可观测 按可控标准形实现的 可观测性判别阵 对应的可控性判别阵为 所以当系统存在零极点对消时，状态不完全可控，反之则完全可控。该结论可推广到一般情况。

78 系统极点为-1、-2、-3，有零极点对消。 状态可控 所以系统状态不可观测。

79 状态 可观测 所以系统状态不可控。

80 结论 系统传递函数有零极点对消时，系统状态一定是或者不可控、或者不可观测、或者既不可控又不可观测，具体取决于状态变量的选择。
系统传递函数没有零极点对消时，系统状态一定是既可控又可观测的。

81 练习 B7.1（1），（3）； （只用秩判据） B7.4（1），（3）； B7.7（1）

82 “状态空间法1”习题汇总 B2.24(1), (2)；B2.25； B2.26; B2.27 B3.4（1）； B3.5（1）; B3.7