数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012 密码: sxfx2012

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1 数学分析 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012 密码: sxfx2012
( Mathematical analysis) 江西财经大学 统计学院 2012级 公共邮箱：jcsxfx2012 密码: sxfx2012 2019年4月10日星期三

2 数学是什么 ？ 19世纪时由恩格斯给出的定义 数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学 按照恩格斯所说，
数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。 2019年4月10日星期三

3 数学是什么 ？ 代数——数量关系的科学，有序思维占主导，培养计算与逻辑思维能力；
几何——空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力和洞察力； 分析——数形关系的科学，量变关系占主导，函数为对象、极限为工具，培养周密的逻辑思维能力和建模能力。 2019年4月10日星期三

4 数学是什么 ？ 数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。 20世纪初的定义 数学是研究模式与秩序的科学
2019年4月10日星期三

5 数学分析的研究对象 数学分析是以实数理论为基础，以极限为工具来研究实数集上函数的一门学科，主要研究函数的微分(differential) 和积分(integration)两种极限运算。 可以把积分运算（1），形象地解读为： “千里之行，始于足下。” 《老子》第六十四章 与同学们共勉！ 积分运算： （1） “s”(sum) 的拉长 “d”(divide) 切割 象一条 “曲折的 道路” 象一只 “脚” 2019年4月10日星期三

6 数学分析发展史（一） 牛顿,在1665－1666年间发现了著名公式 但直到1704年才给出完整的叙述。
莱布尼兹，在1673－1676年间也发现了上述著名公式，并于1684年发表了它的完整叙述。 牛顿（英） 莱布尼兹（德） 2019年4月10日星期三

7 牛顿称微积分为fluxions(流数术)，莱布尼茨称之为 Calculus differentialis(差的计算) 以及Calculus
微积分名称的由来 牛顿称微积分为fluxions(流数术)，莱布尼茨称之为 Calculus differentialis(差的计算) 以及Calculus Summatorius (求和运算) 。 Calculus是拉丁语， 原意为“石子”，后来，差的计算称为differential Calculus（微分），求和运算改称为求整运算，即 Integral Calculus(积分) ,微积分统称为Calculus。 微积分传入我国在19世纪，1859年上海墨海书馆 首次发行中文译本《代微积拾级》（Analytical Geometry and calculus ）由李善兰和伟烈亚力合译， 该书序言中写道：我国康熙时，两国本来之、奈端 二家又创微分、积分二术，其理大要：凡线面体皆 设由小渐大，一刹那中所增之积即微分也，其全积 即积分也。 2019年4月10日星期三

8 .客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
微积分思想，最早可以追溯到Archimedes等人提出的计算面积和体积的方法。1665年，Newton创始了微积分，Leibniz在 年间也发表了微积分思想的论著。 以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。Cavalieri、Barrow、Wallis等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。 只有Leibniz和Newton将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这正是微积分建立的关键所在。 .客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继Euclid几何后，全部数学中的最大的一个创造。 2019年4月10日星期三

9 微积分的发展 微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力
应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，Newton和Leibniz的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。Newton的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；Leibniz的也不能自圆其说。 2019年4月10日星期三

10 Gottfried Wilhelm von Leibniz
中西文化交流之倡导者 Leibniz对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。 在《中国近况》一书的绪论中，Leibniz写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲——中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过”。 2019年4月10日星期三

11 Gottfried Wilhelm von Leibniz
“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了”。 在这里，Leibniz不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。 2019年4月10日星期三

12 数学是一门演绎（deduce)科学，它来源于古希腊。
据说陈省身先生临终前说的最后一句话是： “我要回到希腊去” 统计学是一门归纳（induce）科学,由样本归纳出 总体的特征。所以，统计不是数学，牛顿时代的 微积分也不是。 2019年4月10日星期三

13 毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 2019年4月10日星期三

14 但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 但也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士 多德的思想产生很大影响。 2019年4月10日星期三

15 相传“哲学”（希腊原词 意为 “爱好智慧” ）和“数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。 2019年4月10日星期三

16 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的
泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的 大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。 2019年4月10日星期三

17 2）数学抽象的提出 3）毕达哥拉斯定理 从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，本身就把数学推向了科学。
即“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股定理。 2019年4月10日星期三

18 直线运动位移: 瞬时速度 2019年4月10日星期三

19 牛顿 Isaac Newton ( ) 2019年4月10日星期三

20 贝克莱: 它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！
《分析学者,或致一个不信邪的数学家，其中审查现代分析对象、原则与推断是否比起宗教的神秘与信条，构思更为清楚，或推理更为明晰》 贝克莱主教 Bishop George Berkeley( ) 贝克莱: 它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！ 2019年4月10日星期三

21 西尔维斯特（英国） James Sylvester (1814~1897)
我还没有证明这个结果，但是，我能像肯定任何必然事物一样肯定它。在这个基础上，我们证明… 对不起，上节课假定的结果错了。让我们重新假设… 西尔维斯特（英国） James Sylvester (1814~1897) 2019年4月10日星期三

22 数学分析发展史（二） 到19世纪五六十年代，柯西（Cauchy）, 黎曼（Riemann）等建立了严格的极限理论，并用极限的语言严格地证明了微积分的所有定义和定理。今天我们所使用的许多记号就是来自这些19世纪的数学大师们。 柯西（法） 黎曼（德） 2019年4月10日星期三

23 Augustin Louis Cauchy 生: 1789年8月21日，Paris 卒: 1857年5月23日，法国Sceaux
2019年4月10日星期三

24 数学分析发展史（三） 到20世纪初，庞加莱（Poincare）和嘉当（Cartan）等人又发展了外微分形式的语言，并利用外微分形式把微分和积分这一对矛盾统一在斯托克斯（Stokes）积分公式中，近代数学也由此继续发展起来。 庞加莱（法 ） 嘉当（法） 2019年4月10日星期三

25 什么是高等数学 ? 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
高等数学----变量的数学 什么是高等数学 ? 初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学. 数学中的转折点是笛卡儿的变数. 恩格斯 有了变数 , 运动进入了数学, 运行时, 点击 “笛卡儿“ , 或按钮”笛卡儿” , 可显示笛卡儿生平见解(这是自定义放映, 放映完毕自动返回) 有了变数，辩证法进入了数学 , 有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生. 2019年4月10日星期三

26 数学分析课程的主要内容 极限论 （第二、三、十一章） 此四大模块为有机整体。 微分学（第四、五、十二章）
积分学（第六、七、八、十三、十四、十五章） 级数论（第九、十、十六章） 此四大模块为有机整体。 其中极限论为理论基础，另外三大块为“上层建筑”。 本学期课程名为《数学分析 上》，需要学完教材的上册，包括第一章至第八章。 总共8X12=96课时。 2019年4月10日星期三

27 数学分析与实变函数的关系 正态曲线 从数学分析到实变函数，反映了人的认识从简单到复杂，从对自然对象的近似到模拟自然本身的过程。 科赫曲线
实变函数是数学分析的后续课程。数学分析研究“好”的函数，一般要求可以求导数，实变函数研究“坏”的函数，甚至连已有的积分都不存在，需要重新对积分加以定义。数学有一门分支研究的对象与实变函数相似，叫分形几何,专门收集一些性质古怪的图形。 从数学分析到实变函数，反映了人的认识从简单到复杂，从对自然对象的近似到模拟自然本身的过程。 正态曲线 科赫曲线 2019年4月10日星期三

28 分形山 2019年4月10日星期三

29 数学修养 理解力 抽象思维能力 见识。包括数学思想、方法、解题能力 体验 2019年4月10日星期三

30 正确理解概念，弄清每个定理的条件和结论，善于举“反例”。 敢于质疑，寻求解决问题的新思路。
如何学好数学分析 ? 正确理解概念，弄清每个定理的条件和结论，善于举“反例”。 敢于质疑，寻求解决问题的新思路。 数学分析研究极限，逻辑和不等式起了关键作用。“直观”（微积分）重要，但不能代替“逻辑”（数学分析）。 课外多看书，勤于思考。 多做课外题。 运行时, 点击华罗庚照片, 可显示华罗庚简介(这是自定义放映, 放映完毕自动返回) 2019年4月10日星期三

31 授课方式 课前预习； 课堂上讲解重难点问题，师生互动； 课后完成书上的练习和补充练习； 每一章结束后做一次小测验。
2019年4月10日星期三

32 作业要求 作业本的封面写上姓名、学号； 每次作业写上日期； 不炒题目，但要写上题目标号，例如：1.1.1表示第一章第一节第一题;
书上习题全做； 书写规范,做错了的题目需订正; 一周交两次作业,按学号分单双号交。 2019年4月10日星期三

33 作业评分方式 A:特别好。书写整洁，题目全对，或某些题目解答新颖； B：较好。大多数题目解答正确。 C：一般。大多数题目解答错误。
2019年4月10日星期三

34 教材和参考书目 教材： 参考书： 一、经典名著：
《数学分析》（第二版）， 陈纪修 ，高等教育出版社（2004-6） 参考书： 一、经典名著： （1）《微积分学教程》，（俄）Г.М.菲赫金哥尔兹 ，杨韬亮（译）， 高等教育出版社（2006-1） （2）《数学分析》，（俄）В.А.卓里奇 ，周美珂 （译）,高等教育出版社（ ) （3）《数学分析原理》，（美）W.卢丁 ，赵慈庚 （译），机械工业出版社（ ） 2019年4月10日星期三

35 （5）《高等数学引论》，华罗庚 ，高等教育出版社（2009-3） 二、 国内部分大学编写的数学分析教材：
（4）《微积分与数学分析引论》，（美）R.柯朗，张鸿林 （译），科学出版社（1979-1） （5）《高等数学引论》，华罗庚 ，高等教育出版社（2009-3） 二、 国内部分大学编写的数学分析教材： （1 ）《数学分析新讲 》，张筑生 ，北京大学出版社（ ） （2） 《数学分析教程》，常庚哲 ，高等教育出版社（2003-6） （3）《数学分析》，邹应 ，南京大学出版社（1990-4） （4）《数学分析 》，周明强 ，上海科学技术出版社（2002-9） （5）《数学分析》（第三版)，华东师范大学数学系，高等教育出版社，（2001-6）. （6）《数学分析简明教程》（第二版） ，邓东皋 ，高等教育出版社，（ ) 2019年4月10日星期三

36 （1）《数学分析习题集》，（苏）б.д.吉米多维奇，李荣 (译 )，人民教育出版社 （1978）
三、 教辅书： （1）《数学分析习题集》，（苏）б.д.吉米多维奇，李荣 (译 )，人民教育出版社 （1978） （2） 《数学分析解题指南》，林源渠 ，北京大学出版社（ ） （3）《数学分析习题演练》，周民强 ， 科学出版社（2009-5） （4） 《数学分析题解精粹》，钱吉林 ，崇文书局（2003-8） （5）《数学分析中的典型问题与方法》（第2版），裴礼文 ，高等教育出版社（2006-4） （6）《数学分析习题课讲义 》，谢惠民 ，高等教育出版社（ ） 2019年4月10日星期三

37 微积分与数学分析引论 柯朗与希尔伯特共同撰写了颇有影响力的教科书《数学物理方法》，在写作完成之后的80年仍然享誉全球，被众多名校采纳为理工科必修教材。他的《微积分与数学分析引论》已被认为是写得最好的数分的代表作。（概念深入浅出，举重若轻） 2019年4月10日星期三

38 微积分学教程 作者： Г.М.菲赫金哥尔兹 ，《微积分学教程》自第一版问世50多年来，多次再版。至今仍被俄罗斯的综合大学以及技术和师范院校选作数学分析课程的基本教材之一。（例题丰富多彩） 2019年4月10日星期三

39 高等数学引论 《高等数学引论》是我国著名数学家华罗庚在上世纪60年代编写的教材，包含了微积分、高等代数等内容。反映了作者的“数学是一门有紧密内在联系的学问，应将大学数学系的基础课放在一起来讲”的教学思想。 2019年4月10日星期三

40 数学分析原理 作者： W.卢丁，本书是一部现代数学名著，一直受到数学界的推崇。本书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响。（本书采用了当代数学的典型写法） 2019年4月10日星期三