Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法)

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1 Monte Carlo Simulation Methods (蒙特卡罗模拟方法)
主要内容: 1.各种随机数的生成方法. 2.MCMC方法.

2 从Buffon 投针问题谈起

3 Buffon 投针问题

4 试验者 时间(年) 针长 投针次数 相交次数 π的估计值 Wolf 1850 0.80 5000 2532 Smith 1855 0.60 3204 1218 Fox 1884 0.75 1030 489 Lazzarini 1925 0.83 3408 1808

5 数值积分问题

6 Monte Carlo数值积分的优点 与一般的数值积分方法比较，Monte Carlo方法 具有以下优点：

7 随机模拟计算的基本思路 1.针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模
型，使所求的量（或解）恰好是该模型某个指标的概率分布或者数字特征。 2.对模型中的随机变量建立抽样方法，在计算机上进行 模拟测试，抽取足够多的随机数，对有关事件进行统计 3.对模拟试验结果加以分析，给出所求解的估计及其精 度(方差)的估计 4.必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费 用，提高模拟计算的效率

8 随机数的生成 1.蒙特卡罗模拟的关键是生成优良的随机数。 2.在计算机实现中,我们是通过确定性的算法生成
随机数,所以这样生成的序列在本质上不是随机 的,只是很好的模仿了随机数的性质(如可以通过 统计检验)。我们通常称之为伪随机数(pseudo-random numbers)。 3.在模拟中，我们需要产生各种概率分布的随机数，而大多数概率分布的随机数产生均基于均匀分布U(0,1)的随机数。

9 U(0,1)随机数的生成 一个简单的随机数生成器：

10 一个简单的例子

11 一个简单的例子(续) 上面的例子中，第一个随机数生成器的周期长度是 10，而后两个生成器的周期长度只有它的一半。我们自然希望生成器的周期越长越好，这样我们得到的分布就更接近于真实的均匀分布。

12 线性同余生成器 (Linear Congruential Generator )

13 常用的线性同余生成器 Modulus m Multiplier a Reference 2^31-1 =2147483647 16807
Lewis, Goodman, and Miller 39373 L’Ecuyer Fishman and Moore 40692 40014

14 复杂一些的生成器（一） 1.Combining Generators:

15 复杂一些的生成器（二） 2.Multiple recursive generator

16 算法实现 许多程序语言中都自带生成随机数的方法，如 c 中的 random() 函数，Matlab中的rand()函数等。
但这些生成器生成的随机数效果很不一样，比如 c 中的函数生成的随机数性质就比较差，如果用 c ，最好自己再编一个程序。Matlab 中的 rand() 函数，经过了很多优化。可以产生性质很好的随 机数，可以直接利用。

17 由rand()函数生成的U[0,1]随机数

18 由rand函数生成的2维随机点

19 (Inverse Transform Method) 2.舍取方法 (Acceptance-Rejection Method)
从U(0,1)到其它概率分布的随机数 U(0,1)的均匀分布的随机数，是生成其他概率 分布随机数的基础，下面我们主要介绍两种将 U(0,1)随机数转换为其他分布的随机数的方法。 1.逆变换方法 (Inverse Transform Method) 2.舍取方法 (Acceptance-Rejection Method)

20 Inverse Transform Method

21 Inverse Transform Method

22 几个具体例子（一）

23 几个具体例子（二）

24 几个具体例子（三）

25 标准正态分布随机数的生成 正态分布是概率统计中最重要的分布，在此 我们着重讨论如何生成标准正态分布随机数。 引理：

26 Box-Muller 算法

27 逆变换方法（一） 我们无法通过具体的数学表达式计算正态分布函数 的逆函数，我们必须通过数值的方法逼近正态函数
下面我们介绍 Beasley-Springer-Moro 方法。

28 逆变换方法（二）

29 逆变换方法（三） 在 matlab 中可以直接通过 norminv() 函数直接 计算标准正态分布函数的逆。
c0= c5= c1= c6= c2= c7= c3= c8= c4= 在 matlab 中可以直接通过 norminv() 函数直接 计算标准正态分布函数的逆。

30 Matlab生成的正态随机数

31 Acceptance-Rejection Method（一）
Acceptance-Rejection 方法最早由 Von Neumann 提出，现在已经广泛应用于各种随机数的生成。 基本思路： 通过一个容易生成的概率分布 g 和一个取舍 准则生成另一个与 g 相近的概率分布 f 。

32 Acceptance-Rejection Method（二）
具体步骤：

33 Acceptance-Rejection Method（三）
下面我们验证由上述步骤生成的随机数 Y 确实 具有密度函数 f(x)

34 Acceptance-Rejection Method（四）
可能的小，也就是使 f 和 g 的分布更为相近。

35 几个具体例子（一）

36 几个具体例子（一）

37 几个具体例子（二）

38 几个具体例子（二）

39 随机向量的抽样方法（一）

40 随机向量的抽样方法（二）

41 生成多维正态随机数的方法（一）

42 生成多维正态随机数的方法（二） 生成多维正态随机数的具体步骤：

43 用Monte Carlo方法求解Laplace方程
参见书上5.8节 P213~P215

44 马氏链在Monte Carlo随机模拟中的应用
定义 为要模拟服从给定分布的随机变量,用生成一个易于 实现的不可约遍历链 作为随机样本, 使其平稳分布为 的方法，称为马氏链蒙特卡罗方法. 蒙特卡罗方法的一个首要步骤是产生服从给定的概率分布函数 的随机变量(或称为随机样本),由概率论知识,熟知下面的结论.

45 引理 生成随机变量U,使其分布满足U[0,1],记为U~U[0,1],
F(x)是给定的一个分布函数,记 为F(x)的反函数,则X=F-1(U)分布函数为F(x).

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48 米特罗波利斯(Metropolis)等人在1953年最早
给出了通过生成一马氏链实现从分布 中采 样(生成相关的样本)这一重要基本思想.随后, 哈斯汀(Hastings)将其推广到更一般的形式. 下面仅叙述状态空间S为至多可数的情形:

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51 Markov chain Monte Carlo (MCMC)
问题提出：

52 MCMC方法的基本思路 基本思路： MCMC 是一种简单有效的计算方法，在统计物理， Bayes 统计计算，显著性检验，极大似然估计等领
域都有着广泛的应用。 基本思路：

53 概率转移核的构造（一） MCMC的方法有很多，在此我们只介绍Metropolis-Hastings方法。 基本思路：

54 概率转移核的构造（二）

55 概率转移核的构造（三） Metropolis-Hastings 算法：

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57 （续上页证明）

58 Metropolis-Hastings 算法的具体步骤

59 几种常用的 q(x,x’)（一） 1.Metropolis选择：

60 几种常用的 q(x,x’)（二） 2.独立抽样：