conservation of momentum

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1 conservation of momentum
第二章标题 ★ 中国航天 CZ1F 动量守恒 动量 与 第二章 chapter 2 conservation of momentum momentum and

2 本章目录 本章内容 Contents 质量与动量 动量定理与动量守恒定律 牛顿运动定律及其应用 chapter 2
mass and momentum 牛顿运动定律及其应用 Newton’s law of motion and its application 动量定理与动量守恒定律 theorem of momentum and law of conservation of momentum

3 第一节 2 - 1 mass and momentum 质量 与 动量 mass and momentum 一、惯性定律
law of inertial 惯性 任何物体所具有的保持其原有 运动状态的特性。 惯性定律 若无外界作用，任何物体 都将保持静止或匀速直线运动 状态。

4 质量、动量 v = 二、质量与动量 mass and momentum p m 质量越大，物体运动状态改变就 质量 物体惯性大小的量度
质量 物体惯性大小的量度 ， （用 m 表示） 越困难。 质量的单位是 千克 ( kg )。 动量 物质运动的一种量度 （用 p 表示） ， 质点的动量 p 是质点的质量 m与其运动速度 的乘积 v m = 动量的单位是 千克·米 / 秒 ( kg · m · s )。 -1 动量是矢量，动量在经典和近代物理中都是一个重要而基本的物理概念。为什么用这样一个矢量来作为物质运动的一种量度，可通过下述的一个普遍规律作初步理解：

5 动量概念理解 = = = m v v m v v m v v v m v p （ ） （ ） （ ）
无外力作用下，两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 m v 01 1 2 02 碰撞前 v 1 = 01 2 02 图中 而且普遍满足： = m 1 v （ ） 2 即质量与速度增量的乘积总是大小相等方向相反。 v 1 2 碰撞后 = m 1 v （ ） （ ） 2 经典力学中，物体质量保持恒定，上式可写成 v 0 1 0 2 v 2 1 物理量。特将 称为动量 。 可见，质量与速度的乘积的大小和方向及其变化，是反映物质运动和相互作用普遍规律的一个重要的 v m p

6 动量定理与动量守恒定律 2 - 2 s theorem of momentum and law of conservation of momentum 第二节 theorem of momentum and law of conservation of momentum 动量定理与动量守恒定律 一、质点的动量定理 theorem of momentum of particle 力的概念 concept of force 牛顿将 物体 动量对时间的变化率 定义为 作用在该物体上的 力 p t d F F 是作用在质点上的合外力， F 与动量元增量 d p 同向。 力的单位是 牛顿 ( N )

7 质点动量定理 微分形式 积分形式 质点的动量定理 theorem of momentum of particle
differential form t d p F 由力的定义 得 将 力与作用时间的乘积 称为 力的 冲量 impulse 用 I 表示 质点动量定理的微分形式为 或 I 质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 积分形式 integral form I F t d t0 p D p0 质点动量的增量等于它获得的冲量。 质点动量定理的积分形式为

8 平均冲力 冲击过程与平均冲力 d t - 2 1 F 或用 F 2 1 v m - t t 1 F 2 F t

9 theorem of momentum of a system of particles
质点系 二、质点系的动量定理 theorem of momentum of a system of particles 第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力： 内 F i d t + F 1 外 内 p ... i 对各质点应用质点的动量定理 1 2 3 F 2 内 3 1 F 1 外 2 3 + ) S d t p F 外 i 内 考虑到系统内质点之间的作用力是 作用力与反作用力 可对对相消，最终： 内 F i S 受系统外部作用的合力： 外 F i 第 i 个质点

10 theorem of momentum of a system of particles
质点系动量定理 二、质点系的动量定理 theorem of momentum of a system of particles + ) S d t p F 外 i 内 2 3 1 第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力： 受系统外部作用的合力： ... 对各质点应用质点的动量定理 考虑到系统内质点之间的作用力是 作用力与反作用力 可对对相消，最终： 质点系的动量定理 得 微分形式 d p i S t F 外 总动量时间变化率 所受合外力 系统 因 果 或 t d F 外 i S p t d F 外 i S p 积分形式 所受合外力冲量 总动量的增量 系统 因 果

11 law of conservation of momentum
动量守恒定律 三、动量守恒定律 law of conservation of momentum F 外 i 系统不受外力作用 S 系统受合外力为零。 或 若 d p t 则 p i S d t F 外 由质点系的动量定理 微分形式 积分形式 或 p i S 常矢量 动量守恒定律： 一系统若在一段时间内不受外力或所受 合外力为零，则系统在此时间内总动量不变（即为一常矢量）。 即

12 系统总动量不变，但系统内各质点的动量可以改变和相互转移。
定律说明 p i S 常矢量 动量守恒定律： 系统不受外力作用 或 系统受合外力为零 时 几点说明 系统总动量不变，但系统内各质点的动量可以改变和相互转移。 定律给出了始 末状态总动量关系，只要满足守恒条件，无需过问过程细节。 系统所受合力在某一坐标轴上投影值为零，总动量在该轴上投影值守恒。 系统内力远大于外力时（如碰撞 弹药爆炸等），可借助动量守恒定律处理。 动量守恒定律不仅适用于宏观物体，而且适用于微观粒子，是一条 比牛顿定律更普遍 更基本的自然规律。

13 应用内容提要 四、应用 1、实际应用 2、随堂练习 例一、逆风行舟 与 动量定理 例二、火箭飞行原理 与 动量守恒定律
动量定理、动量守恒定律的应用简例 1、实际应用 例一、逆风行舟 与 动量定理 动量定理简例 逆风行舟动量分析 例二、火箭飞行原理 与 动量守恒定律 加速飞行中的 火箭 火箭飞行速度微分式 多级火箭与质量比 2、随堂练习 练习一、用动量定理求跳伞某过程中的平均阻力 练习二、动量守恒定律与相对运动概念综合应用 练习三、动量守恒定律在原子系统衰变中的应用

14 逆风行舟予备简例 1、实际应用 例 坚壁 m 3 2 v v 1 v 1 2 s m t k g 质点质量 作用时间 （反弹） 求 质点受
动量定理简例 1、实际应用 例一、逆风行舟 与 动量定理 例 本图为一光滑水平面的俯视图， 坚壁 坚壁竖立在水平上。 m 3 2 v X v 1 v 1 2 s m t k g 质点质量 作用时间 （反弹） 求 I 质点受 F 坚壁受 X ， 解法 提要 v 1 m p ， m 2 v p X F I t p 2 1 I ， F I t p 2 F ， F X cos 6 I 6 p 1 F X F 5 F 1 ( N ) X I 2 s ，

15 逆风行舟动量分析 逆风行舟的 动量分析 逆风 m 空气团 分子质点系 t 总动量 p 1 p 2 a b 帆 cos p 航向分力 1 p
I F 帆 2 p a b F cos X I X p 1 航向分力 I p 1 2 ~ p 1 2 8 a b F

16 加速飞行中的火箭 例 假设 宇航火箭在某航程中可忽略外力作用。 t 时刻 M ) ( 主体质量 含燃料 速度 v 对某星 + 时刻 t d
喷燃气 m u ( 对主体 ) v 对某星 主体质量 含燃料 M 试应用动量守恒定律 证明 d v M u m 火箭主体速率微变

17 对前进方向列式，并认定燃气方向为反前进方向（非待求）：
火箭速度微分式 M v m d u + 用动量守恒定律 证明 + v u 解法提要： 质点系： 参考系： 宇航某航程中忽略外力，系统动量守恒。 , 主体 燃气。 某恒星 统一各动量参考系： 燃气对恒星速度 气 d v M ) ( 对前进方向列式，并认定燃气方向为反前进方向（非待求）： + m d u 整理后得 这是研究火箭飞行速度的基本微分式

18 多级火箭与质量比 m d u + v M 附： 从 到多级火箭原理 喷出燃气质量 m d ，则主体质量减少 M ， v u 若 一定，则 2
1 ln ， 若起飞时 1 v M 燃料喷尽时 s 2 即使不考虑重力和阻力， u ln h 多级火箭在每级的燃料 用完时该级箭体亦脱落， 称火箭质量比。 可提高火箭质量比，获得较大的终极速度。

19 随堂练习一 2、随堂练习 例 s 1 t 5 . 2 v m 解法 提要 ( ) 假定 的方向也待求 阻 受合外力 m g + 重力 G m
m 解法 提要 ( ) 假定 的方向也待求 F 阻 受合外力 m g + 重力 G Y m F ? 阻 ( 4 3 N ) F 阻 m g + 1 t 2 v 8 负值表示与 反向。 Y 应用动量定理求解平均阻力 m g 8 9 k . 2 s

20 随堂练习二 例 全静开始， 走！ 人走到了车 的另一端。 已知 , m 人 M 车 L 忽略车地间摩擦 x 车对地的位移 求 x 解法提要：
O X x 解法提要： 质点系： 地。 , 人 车。 参考系： 系统受合外力为零，动量守恒。 行进至某时刻系统总动量 系统初态总动量 , m 人 M 车 + v 应对同一参考系 ) ( 地 注意 其中的

21 续练习二 例 已知 M L x 全静开始， 车对地的位移 求 解法提要： 质点系： 地。 , 人 车。 参考系：
O X x 全静开始， 车对地的位移 求 解法提要： 质点系： 地。 , 人 车。 参考系： 系统受合外力为零，动量守恒。 m + v 人 车 应对同一参考系 ) ( 地 注意 其中的 走到它端 v 人 u + 车 设 对车 速度为 则 ) ( m M x 对 轴 X 有 题目信息： 人对车走了 问车对地位移 L ； x h 定律要求： 对同一参考系 计算系统总动量 x L d t 车 v x m + M u L 沿 轴负方向位移。 X 人对车的 动量 人对地的 需将 代回 换算

22 随堂练习三 例 解法提要 其它外力， 原子系统动量守恒。 衰变过程可忽略 已知 v 2 ？ 求 v 1 5 . 7 s m 4 2 H e
v 1 5 . 7 s m 4 2 H e n R 6 8 末态总动量 初态总动量 1 m v + 2 反 向 2 6 R a 8 衰变 u m 2 6 1 4 7 2 . 5 1 ( ) s m v u 4

23 随堂小议 （1）为-2mv， 随堂小议 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 结束选择 质量为 m ，速度
地射向一墙壁，后 被反向弹回，速度 不变，则小球的动 量变化 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 随堂小议 （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 （1）为-2mv， 因为速度方向 变了； 结束选择

24 选项1链接答案 （1）为-2mv， 随堂小议 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 结束选择 质量为 m ，速度
地射向一墙壁，后 被反向弹回，速度 不变，则小球的动 量变化 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项1链接答案 （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 （1）为-2mv， 因为速度方向 变了； 结束选择

25 选项2链接答案 （1）为-2mv， 随堂小议 因为速度方向 变了； （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 结束选择 质量为 m ，速度
地射向一墙壁，后 被反向弹回，速度 不变，则小球的动 量变化 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项2链接答案 （2）为零，因 为速度、质量 均没变。 （1）为-2mv， 因为速度方向 变了； 结束选择

26 Newton's law of motion and its application
牛顿运动定律及其应用 2 - 3 s Newton’s law of motion and its application 第三节 牛顿运动定律 Newton's law of motion and its application 牛顿运动定律及其应用 牛顿第一运动定律 Newton's first law of motion 若物体 不受外力作用，其运动状态不变 ( ) 。 a = 0 Newton's second law of motion 物体所获得的加速度 的大小与物体所受的 a 加速度的方向与合外力的方向相同。 合外力 的大小成正比， 与物体的质量 成反比， F i S m 牛顿第二运动定律 d t v 定律表达式 8 Newton's third law of motion 两物体间的相互作用力总是等值反向， 且在同一直线上。 牛顿第三运动定律 F 1–2 2–1

27 应用： 牛顿运动定律的应用 一、 a 运用牛顿运动定律时应注意理解并掌握一些基本方法 牛顿第二运动定律说明了力是产生加速度的原因
（ a = F / m ) ，注意 1. 这个力是合外力，内力不能产生加速度； 2. 力与加速度是瞬时关系，某时刻有力，该时刻 就一定有加速度。 3. 力与加速度是矢量关系，有对应的坐标投影式， , 例如 直角坐标投影式 F x m a 自然坐标投影式 y z τ n

28 动力学两类问题 二、 已知 求 质量为 的 质点运动学方程 m r ( ) t 所受合外力 a 求导 2 a t r 质量为 的 m
牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来， 属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题 已知 求 质量为 的 质点运动学方程 m r ( ) t 所受合外力 F a 第一类 求导 2 a d t r 一般方法 质量为 的 m 质点受力情况 及初始条件 质点的运动规律 v ( ) r 等 t , 或 第二类 积分 按具体情况 分离变量求积 已知 或 及 t 时的 r 和 v F ( a 例如 v ( r 求 m d t v F ( 求得 v ( t d r

29 随堂练习一 三、 四、 解法 提要 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m y x t A w sin cos 为常数 练习一 在 x a
常用的分析方法与步骤 定对象 看运动 查受力 列方程 四、 随堂练习 解法 提要 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m X Y y x B t A w sin cos 为常数 练习一 在 x a 2 d t ( ) A w sin y cos B m x a A t w sin 2 y F B cos 求 作用于质点的力 F ( r ) x F y i j + ( m w 2 t sin A cos B r

30 续练习一 已知 平面上运动 运动规律 质点质量 m y x t A w sin cos 为常数 练习一 在 三、 四、 a 2 ( ) 求
B t A w sin cos 为常数 练习一 在 三、 常用的分析方法与步骤 定对象 看运动 查受力 列方程 四、 随堂练习 a 2 d ( ) F 求 作用于质点的力 r 解法 提要 i j + 续练习一 F x i + 结果图示 y j ) ( m w 2 A t cos B sin r X Y O B A m w 匀角速椭圆运动 r F F 恒与 r 反向

31 停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。
随堂练习二 练习二 m v X 已知 停机时船速 ， 阻力 k F r 问 船还能走多远？ 停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。 关键是要找到船速 与位置 的关系， v x 即 从 时 止 解法 提要 x d t m v F r k x 止 v X m k x d m v k 得 止

32 行进中的电气列车，每千克受阻力 与车速 的关系为
行进中的电气列车，每千克受阻力 与车速 的关系为 F X v 已知 ( ) + 1 2 5 N 当车速达 25 m/s 时 运行多远，车速减至 10 m/s 求 关电门， 练习三 随堂练习三 解法 提要 m dv dt 设 列车质量为 F 总 则总阻力 单位质量受总阻力 ( ) + v 1 2 5 t v = 25 m/s ； 关电门时 x = 0， v = 10 m/s 时 x = ？ ， 需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解 d ( 0. 5 v ) 2 dx dv dt v d ( v ) 即 ( ) + v 1 2 5 d ( v ) dx x 25 10 积分得 x ×ln( v2) 179 (m)

33 随堂练习四 某电车启动过程 牵引力 t m 启动时间 及 均为常数 时 v x 求 ( ) , 练习四 t 由 m v 有 2 解法 提要
F m 启动时间 及 均为常数 时 v x 求 ( ) , 练习四 随堂练习四 d t F 由 m v 有 2 解法 提要 x v d t F m 2 6 3 F t m 2 x 6 v

34 随堂小议 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于
在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

35 选项1链接答案 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于
在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项1链接答案 （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

36 选项2链接答案 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 （1）一定处于静 止状态，因为其加 随堂小议 速度为零； （2）不一定处于
在惯性参考 系中，若物体 受到的合外力 为零，则物体 随堂小议 （请点击你要选择的项目） 选项2链接答案 （1）一定处于静 止状态，因为其加 速度为零； 结束选择 （2）不一定处于 静止状态，因为加 速度为零只说明其 速度不变。

37 作业 HOME WORK