第三单元 三角函数、解三角形.

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1 第三单元 三角函数、解三角形

2 第一节　任意角和弧度制及任意角的三角函数

3 基础梳理 1. 角的分类(按旋转的方向) 正角：按照 方向旋转而成的角。 角 负角：按照 方向旋转而成的角。 ：射线没有旋转 逆时针 顺时针
正角：按照　　　　方向旋转而成的角。 角 负角：按照　　　　方向旋转而成的角。 　　　　：射线没有旋转 逆时针 顺时针 零角

4 2. 象限角 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角

5 角α的终边位置 角α的集合 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在x轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在y轴上 在坐标轴上
3. 终边落在坐标轴上的角 角α的终边位置 角α的集合 在x轴非负半轴上 在x轴非正半轴上 在x轴上 在y轴非负半轴上 在y轴非正半轴上 在y轴上 在坐标轴上 {a|a=2kp，k∈Z} {a|a=(2k+1) p} {a|a=kp，k∈Z}

6 4. 与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合记 为 ． 5. 角度与弧度的换算关系：360°＝ rad； 1°＝ rad；1 rad＝ .
4. 与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合记 为 ． 5. 角度与弧度的换算关系：360°＝ rad； 1°＝ rad；1 rad＝ 6. 扇形弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为l，圆心角为α(rad)，半径为r，则 (1)l＝ ； (2)扇形的面积为S＝ ＝ {b|b=a+2kp，k∈Z} 2p |a|r

7 7. 任意角的三角函数的定义 α为任意角，α的终边上任意一点P(异于原点)的坐标为(x，y)，它与原点的距离|OP|＝r＝ (r>0)． 则 三角函数 定义 定义域 sin α R cos α tan α

8 象限函数符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ sin α cos α tan α 8. 三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号
+ + - - + - - + + - + -

9 单位圆 正弦线 如图，角α的正弦线为 ． 余弦线 如图，角α的余弦线为 ． 正切线 如图，角α的正切线为 . (2)三角函数线 ON OM
如图，角α的正弦线为 ． 余弦线 如图，角α的余弦线为 ． 正切线 如图，角α的正切线为 ON OM AT

10 基础达标 1. 与2 012°终边相同的最小正角为( ) A. 212° B. 222° C. 202° D. 232°
1. 与2 012°终边相同的最小正角为(　　) A. 212°　　　　　　　　　　B. 222° C. 202° D. 232° 2. (教材改编题)已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是(　　) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 A 解析：2 012°=5´360°+212°，∴应选A C 解析：∵cos q×tan q＜0，∴当cos q＜0， tan q＞0时，q是第三象限角；当cos q＞0， tan q＜0时，q是第四象限角．

11 3. 已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1 B. 4 C. 1或4 D. 2或4
解析：设扇形的圆心角为a rad，半径为r，则 解得a=1或a=4.

12 4. 设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( ) A. a<b<c B. b<a<c
C. c<a<b D. a<c<b C 解析：画出-1在单位圆中对应角的三角函数线，知tan(-1)<sin(-1)<cos(-1)，即c<a<b.

13 5. (教材改编题)已知角θ的终边经过点P(－1,3)，则 sinθ＝ ，cosθ＝ ， tanθ＝ .
-3 解析：

14 经典例题 题型一　终边相同的角的表示 【例1】　已知角α是第二象限角，判断2α， 的终边各在第几象限？　

15 解：由a是第二象限角，得 k×360°+90°＜a＜k×360°+180°(k∈Z)． (1)∵2k×360°+180°<2a<2k×360°+360°(k∈Z)， ∴2a是第三、第四象限角或是终边落在y轴的负半轴上． (2)k×180°+45°＜ ＜k×180°+90°(k∈Z)． ①当k=2n(n∈Z)时，n×360°+45°＜ ＜n×360°+90°(n∈Z)，则 是第一象限角； ②当k=2n+1(n∈Z)时，n×360°+225°＜ ＜n×360°+270°(n∈Z)，则 是第三象限角． 综合①、②可知， 是第一或第三象限角． 　

16 题型二　利用三角函数的定义求三角函数值 【例2】　已知角α的终边经过点P(x，－ )(x≠0)，且 cos α＝ x，求sin α、tan α的值．

17 解： ∵P(x，- )(x¹0)， ∴P到原点的距离r= 又∵cos a= x，∴cos a= = x. ∵x¹0，∴x=± ，∴r=2 . 当x= 时，P点坐标为( ， )，由三角函数定义，有 sin a= ，tan a=- ； 当x= 时，P点坐标为( ，- )， 由三角函数定义，有sin a=- ，tan a=

18 变式2－1 　已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，求2sinα＋cosα的值． 解析：当m＞0时，点P在第二象限，|OP|=5m， 有2sin a+cos a= = ； 当m＜0时，点P在第四象限，|OP|=-5m， 有2sin a+cos a= =

19 题型三　三角函数值符号的判定 【例3】　如果点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限．

20 解：∵点P(sin qcos q，2cos q)位于第三象限，
∴ 即 ∴q为第二象限角．

21 题型四　弧度制、扇形面积公式的应用 【例4】　已知一扇形的圆心角α＝60°，所在圆的半径r＝10 cm.求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积． 解　

22 解：设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵a=60°= ，r=10，∴l= p(cm)， S弓=S扇-S△= × p× ×102×sin = (cm2)． 　

23 变式4－1 　已知扇形的面积为S，当扇形的中心角α为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值． 分析：设扇形弧长为l，半径为r，由S= lr，得l= ，故扇形周长C=2r+l=2r ∵r>0，S>0，∴C≥ = ，当且仅当2r= ，即r= 时，扇形周长有最小值4 ，此时，扇形的中心角a= = = =2 rad. 故当扇形中心角为2 rad时，扇形周长最小，最小值为4 .