实验一 计算复变函数极限、微分、积分、 留数、泰勒级数展开式 （一） 实验类型：验证性 （二） 实验类别：基础实验

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1 实验一 计算复变函数极限、微分、积分、 留数、泰勒级数展开式 （一） 实验类型：验证性 （二） 实验类别：基础实验
（三） 实验学时数：2学时

2 MATLAB实现内容 1、MATLAB求复变函数极限 2、MATLAB求复变函数微分 3、MATLAB求复变函数积分

3 MATLAB基本命令 1、MATLAB求复变函数极限 用函数limit求复变函数极限 【Matlab源程序】 syms z f=; limit(f,z,z0) 返回极限结果 例1 求 在z=0的极限 解 syms z; f=z*exp(z)/(sin(z)) limit(f,z,0) ans = 1

4 1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)
例2 设 求 解 【Matlab源程序】 syms z f=sin(z)/z; limit(f,z,0) ans= 1 limit(f,z,1+i) . . ans= 1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1) +1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)

5 2、 MATLAB求复变函数微分 用函数diff求复变函数极限 【Matlab源程序】 syms z f=（）; diff(f,z) 返回微分结果 例3设 解 syms z f=exp(z)/((1+z)*(sin(z))); diff(f) ans = exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)^2/sin(z) -exp(z)/(1+z)/sin(z)^2*cos(z)

6 3、 MATLAB求复变函数积分 (1)用函数int求解非闭合路径的积分. 【Matlab源程序】 syms z a b f= int(f,z,a,b) 返回积分结果 例 4 求积分 解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0) x2=int((z-1)*exp(-z),z,0,i) 结果为： x1 = -1/3*i x2 = -i/exp(i)

7 (2) 用函数int 求解闭合路径的积分. 例5 计算积分 的值． 解 【Matlab源程序】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t); f=1/(z+i)^10/(z-1)/(z-3); inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi) 结果为 inc =779/ *i*pi+237/ *pi 若只输出6位有效数值，使用语句 vpa(inc,6) 结果为 ans = e e-4*i

8 4、 MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数
（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降幂排列的 多项式 用函数residue求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数 【Matlab源程序】 [R,P,K]= residue (B,A) 返回留数，极点 说明：向量B为f(z)的分子系数； 向量A为f(z)的分母系数； 向量R为留数； 向量P为极点位置； 向量k为直接项:

9 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1]) 结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1
例6 求函数 在奇点处的留数． 解 [R,P,K]= residue([1,0,1],[1,1]) 结果为： R= 2 P = -1 K = 1 -1 例7 计算积分 的值，其中C是正向圆周 ． 解 先求被积函数的留数 [R,P,K]= residue ([1,0],[1,0,0,0,-1]) 结果为：

10 R = 0.2500 i i P = 1.0000 i i K = [] 可见在圆周 内有四个极点,所以积分值等于 S=2*pi*i*sum(R) 结果为S =0 故原积分

11 （2）如果已知函数奇点z0的重数为m,则可用下面的
MATLAB语句求出相应的留数． R=limit(F*(z-z0),z,z0) %单奇点 R=limit(diff(F*(z-z0)^m,z,m-1) /prod(1:m-1);z,z0) % m重奇点 例8 求函数 在孤立奇点处的留数．

12 解 分析原函数可知： 是三重奇点， 是单奇点，因此可以直接使 用下面的 MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数． syms z f=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z^3*(z-1)) R=limit(diff(f*z^3,z,2)/prod(1:2),z,0) 结果为：R = -1/4*3^(1/2)+1/2 ; limit(f*(z-1),z,1) ans = 1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3^(1/2)

13 5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式
（1）用函数taylor求f(z)泰勒级数展开式 【Matlab源程序】 syms z f= Taylor(f,z0) 返回f(z)在点z0泰勒级数展开式 例9 求函数f=1/(z-b)在点z=a泰勒级数展开式前4项 syms z a b; f=1/(z-b); taylor(f,z,a,4) ans = 1/(a-b)-1/(a-b)^2*(z-a)+1/(a-b)^3*(z-a)^2 -1/(a-b)^4*(z-a)^3

14 （2）求二元函数z=f(x,y)在点（x0,y0）的泰勒级数
展开式. 【Matlab源程序】 syms x y; f=(); F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,m) 返回在(0,0)点处 的泰勒级数展开式的前m项. F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=x0,y=y0]’,m) 返回在 (x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前m项. F=maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,m) 返回对单变量 在x=a处的泰勒级数展开式的前m项.

15 例10 求函数 在原点(0，0)，以及（1，a）点处的Taylor展式． 【Matlab源程序】 syms x y; f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y); maple(‘mtaylor’,f,‘[x,y]’,4) 在(0,0)点处的泰勒级数展开式： ans = -2*x+x^2+2*x^3+2*y*x^2+2*y^2*x

16 maple(‘mtaylor’,f,‘[x=1,y=a]’,2)
ans = -exp(-1-a-a^2)-exp(-1-a-a^2)*(-2-a)*(x-1) -exp(-1-a-a^2)*(-2*a-1)*(y-a) maple(‘mtaylor’,f,‘[x=a]’,2) 在x=a处泰勒级数展开式： ans = (a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y) +((a^2-2*a)*exp(-a^2-y^2-a*y)*(-2*a-y) +(2*a-2)*exp(-a^2-y^2-a*y))*(x-a)

17 作业： 课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告 P51: 习题二，2.1，2.3 P76: 习题三，3.8（1），（2）。3.11（2） P91: 例4.8（前4项），例4.9（前4项）。 P132: 5.2 P132: 5.7（2）， 5.8（2）。