等差数列.

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1 等差数列

2 1+2+3+···+100=? 引例一 高斯 (1777—1855） 德国著名数学家 得到数列 1，2，3，4， … ，100

3 引例二 姚明刚进NBA一周训练罚球的个数： 得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000. 得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000

4 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
引例三 匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm） ，23， ，24， ，25， ，26， ，23， ，24， ，25， ，26， 得到数列

5 观察：以上数列有什么共同特点？ 发现？ 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 观察归纳 高斯计算的数列：
1，2，3，4， … ，100 　姚明罚球个数的数列： 　6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000 观察：以上数列有什么共同特点？ ，23， ，24， ，25， ，26 运动鞋尺码的数列 从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。

6 递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*）
等差数列定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。 递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） ①1，2，3,…,100； 公差d=1 公差d=500 ②6000，6500，7000，7500，8000，8500,9000 ，23， ，24， ，25， ，26 ③ 公差d=

7 注意 想一想 1、数列6，4，2，0,-2,-4…是否为等差数列？若是，则公差是多少?若不是，说明理由 公差是-2 公差是0 不是
2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由 公差是0 3、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由 不是 注意 公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0

8 已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d a2-a1=d
通项公式 已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d a2-a1=d （1） a3-a2=d （2） 累差迭加法 a4-a3=d （3） …… an-an-1=d （n-1） (1)式+(2)式+…+(n-1)式得： an=a1+（n-1）d an-a1=（n-1）d， 即

9 例题讲解 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项 （2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 解： （1）由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得 8 + (20-1) × （－3） =-49 a20= (2) 由a1=8, d=－9－(－5)=－4, 得到这个数列的通项公式为 an=－5－4（n－1） 由题意知，问是否存在正整数n，使得 －401＝ －5－4（n－1） 成立 解关于n的方程， 得n＝100 即－401是这个数列的第100项。

10 例2 在等差数列{an}中，已知a5=10, a12=31,求首项a1与公差d. 解： 由题意知， a5=10＝a1+4d a12=31＝a1+11d 解得: a1=-2 d=3 即等差数列的首项为-2,公差为3 点评：利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解

11 例３ 梯子的最高一级宽３３cm，最低一级１１０ cm， 中间还有１０级，各级的宽度成等差数列．计算中间各级的宽度．
解：用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，　　　　a1＝３３，a１２＝１１０，n=12. 　　　　由通项公式，得a１２＝ a1＋（１２－１）d 　　　　　　 即１１０＝３３＋１１d　　d＝７ 　　　　　　因此a２＝３３＋７＝４０， a３＝４０＋７＝４７， 　　　　　　　a４＝５４， a５＝６１， a６＝６８， 　　　　　　　　a　７＝７５，a８＝８２， a９＝８９， 　　　　　　　　a１０＝９６ a＝１１ ＝１０３ 答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是４０ cm ，４７ cm ，　　　５４ cm ，６１ cm ，６８ cm ，７５ cm ，８２ cm ， ８９ cm ，９６ cm ，１０３ cm

12 求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。
题后点评 求通项公式的关键步骤： 求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由此解出a1和d ，再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。

13 练一练 (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知，
在等差数列{an}中， (1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d a1=1 解得: a7=19＝a1+6d d=3 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a1=11 解得: d=-1 a9=3＝a1+8d 所以： a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0

14 我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？”
古题今解 我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记有：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗。人分加三颗。问：五人各得几何？” 分析： 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60，d=3， ∴ a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+4d)=60, ∴ a1=6, a2=9, a3=12, a4=15, a5=18 即为五等诸侯分到橘子的颗数。 点评：解等差数列有关问题时转化为 a1和d是常用的基本方法

15 C a2+a5=a1+d+a1+4d=4 ∴ , an=a1+(n-1)d=33 ∴n=50 接轨高考 （此题为2003年全国高考题）
A B C D.51 C a2+a5=a1+d+a1+4d=4 ∴ , an=a1+(n-1)d=33 ∴n=50

16 A=(a+b)/2 等 差 中 项 A为a,b的 新概念 在等差数列a,A,b中,A与a,b有什么关系？ 解: 依题得, A-a=b-A
所以, A为a,b的 等 差 中 项

17 本节课主要学习： 要点扫描 一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d
一种思想：方程思想 一个概念： A=a+b/2

18 课后作业 如何解决 1+2+3+···+100=? 预习：等差数列的前n项和

19 1.已知a1=3,2an=Sn·Sn-1,求证：数列 是等差数列，并求出公差d.
课堂练习 课后作业 能力提升 1.已知a1=3,2an=Sn·Sn-1,求证：数列 是等差数列，并求出公差d.

20 an=a1+(n-1)d 由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） a2-a1=d a2=a1+d
方法二 由递推公式：an－an－1=d （d是常数，n≥2，n∈N*） 可得: a2-a1=d a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a3-a2=d a4=a3+d=a1+3d a4-a3=d …… …… 等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d an-an-1=d an=a1+(n-1)d 当n=1时，等式也成立。