定积分应用 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校.

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1 定积分应用 欧阳顺湘 北京师范大学珠海分校

2 定积分应用 几何学中：面积、体积、曲线长 物理上：变力做功、体积、引力、重心等 微元法：先介绍面积计算，再介绍微元法等。。。

3 曲线间的面积的计算

4 曲线间的面积的计算

5 ＋

6 求由 正弦曲线 y=sin x 和 直线x=0,y=0,x=3pi/2 所围图形的面积

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13 另一种解法

14 微元法 为此，先回忆定积分定义 通过定积分的几何意义：求面积来说明

15 回顾 曲边梯形求面积的问题 a b x y o

16 面积表示为定积分的步骤如下 （3） 求和，得A的近似值

17 （4） 求极限，得A的精确值 面积元素 提示 a b x y o

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19 元素法的一般步骤：

20 这个方法通常叫做微元法． 应用方向： 　　平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；引力和平均值等．

21 微元法理解曲线间的面积的计算 面积元素

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23 体积 柱体的体积： 如果底面积为 A , 高为 H，则柱体体积为 V＝AH.

24 2. 体积 (Volume) 已知截面面积函数 的立体体积 体积微元： 整个立体体积

25 旋转体体积 设 f(x) 是 [a,b] 上的连续，由曲线 y=f(x) 、直线 x=a、x=b ( a<=x<=b ) 和 x 轴 围成曲边梯形

26 曲边梯形 绕 x 轴旋转一周得的空间立体

27 旋转体体积计算公式 设 f(x) 是 [a,b] 上的连续，由曲线 y=f(x) 、直线 x=a、x=b ( a<=x<=b ) 和 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周得的空间立体 Ω.

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30 解

31 绕固定轴旋转所成旋转体的体积

32 解(2)

33 变力做功 设物体在变力 y=f(x) 作用下，沿 x 轴正向从点 a 移动到 b, 求它所作的功 W.
在 [a,b] 上任取相邻两点 x 和 x+dx，则力 f(x) 所作的微功为 dW=f(x)dx, 于是 W

34 例 4 根据虎克定律，弹簧的弹力与形变的长度成正比.
已知汽车车厢下的减压弹簧压缩 1cm 需力 N， 求弹簧压缩 2cm 时所作的功. 解： 弹簧弹力 f(x)=k x. W =? k=?

35 练习 P111 7、8