电子关联方法 Koopmans’ Theorem: 假设分子轨道波函数不变，电子的电离能等于轨道能量。

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1 电子关联方法 Koopmans’ Theorem: 假设分子轨道波函数不变，电子的电离能等于轨道能量。
HOMO：Highest Occupied Molecular Orbital. LUMO：Lowest Unoccupied Molecular Orbital. Electron Correlation Methods: 基于HF的结果加入电子关联的计算方法的统称。 Configuration Interaction (CI) Methods: 加入激发态的 Slater 行列式，用拉格朗日未定乘子法进行能量最小化。 Brillouins Theorem：HF 和单激发态的交叉项为 0。 Many-Body Perturbation Theory: 基于量子力学中的多级微扰法进行修正。 MØller-Plesset Perturbation Theory (MPn) Coupled Cluster (CC) Methods: 对某项修正利用指数算符修正无穷多项。 比较各种算法的计算量和计算精度。

2 基组 (Basis Sets) 基组的选取对精度的影响：一是泛函形式是否接近实际波函数，二是基函数集合的大小。 两类基函数的泛函形式：
Slater Type Orbitals (STO): Gaussian Type Orbitals (GTO): GTO 对于核子附近和远距离的描述都不如 STO，一般需要三倍大的集合用以描述同一波函数。但是 GTO 积分计算简单快速，所以总体效率更高。 一般 GTO 的中心点选在核子上，但偶尔也会放在化学键中点等处。

3 基组的大小 Minimum basis set 刚好能容纳所有电子自由度的大小。 Double Zeta (DZ): Minimum basis set 的大小的两倍。 Triple Zeta (TZ), Quadruple Zeta (QZ), Quintuple Zeta (5Z), 6Z, … 扩散函数 (Diffuse Functions) 能量最小化求解波函数时，内部电子 (core electrons) 对总能量的贡献很大，而对化学性质影响很大的价电子 (valence electrons) 在总能量中贡献很小，所以求解出来的波函数 “尾部”（远离核子部分）不一定精确。在基函数中显式加入扩散函数项（小指数项）可以改进。 缩减的基组 (Contracted Basis Sets) 因为内部电子对总能量的贡献很大，但是对体系的化学性质等贡献很小，所以可以固定它们的自由度以减少计算量。可以固定描述内部电子的基函数前面的系数，在变分求解中不作为变量。这样，基函数的全集 primitive GTO (PGTO) 就可以通过线性组合缩减成更小的基组 contracted GTO (CGTO)。

4 基组的缩减方式分为两类 1) Segmented Contraction。例如： 2) General Contraction。例如：

5 Segmented Contraction
Pople Style Basis Sets 1) STO-nG: 包括 n 个PGTO的 STO 的 minimum basis set。PGTO 中的指数由拟 合STO函数得到。最常用的是STO-3G，精度和计算量都适中。 2) k-nlmG: 价电子波函数分为两或三部分。 k：PGTO 的数目用以描述内层电子波函数。 nl：价电子波函数分为两部分，分别用 n 和 l 个PGTO表示。 nlm：价电子波函数分为三部分，分别用 n, l, 和 m 个PGTO表示。 3-21G，6-31G, 6-311G。 还可以在 G的前面加一个 + 表示对非氢原子加扩散函数，再加一个 + 表示对氢 原子也加扩散函数。G 后面的括号内表示对非氢原子和氢原子加极化函数。 最大的基组为 G (3df, 3pd)。 6-31G* = 6-31G (d), 6-31G** = 6-31G(d,p)。 例外：3-21G* 因为基组太小，只对第二行元素加上 d 轨道元素。

6 Dunning-Huzinaga (DH) Basis Sets
与Pople Style的区别只在于 s 和 p 轨道函数的指数项系数是不同的变量，所以自 由度更大，但是计算更费时。 Pople 和 DH 类型基组的好处在于有大量的计算测试结果，所以对基组的性能和 精确度有较好的把握。 MINI，MIDI，和 MAXI 基组 1) MINI-i (i = 1-4)：3 个 PGTO 构成的 2s CGTO和 i 个PGTO构成的 1s 和 2p CGTO 的 minimum basis sets. 一般比 STO-3G 性能好一些。 2) MIDI-i: 与 MINI-i 的区别在于外层价电子波函数的集合没有缩减。 3) MAXI-i: 4 个 PGTO 构成的 2s CGTO 和 5-7 个 PGTO 构成的 1s 和 2p CGTO。

7 General Contraction Atomic Natural Orbitals (ANO) Type Basis Sets
用 CISD 计算得到的 natural orbitals 把大量的 PGTO 约化成少数 CGTO。好处在于这一约化过程能自动产生大小平衡的基组，缺点在于需要大量的 PGTO 以获得收敛的轨道函数解。 correlation consistent (cc) Basis Sets 注意不要和 Coupled Cluster (CC) 方法的简写混淆。缺点：计算量增长太快。 对于电子关联有相似贡献的轨道函数放在一起考虑，而不是一类（如 d-）函数采用同一种泛函。所以极化函数的归类为：1d, 2d1f, 3d2f1g。按最终缩减后的函数个数编号：cc-pVDZ (correlation consistent polarized Valence Double Zeta), cc-pVTZ, cc-pVQZ, cc-PV5Z，cc-pV6Z。 还可以加上扩散函数（小指数项），标识前加上前缀 aug-，如 aug-cc-pVDZ 多出 1s-, 1p-, 1d- 扩散函数。 还可以加上紧致函数 (tight functions)（大指数项），着重于精确计算内部-内部和内部-价电子之间的关联，标识为 cc-pCVXZ (X=D,T,Q,5)。cc-pCVDZ 有 1s- 和 1p- tight functions，cc-pCVTZ 有 2s2p1d, cc-pCVQZ 有 3s3p2d1f, cc-pCV5Z 有 4s4p3d2f1g。

8 Effective Core Potential (ECP) or Pseudopotential 赝势
内部电子自由度用经典势函数代替，只有价电子用量子方法计算。 用以解决两个问题： 1）对能量贡献很大的内部电子对于化学问题一般不重要，但是占用大量计算时间。 2）可以把相对论相应包括进去。 产生 ECP 的步骤： 1）用相对论的电子结构方法（Dirac 方程）计算出高质量的电子波函数。 2）用对内外电子一致的 pseudo-orbitals 代替价电子轨道。 3）把内部电子的轨道函数离散化成列表数值。 4）用一个高斯函数去拟合离散化的轨道函数。一般取 2-7 个高斯函数。

9 Gaussian 软件 主要用于计算少量分子的稳定构型及相关性质。 http://www.gaussian.com 基本文件格式
% 运行控制行 （可以多行） # 方法/基组 [控制选项] 空行 标题 净电量 总自旋数 {分子构型} --Link1--