1.1 信号的概念 1.5 系统的性质及分类 1.2 信号的运算 1.3 阶跃信号与冲激信号 1.4 系统及其描述 第一章 信号与系统

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1 1.1 信号的概念 1.5 系统的性质及分类 1.2 信号的运算 1.3 阶跃信号与冲激信号 1.4 系统及其描述 第一章 信号与系统
1.1 信号的概念 一、信号的概念 二、信号的分类 1.2 信号的运算 一、相加和相乘 二、时间变换 1.3 阶跃信号与冲激信号 一、序列函数定义 二、广义函数定义 　三、冲激函数的性质 　四、序列δ和ε 1.4 系统及其描述 一、系统定义及模型 二、系统的输入输出描述 三、系统的状态空间描述 1.5 系统的性质及分类 一、线性非线性系统 二、时变时不变系统 1.6 系统分析的基本思路 一、连续系统 二、离散系统 1.7 系统分析概述

2 前 言 1. 性 质: 2. 内 容: 《信号与系统》课程的性质，内容及特点： 这是电子类专业一门重要的必修技术基础课程。
前 言 前 言 《信号与系统》课程的性质，内容及特点： 1. 性 质: 这是电子类专业一门重要的必修技术基础课程。 2. 内 容: 包括信号分析与系统分析。 输入信号 输出信号 系统 （激 励） （响应）

3 ②采用众多的数字工具：线性代数、矩阵理论、 微积分（差分，迭分）运算、傅里叶级数和 变换、拉普拉斯变换、Z变换等。
前 言 ①信号的表示，运算和变换。 ②系统的模型，描述和响应计算。 ※信号分析为系统分析服务，重点关注系统 分析的理论与方法。 3.特点：与《电路分析基础》课程比较而言 ①分析观点，方法不同（白箱/黑箱法）。 ②采用众多的数字工具：线性代数、矩阵理论、 微积分（差分，迭分）运算、傅里叶级数和 变换、拉普拉斯变换、Z变换等。

4 1.1 信号的概念 一、消息，信息与信号 1.消息（message） 2.信息（information） 3.信号（signal）
第一章 信号与系统的基本概念 1.1 信号的概念 一、消息，信息与信号 1.消息（message） 人们常常把来自外界的报道统称为消息。 2.信息（information） 它是信息论中的一个术语。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对“信息”和“消息”两词未加严格区分。 3.信号（signal） 信号是消息的载体，常表现为某种变化的物理量。

5 对于信号我们并不陌生，如刚才铃声——声信号，表示该上课了；十字路口红绿灯——光信号，指挥交通；电视机天线接收的声音，图像信息——电信号；
1.1 信号的概念 对于信号我们并不陌生，如刚才铃声——声信号，表示该上课了；十字路口红绿灯——光信号，指挥交通；电视机天线接收的声音，图像信息——电信号； 信号按物理属性分为：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程仅讨论电信号——简称“信号”。 电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 描述信号的常用方法： （1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。

6 二、信号的分类 1.确定信号和随机信号 2.连续信号和离散信号 3.周期信号和非周期信号 4.能量信号和功率信号 5.一维信号和多维信号
1.1 信号的概念 二、信号的分类 1.确定信号和随机信号 2.连续信号和离散信号 3.周期信号和非周期信号 4.能量信号和功率信号 5.一维信号和多维信号 6.因果信号和反因果信号

7 三、信号的基本特性 1.确定信号的时间特性 2.确定信号的频率特性 3.随机信号的统计特性 4.信号的信息特性
1.1 信号的概念 三、信号的基本特性 1.确定信号的时间特性 反映信号幅值大小，变化速率及整体形态随t变 化呈现出来的变化规律。 2.确定信号的频率特性 包括信号带宽和各正弦分量振幅，相位随频率 的分布情况。 3.随机信号的统计特性 用均值，方差，相关函数和协方差函数等表征信号的统计特性。 4.信号的信息特性

8 1.2 信号的运算 一、相加和相乘 二、时间变换 两个信号相加（或相乘），其和（或积）信号等于同一时刻两信号值相加（或相乘）即
1.2 信号的运算 1.2 信号的运算 一、相加和相乘 两个信号相加（或相乘），其和（或积）信号等于同一时刻两信号值相加（或相乘）即 相加：y(t)=f1(t)+f2(t) y(k)=f1(k)+f2(k) 相乘：y(t)=f1(t)•f2(t) y(k)=f1(k)•f2(k) 二、时间变换 包括翻转，平移和展缩运算。

9 1.2 信号的运算 1.翻转 将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·)的翻转或反折。从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴翻转180o。如：

10 1.2 信号的运算 2.平移 将 f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (t – k0)称为对信号f (·)的平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f (·)右移；否则左移。如： 右移t → t – 1 左移t → t + 1

11 平移与翻转相结合 注意：是对t 的变换！ 画出 f (2 – t)。 法一：①先平移f (t) → f (t +2) 左移
1.2 信号的运算 平移与翻转相结合 画出 f (2 – t)。 注意：是对t 的变换！ 法一：①先平移f (t) → f (t +2) 左移 ②再反转 f (t +2) → f (– t +2) 法二：①先反转 f (t) → f (– t) 右移 ②再平移 f (– t) → f (– t +2) = f [– (t – 2)]

12 3.展缩（尺度变换） 将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。
1.3 信号的基本运算 3.展缩（尺度变换） 将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则展开： t → 2t 压缩 t → 0.5t 展开 对于离散信号，由于 f(ak)仅在 ak为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。

13 平移、翻转、尺度变换相结合 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。
1.3 信号的运算 平移、翻转、尺度变换相结合 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。 已知f (t)，画出 f (– 4 – 2t)。 右移4，得f (t – 4) 压缩，得f (2t – 4) 翻转，得f (– 2t – 4)

14 （1）信号的时间变换运算都是对自变量t（或k） 进行； （2）组合运用变换可由 画出 的 波形。
1.2 信号的运算 注意： （1）信号的时间变换运算都是对自变量t（或k） 进行； （2）组合运用变换可由 画出 的 波形。

15 1.2 信号的运算 三、连续信号的导数与积分 导数： 积分： 导数 积分

16 1.2 信号的运算 四、离散信号的差分与迭分 差分： （前向） （后向） 迭分：

17 1.3 阶跃信号与冲激信号 1.3 阶跃信号与冲激信号 一 序列函数定义 1.阶跃信号 ∆→0

18 1.3 阶跃信号与冲激信号 2.冲激信号

19 1.3 阶跃信号与冲激信号 3.ℇ(t)∼(t)关系：

20 二、广义函数定义 1.广义函数概念 普通函数：在定义域中，对每个自变量t，按照一定规则f，指定一个函数值f(t).
1.3 阶跃信号与冲激信号 二、广义函数定义 1.广义函数概念 　普通函数：在定义域中，对每个自变量t，按照一定规则f，指定一个函数值f(t). 一个普通函数，对于定义域中的变量t，都有对应的函数值f(t)；间断点处的导数不存在。与此不同，ℇ(t)在t=0处的导数是(t); (t)在唯一不为零的t=0处的函数值为。这类函数不能按常规函数定义理解，称为奇异（或广义）函数。 广义函数：为避开变量点上没有确定函数值的情况，广义函数采用它与另一个函数相互作用（如相乘后积分）后的效果来定义：

21 2.广义函数运算 可理解为：在试验函数集{(t)}中，对每一函数 (t)，按一定规则Ng，分配一个函数值Ng[(t)].
1.3 阶跃信号与冲激信号 可理解为：在试验函数集{(t)}中，对每一函数 (t)，按一定规则Ng，分配一个函数值Ng[(t)]. 注意： (t)是普通函数，满足连续、有任意阶导数。且(t)及各阶导数在|t|时要比|t|的任意次幂更快的趋于零； 2.广义函数运算 相等、相加、尺度变换、微分（见教材P19）

22 3.(t)、(t)的广义函数定义 表明(t)是一种具有能从(t)中筛选出t=0时刻值 (0)作用效果（称为筛选性质）的函数。 由于
1.3 阶跃信号与冲激信号 3.(t)、(t)的广义函数定义 表明(t)是一种具有能从(t)中筛选出t=0时刻值 (0)作用效果（称为筛选性质）的函数。 由于 故脉冲序列信号p∆(t)具有筛选性质。同样可作为 (t)定义。

23 三、(t)的性质 1.(t)的导数和积分 表明(t)是这样一种广义函数：与(t)的作用效果是 分配一个积分值 导数：
1.3 阶跃信号与冲激信号 表明(t)是这样一种广义函数：与(t)的作用效果是 分配一个积分值 三、(t)的性质 1.(t)的导数和积分 导数：

24 1.3 阶跃信号与冲激信号 积分： 2.(t)与普通函数f(t)相乘

25 1.3 阶跃信号与冲激信号 （筛选性质） 3.`(t)与普通函数f(t)相乘 积分 4.尺度变换

26 1.3 阶跃信号与冲激信号 5.奇偶性 上式中令a=-1，有 可见： (t)的奇(偶)次导函数是奇（偶）函数。 例1.

27 1.3 阶跃信号与冲激信号 例2. 证明：

28 1.3 阶跃信号与冲激信号 例3.

29 1.3 阶跃信号与冲激信号 例4. 例5.

30 1.3 阶跃信号与冲激信号 四、阶跃序列与脉冲序列 1.单位阶跃序列 2.单位脉冲序列

31 1.3 阶跃信号与冲激信号 筛选性： 迭分： 3.δ(k)与ε(k)的关系

32 1.4 系统及其描述 一.系统及模型 1.系统的定义 2.系统模型（或描述）
1.4 系统及其描述 1.4 系统及其描述 一.系统及模型 1.系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。 按组成事物性质不同，系统可分为物理系统和非物理系统。 电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统理论侧重于整体。 2.系统模型（或描述） 在一定条件下对实际系统基本特征的抽象描述，称为系统模型。系统模型也称系统描述。

33 二、系统的输入输出描述 1.初始观察时刻 按描述方式不同，系统模型可以分为数学模型和图 形结构模型；输入输出模型和状态空间模型。 系统
1.4 系统及其描述 按描述方式不同，系统模型可以分为数学模型和图 形结构模型；输入输出模型和状态空间模型。 二、系统的输入输出描述 1.初始观察时刻 系统 y(•) f(•) 含义1：以t₀、k₀为界将f(•)区分为历史输入f₁(•) 和激励（当前输入） f ₂(•)：

34 2.连续系统输入输出描述 开始观察系统响应。 含义2：从 (1)解析描述——建立微分方程
1.4 系统及其描述 开始观察系统响应。 含义2：从 2.连续系统输入输出描述 (1)解析描述——建立微分方程 图示RLC电路，初始观察时刻t=0,以uS(t)作激励,uC(t)作为响应，由KVL和VCR列方程，并整理得

35 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。
1.4 系统及其描述 二阶常系数线性微分方程。 抽去具有的物理含义，微分方程写成 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。

36 其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为
1.4 系统及其描述 其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为 能用相同方程描述的 系统称相似系统。

37 1.4 系统及其描述 (2)框图描述 上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有： 积分器： 加法器： 积分器的抗干扰性比微分器好。 数乘器：

38 →实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计
1.4 系统及其描述 系统模拟： 实际系统→方程→模拟框图 →实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计 例1：已知y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t)

39 例2：已知y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。
1.4 系统及其描述 例2：已知y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，画框图。 解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。 设辅助函数x(t)满足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = 4x’(t) + x(t)，它满足原方程。

40 x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t)
1.4 系统及其描述 例3：已知框图，写出系统的微分方程。 x”(t) x’(t) x(t) 设辅助变量x(t)如图 x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根据前面，逆过程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t)

41 3.离散系统输入输出描述 (1)解析描述——建立差分方程 例：某人每月定期在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求k个月后存折上的款数。
1.4 系统及其描述 3.离散系统输入输出描述 (1)解析描述——建立差分方程 例：某人每月定期在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求k个月后存折上的款数。 解：设k个月后的款数为y(k),这个月的存入款为f(k),上个月的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则 y(k)=y(k-1)+ βy(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+β)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。输出序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。

42 由n阶差分方程描述的系统称为n阶离散系统。 描述LTI离散系统的输入输出方程是线性常系数差分方程。
1.4 系统及其描述 由n阶差分方程描述的系统称为n阶离散系统。 描述LTI离散系统的输入输出方程是线性常系数差分方程。 (2)框图描述 基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器）

43 x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2) 即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k)
1.4 系统及其描述 例：已知框图，写出系统的差分方程。 x(k-1) x(k) x(k-2) 解：设辅助变量x(k)如图 x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2) 即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) 方程←→框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。

44 1.4 系统及其描述 三、系统的状态空间描述 系统的状态空间描述除与外部变量f(•)和y(•)有关外还涉及内部变量x(•)—状态变量。描述方程由状态方程和输出方程组成。 系统响应： 完全响应 零输入响应 零状态响应

45 1.5 系统的性质及分类 一、连续系统与离散系统 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特性，提出对系统进行分类的方法。
1.5 系统的性质及分类 1.5 系统的性质及分类 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特性，提出对系统进行分类的方法。 一、连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。

46 二、动态系统与即时系统 三、单输入单输出系统与多输入多输出系统
1.5 系统的性质及分类 二、动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。 三、单输入单输出系统与多输入多输出系统 单输入输出系统：系统具有单个输入和输出； 多输入输出系统：系统具有多个输入和输出。

47 四.线性系统与非线性系统 1.线性性质 满足线性性质的系统称为线性系统。
1.5 系统的性质及分类 四.线性系统与非线性系统 满足线性性质的系统称为线性系统。 1.线性性质 系统的激励f (·)所引起的响应y(·) 可简记为 y(·) = T[ f (·)] 线性性质包括两方面：齐次性和叠加性。 若系统的激励f (·)增大a倍时，其响应y(·)也增大a倍，即 T [af (·)] = a T [ f (·)]，则称该系统具有齐次性。 若系统对于激励f1(·)与f2(·)共同作用时的响应等于各个激励单独作用时产生的响应之和，即 T [ f1(·)， f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] 则称该系统具有叠加性。

48 1.5 系统的性质及分类 若系统既有齐次性又有叠加性，就称该系统具有线性性质，即 T[a f1(·) , bf2(·)] = a T[ f1(·)] + bT[ f2(·)] 2.动态系统是线性系统的条件 当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： ①可分解性 y (·) = yx(·) + yf(·) = T[{ x (0) }, {0}]+ T[ {0}，{f(•)}] ②零输入线性 T[ {ax(0)}, {0}]= aT[ {x(0)}, {0} ] T[ {x1(0) , x2(0)}, {0}]= T[{x1(0)}, {0}] + T[{x2(0)}, {0}] 或T[{ax1(0), bx2(0)}, {0}] = aT[{x1(0)}, {0}] +bT[{x2(0)}, {0}]

49 T[{0},{a f (·) }] = a T[{0},{ f (·) }]
1.5 系统的性质及分类 ③零状态线性 T[{0},{a f (·) }] = a T[{0},{ f (·) }] T[{0},{f1(t) , f2(t) }] = T[{0},{ f1 (·) }] + T[{0},{ f2 (·) }] 或 T[{0},{af1(t) ,bf2(t) }] = a T[{0},{ f1 (·) }] +b T[{0},{ f2 (·) }]

50 （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1
1.5 系统的性质及分类 例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解：（1） yf(t) = 2 f (t) +1， yx(t) = 3 x(0) + 1， 显然 y (t) ≠ yf(t) ＋ yx(t) 不满足可分解性，故为非线性。（2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) ， 由于 y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性； 但是 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yf(t) 不满足零状态线性，故为非线性系统。 （3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，满足可分解性； 由于T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yx(t)不满足零输入线性，故为非线性系统。

51 y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性；
1.5 系统的性质及分类 例2：判断下列系统是否为线性系统？ 解： y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性； T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}] = aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]，满足零状态线性； T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。

52 五、时不变系统与时变系统 1.时不变性质 2.时不变/时变系统
1.5 系统的性质及分类 五、时不变系统与时变系统 1.时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间，即若 T[{0}，f(t)] = yf(t) 则有 T[{0}，f(t - td)] = yf(t - td) 系统的这种性质称为时不变性（或移位不变性）。 2.时不变/时变系统 具有时不变性质的系统称为时不变系统，否则称为时变系统。

53 T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 )
1.5 系统的性质及分类 例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k –1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f (– t) 解：(1)令g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yf (k –kd) 故该系统是时不变的。 (2)令g (t) = f(t –td) T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yf (t –td)= (t –td) f (t –td) 显然T[{0}，f(t –td)] ≠ yf (t –td) 故该系统为时变系统。

54 (3) 令g (t) = f(t –td) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td)
1.5 系统的性质及分类 (3) 令g (t) = f(t –td) , T[{0}，g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yf (t –td) = f [–( t – td)]， 显然 T[{0}，f(t –td)] ≠ yf (t –td) 故该系统为时变系统。 直观判断方法： 若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

55 例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？
并写出方程的阶数。 （1）y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （2）y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （3）y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 线性、时变，一阶 非线性、时不变，二阶 非线性、时变，一阶 解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性系统。输入输出序列前的系数为常数，且无翻转、展缩变换，则为时不变系统。 本课程重点讨论线性时不变系统 (Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。

56 3.LTI连续系统的微分特性和积分特性 ①微分特性 若 f (t) → yf(t) ， 则 f ’(t) → y ’ f (t) ②积分特性
1.5 系统的性质及分类 3.LTI连续系统的微分特性和积分特性 ①微分特性 若 f (t) → yf(t) ， 则 f ’(t) → y ’ f (t) ②积分特性 若 f (t) → yf(t) ， 则

57 六.因果系统与非因果系统 零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。
1.5 系统的性质及分类 六.因果系统与非因果系统 零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。 即对因果系统，当t < t0 ，f(t) = 0时，有t < t0 ，yf(t) = 0。 如下列系统均为因果系统： yf(t) = 3f(t – 1) 而下列系统为非因果系统： (1) yf(t) = 2f(t + 1) 因为，令t=1时，有yf(1) = 2f(2) (2) yf(t) = f(2t) 因为，若f(t) = 0， t < t0 ，有yf(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。

58 例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知， 当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应
1.5 系统的性质及分类 例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知， 当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t) = e –t + cos(πt)，t>0； 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0； 求输入f3(t) = f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t) 。 解 设当x(0–) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)；当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。

59 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e –t + cos(πt)，t>0 （1）
1.5 系统的性质及分类 由题中条件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e –t + cos(πt)，t> （1） y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = –2e –t +3 cos(πt)，t> （2） 根据线性系统的齐次性， y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t) =3y1f(t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = –2e –t +3 cos(πt)，t>0 （3） 式(3)– 2×式(1)，得 y1f(t) = –4e-t + cos(πt)，t>0 由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1f(t)=0； 因此y1f(t)可改写成 y1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t) （4）

60 f1(t) →y1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t)
1.5 系统的性质及分类 f1(t) →y1f(t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t) 根据LTI系统的微分特性 = –3δ(t) + [4e-t –πsin(πt)]ε(t) 根据LTI系统的时不变特性 f1(t–1) →y1f(t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由线性性质，得：当输入f3(t) = f1(t–1)时， y3f(t) = y1(t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1)

61 1.5 系统的性质及分类 七、稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞ 则称系统是稳定的。 如yf(k) = f(k) + f(k-1)是稳定系统；而 是不稳定系统。 因为，当f(t) =ε(t)有界， 当t →∞时，它也→∞，无界。

62 1.6 系统分析的基本思路 一、系统分析的基本问题和方法 系统分析的基本问题：如何描述系统；对给定的系统，如何求出激励作用下的响应。
1.6 系统分析的基本思路 1.6 系统分析的基本思路 一、系统分析的基本问题和方法 系统分析的基本问题：如何描述系统；对给定的系统，如何求出激励作用下的响应。 具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出该方程的解。  输入输出法（外部法） 系统的分析方法： 状态变量法（内部法）（chp.8) 时域法（chp.2,chp.5) 外部法 连续系统—频域法(3)和S域法(chp4) 离散系统—z域法（chp7) 变换域法

63 二、LTI系统的分析思路 LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。 求解的基本思路：
1.6 系统分析的基本思路 二、LTI系统的分析思路 LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。 求解的基本思路： （1）把零输入响应和零状态响应分开求。 （2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。 采用的数学工具： （1）卷积积分与卷积和 （2）傅里叶变换 （3）拉普拉斯变换 （4）Z变换

64 1.7 信号与系统的分析方法 　　信号与系统是为完成某一特定功能而相互作用、不可分割的统一整体。为了有效地应用系统传输和处理信息，就必须对信号、系统自身的特性以及信号特性与系统特性之间的相互匹配等问题进行深入研究。本节概要介绍信号与系统的分析方法，以便读者对信号与系统的分析思想和方法有一初步了解。

65 　　信号分析研究信号的描述、运算、特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化。信号分析的基本目的是揭示信号自身的特性，例如确定信号的时域特性与频域特性，随机信号的统计特性等。实现信号分析的主要途径是研究信号的分解，即将一般信号分解成众多基本信号单元的线性组合，通过研究这些基本信号单元在时域或变换域的分布规律来达到了解信号特性的目的。由于信号的分解可以在时域进行，也可以在频域或复频域进行，因此信号分析的方法也有时域方法、频域方法和复频域方法。

66 　　在信号的时域分析中，采用单位冲激信号δ(t)或单位脉冲序列δ(k)作为基本信号，将连续时间信号表示为δ(t-τ)的加权积分，将离散时间信号表示为δ(k-i)的加权和，它们分别是一种特殊的卷积积分运算与卷积和运算。这里，通过基本信号单元的加权值随变量t(或k)的变化直接表征信号的时域特性。 　　在信号的频域分析中，采用虚指数信号ejωt或ejΩk作为基本信号，将连续时间(或离散时间)信号表示为ejωt (或ejΩk)的加权积分(或加权和)。这就导致了傅里叶分析的理论和方法。这里，通过各基本信号单元振幅(或振幅密度)、相位随频率的变化(即信号的频谱)来反映信号的频域特性。

67 　　在复频域分析信号时，则采用复指数信号est(s=σ+jω)或zk(z=rejθ)作为基本信号，将连续时间(或离散时间)信号表示为est(或zk)的加权积分(或加权和)，相应导出了拉普拉斯变换与Z变换的理论和方法。 　　系统分析的主要任务是分析给定系统在激励作用下产生的响应。其分析过程包括建立系统模型；用数学方法求解由系统模型建立的系统方程，求得系统的响应。必要时，对求解结果给出物理解释，赋予一定的物理意义。就本书所研究的LTI系统而言，由输入输出模型建立的系统方程是一个线性常系数的微分方程或差分方程；由状态空间模型建立的状态方程是一阶线性微分方程组或差分方程组，输出方程是一组代数方程。

68 　　在系统方程或系统输出响应的求解方面，按照系统理论，一般先求出系统的零输入响应和零状态响应；然后将它们叠加，得到系统的完全响应。设系统的初始观察时刻t0=0，如果将系统的初始状态看成另一种历史输入信号，那么，零输入响应yx(t)(t≥0)是历史输入信号作用于系统后在t时刻所产生的响应；而零状态响应yf(t)(t≥0)是［0,t］区间的当前输入信号作用于系统后在t时刻所产生的响应。就系统分析方法而言，两者没有本质上的差别。所以，系统分析问题可以归结为系统在当前输入作用下其零状态响应的求解问题，也就是松弛系统在激励作用下输出响应的求解问题。

69 　　分析LTI松弛系统的基本思想是先将激励信号分解为众多基本信号单元的线性组合，求出各基本信号单元通过系统后产生的响应分量，再将这些响应分量叠加起来得到系统在激励信号作用下的输出响应。与信号分析类似，系统分析也有相应的时域分析法、频域分析法和复频域分析法。

70 　　在LTI系统的时域分析中，将输入信号f(t)分解成冲激信号(或脉冲序列)单元的线性组合，只要求出基本信号δ(t)［或δ(k)］作用下系统的响应，就可根据系统的线性和时不变特性确定各冲激信号(或脉冲序列)单元作用下系统的响应分量，再将这些响应分量叠加求得系统在f(t)激励下的输出响应。这就产生了系统响应的卷积积分和卷积和计算方法。在频域分析中，把输入信号f(t)分解为虚指数信号(ejωt或ejΩk)单元的线性组合，只要求出基本信号ejωt(或ejΩk)作用下系统的响应，再由系统的线性、时不变特性确定各虚指数信号单元作用下系统的响应分量，并将这些响应分量叠加，便可求得f(t)激励下的系统响应，这就是傅里叶分析的思想。在复频域分析中，用复指数信号est或zk作为基本信号，将输入f(t)(或f(k))分解为复指数信号单元的线性组合，其系统响应表示为各复指数信号单元作用下相应输出的叠加，这就是应用拉普拉斯变换和Z变换的系统分析方法。

71 　　综上所述，LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性、时不变特性。实现系统分析的统一观点和方法是：激励信号可以分解为众多基本信号单元的线性组合；系统对激励所产生的零状态响应是系统对各基本信号单元分别作用时相应响应的叠加；不同的信号分解方式将导致不同的系统分析方法。在统一观点下，传统的数学变换工具被赋予了明确的物理意义。同时表明，无论是连续时间系统还是离散时间系统的变换域分析法在本质上也都是属于“时域”的分析方法，所有系统分析方法都是在使用某种基本信号进行信号分解的条件下导出的合乎逻辑的必然结果。

72 　　根据信号与系统的不同分析方法，全书内容按照先确定信号通过线性系统，后随机信号通过线性系统；先输入输出分析，后状态空间分析；先连续系统分析，后离散系统分析；先时域分析，后变换域分析；先信号分析，后系统分析的方式依次展开讨论。作为本课程的主体内容，连续信号、系统分析理论与离散信号、系统分析理论之间，既保持体系上的相对独立，又体现了内容上的并行特点。本书希望在全面系统地介绍“信号与系统”课程理论体系的同时，能够进一步揭示出各种分析方法之间的内在联系和本质上的统一性。