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圓 與 直 線 的 關 係 1.點與圓的位置關係 2.直線與圓的位置關係 3.圓的切線方程式
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點與圓的位置關係 1.點與圓的相關位置 2.距離公式 3.判別的方法
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點與圓的相關位置 1.點在圓外 2.點在圓上 3.點在圓內
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距離公式 1.兩點間的距離 2.點到直線的距離
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兩點間的距離公式 設A(x1,y1)，B(x2,y2)為平面上相異兩點，則A，B兩點間的距離 =
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點到直線的距離 設P(x1,y1)，直線L：ax+by+c=0，則P 點到直線L的距離為
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點與圓位置關係的判別方法 【方法一】 設 表一圓， 表一點， 圓心 與點 之兩點距離為
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方法一 比較 與 的大小： (1)若 在圓外。 (2)若 在圓上。 (3)若 在圓內。 如圖
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方法二 設 表一圓， 表一點， (1)若 在圓外。 (2)若 在圓上。 (3)若 在圓內。 如圖
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圓與直線的位置關係 1.圓與直線的相關位置 2.判別方法
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圓與直線的相關位置 1.圓與直線不相交(相離)。 2.圓與直線相交於一點(相切) 。 3.圓與直線相交於兩點(相割) 。
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圓與直線位置關係的判別方法 【方法一】 設圓 與直線 的方程式如下：
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方法一 圓心 到直線 距離為 。 (1) 圓與直線不相交(相離)。 (2) 圓與直線相交於一點(相切)。
圓心 到直線 距離為 。 (1) 圓與直線不相交(相離)。 (2) 圓與直線相交於一點(相切)。 (3) 圓與直線相交於兩點(相割)。如圖
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兩直線的交點坐標(複習) 設直線 L1：a1x+b1y=c1與 L2：a2x+b2y=c2，則L1、 L2的交點坐標為
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方法二 解聯立方程式 消去其中一個變數，可得一元二次方程式
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令其判別式為 ，則： ，則圓與直線不相交(相離)。 ，則圓與直線相交於一點(相切) 。 ，則圓與直線相交於兩點(相割) 。如圖
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例題
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例題
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圓 的 切 線 1.切線實例 2.切線定義 3.切線方程式
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切線實例 例1：公園裡有一塊草坪，形狀像個麵包圈。邊界線 是兩個同心圓。兩名中學生想算出這塊草坪面積有
多大。其中一名學生想跨進草坪，去量出大圓與小 圓的半徑，此時有一名園丁阻止這名學生去踩草 坪，但拿了一根竹竿給學生量，這兩名學生該如何 利用竹竿量出草坪面積呢？ 解答
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例2：如下圖所示： ， 為光源， 為半圓形障礙物，若光線要 照到 ，問 至少為多少？ 圖
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切線的定義 割線： 當一條直線與圓相交於兩點時，這條直線稱作圓的割線。 切線(國中時，圓的切線是這樣定義) ：
“與圓恰有一個交點的直線稱為切線，該交點稱為切點”。 如圖
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曲線的切線定義 對一般的曲線來說，要如何定義切線呢？ 以圓為例： 設 是圓的一條割線，與圓 交於兩點 ，
設 是圓的一條割線，與圓 交於兩點 ， 今固定 點而讓另一交點 沿著圓由 經過 ， 逐漸趨近於 ，當 點與 點重合時， 割線 的最後位置 叫作圓的切線， 點稱 作切點。(圖1，圖2)
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切線方程式 切線的求法分成三類： (1)通過所予切點，求切線。 (2)已知切線的斜率，求切線。 (3)通過圓外一個所予點，求切線。
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過 切 點 的 切 線 公 式 【方法一】 假設圓心為 點， 點為切點，利用 ” 線段垂直切線”這個條件，就可以求出 點的切線了。
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方法二 設 為圓 上的一點，則 (1)過切點 ，圓 的切線方程式為
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(2)過切點 ，圓 的切線方程式為
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斜率為已知之切線公式 (1)圓 中，斜率為 之切線為 (2)圓 中，斜率為 之切線為
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過圓外一點的切線方程式 若已知點 不在圓上，解法： (1)設切線為 (2)(i)利用“圓心到切線的距離等於半徑” 求出
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(ii)利用“解圓與直線之聯立方程組中方程組之判別式=0” 求出
※因過圓外一點有二條切線，故如此的 有二值，當 值僅求得一個值時，不要忘記另一為鉛直切線。
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