第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)

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1 第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
Monte Carlo模拟 第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions) 3.10 Metropolis抽样方法 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

2 3.10 Metropolis抽样方法 由Metropolis、Rosenbluth和Teller在1953年提出的一种抽样方法
设X为d维随机向量，其概率密度函数为w(X) 欲产生一组X的随机值： 通过在d 维空间中的随机行走来产生X的随机取样，利用 w(X)来选取每一步行走的步长和方向 设已产生了i个随机值xi，以xi为基点随机选取一新的试验点xt，根据w(X)决定是否接受xt作为新的点xi+1 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

3 3.10 Metropolis抽样方法 Metropolis抽样方法： 选择参数 和初始点
设已产生了第i个X的随机值 ，则第i+1个随机值由下列步骤产生： 产生d个在(-1,1)区间上均匀分布的随机数 计算新的尝试点: 计算w(X)函数在两点处的数值比 产生在(0,1)区间内均匀分布的随机数 如果r  ，则令, 否则, 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

4 3.10 Metropolis抽样方法 证明: 考虑一群数目很大的行走者,每个行走者在X空间中从不同的起始点相互独立地行走
Nn(X): 经过n步行走后在X点处的行走者的数目。 在第n+1步：从X点到Y点的行走者的数目 P(XY): 在X点处的行走者行走到Y点的几率 P(YX): 在Y点处的行走者行走到X点的几率 达到平衡状态时：N(X) = 0 Ne(X): 在平衡状态时在X点处的行走者的数目。 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

5 3.10 Metropolis抽样方法 下面证明利用Metropolis算法可得到：Ne(X) ~ w(X)
在Metropolis算法中，由X到Y的几率： P(XY) = T(XY)A(XY) T: 由X到Y走一步的几率 A:这一步被接受的几率 如果由X可经过一步到达Y(即：X和Y都位于边长为的多维立方体内） T(XY) = T(YX) 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

6 3.10 Metropolis抽样方法 根据Metropolis算法： （1）如果w(X）> w(Y)，则 A(YX) = 1
由X到Y被接受的几率为r  （2）如果w(X）< w(Y)，则 A(XY) = 1 由X到Y被接受的几率为r  Ne(X) ~ w(X) 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

7 3.10 Metropolis抽样方法 注意： （1）关于的选取：如果太小，要历经整个X的取值区间需要行走很长的距离（产生很多的点)；如果很大，一步行走被拒绝的几率会很大。 的取值：约有一半的试验行走被接受 （2）关于行走的初始点：取w较大的点 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法

8 3.10 Metropolis抽样方法 例1:标准正态分布的抽样 2019/4/26 3.10 Metropolis抽样方法