第九章 几种典型的晶格统计模型 9.1 Ising模型 平均场近似

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1 第九章 几种典型的晶格统计模型 9.1 Ising模型 平均场近似
或写为： 这里我们只考虑最近邻相互作用及 的情形。系统在正则系综里的配分函数为： 下面来求配分函数。引入变量晶格配位数 (每个自旋的最近邻数) 和： ：自旋取+1（向上）的自旋数目； ：自旋取-1（向下）的自旋数目； ：两自旋取+1的近邻自旋对数目； ：两自旋取-1的近邻自旋对数目； ：自旋取+1与自旋取-1的近邻对数目。

2 我们有： 上面的“2”由于每个 被记了两次。因此五个变量里只有两个是独立的，选取 和 为独立变量，我们有： 故哈密顿量可写为： 配分函数为： 这里g为有相同 和 的自旋哈密顿量的简并度。 此时仍难以求解。下面介绍两种近似方法（均为平均场近似方法）： 1）Bragg-Williams方法： 为方便定义一个量I: I=1时所有自旋取+1值；I=-1时所有自旋取-1值。于是磁化强度可写为：

3 再定义I’为： 类似易知I’=1时所有自旋取+1值；I’=-1时所有自旋取-1值。故哈密顿量为 Bragg-Williams假定（忽略自旋间的短程关联）： 于是哈密顿量： 配分函数为 对g(I)我们有： 带入Z的表达式有： 当N∞时，ln Z可用其中最大的一项的对数来代替，故由斯特林公式有： 上式由 可解得 ，结果为(磁化强度方程)：

4 B=0时用图解法解这个方程，可得 其中第二式 不对应于自由能极小值。 由这两式可得临界温度为： 并且 在两种情形下，我们还有： 对序参量M我们有： 因此其对应的临界指数β=1/2。 内能和比热为：

5 当B0时， ,故我们有 磁化率： 故临界指数γ=1。再利用 ，我们发现在 时， 因此临界指数δ=3。这些临界指数与维数无关，且与朗道平均场理论结果完全一致。 2）Bethe-Peierls方法（考虑了最近邻相互作用）： 考虑“浸没”在晶格里的自旋集团，它由中心自旋 和 个最近 邻组成，它们间的相互作用为 ，最近邻自旋和系统中其 它自旋间的相互作用只通过一个平均场m’来计入，因此这样一 个含 个自旋的哈密顿量可写为： 该自旋集团的配分函数为（这里α’=m’β）：

6 对第一个求和号求和后得： 的平均值为： 这些平均值在物理上应相等，故由 可得 由此方程可确定平均场m’的大小。 自发磁化(h=0): 或： 若令： ，则 其解为：

7 由这些式子可得（h=0时）： 因此若ξ=1，则 ；其它情形则 ；另有 取c=1可求得临界温度满足的方程： 解为： 两种近似下的热容：

8 9.2 一维Ising模型的严格解 含外场B的Ising哈密顿量为： 或写为约化形式： 介绍两种求解方法：
1）变数变换法(仅对h=0情形)： 自由边界条件： 系统配分函数为： 引入新变数： 配分函数为： 上面的因子“2”来源于每个η的取值对应于自旋的两种位型。 周期性边界条件： ，于是

9 2）转移矩阵法： 设外场 ，周期性边界条件。配分函数为： 定义矩阵： 具体为： 由此配分函数写为 其中 是矩阵T的两个本征值，具体为： N∞时，配分函数变为： 由此可得亥姆霍茨自由能： 上式中根号恒为正，对所有实h和T>0自由能为h和T的解析函数。故一维Ising模型不存在非零温相变，或称相变温度为T=0。

10 关联函数： 这里已利用了T>0时， 故 令j=i+n，有 令所有 相等得 故T=0时，有 系统处于完全有序态。 T>0时，有 因此关联长度为 当T0时，K>>1, 于是关联长度：

11 9.3 XY模型 KT相变 在上章里，我们通过系统对涨落的稳定性和自由能极小(是否有利于形成domain wall而破坏长程序)的观点分析了连续自旋系统何时会有相变，并证明其下临界维数是2，即d<=2维不可能发生相变。 这里我们讨论一种连续自旋系统---XY模型（对这个系统取维数d=2）---发生的一种特殊的相变，称为KT相变(Kosterlitz-Thouless 相变)。XY模型的自旋为 ，即在自旋空间里是二维的，我们在坐标空间也取维数为2，即d=2。 哈密顿量： 设XY模型里自旋写为 ，即自旋的振幅为1，相角为 。在二维晶格上，系统的约化哈密顿量为： 上面的求和只对相邻晶格格点进行。我们仅考虑 即铁磁相互作用，这时在低温下系统中所有自旋倾向于一致排列，故任意两个相邻自旋的夹角都很小，所以我们可以做展开： 把晶格格点坐标看作连续变量，我们有： 于是：

12 由此我们可以把哈密顿量写为： 上面第一项与自旋无关，可视为常量，因此可以略去。所以哈密顿量可写为： 这里 下面我们针对XY模型来考察系统对涨落的稳定性（通过关联函数）和自由能的情况。 两点关联函数：考察系统在低温下是否有长程（有）序。 1) 两点的自旋关联函数为： 我们首先证明对任意的两点 上式可写为： 当 很小时，我们通过把 展开到二阶项再求平均，或把上面的指数函数展开到二阶可发现二者相等。严格一些的证明，可以先考察哈密顿量（近似到二阶，并把第一项略去）： 这个哈密顿量有二次型的形式： ，对这种形式的哈密顿量，根据杨展如书第一章的(1.10.6)-( )式（可以通过把实对称矩阵A对角化获得），我们有

13 上式两边对 和 求导，然后令 ，可得 于是由这两式我们有： 令 即得 因此只要求出了 ，就可以获得 ，下面我们来求 。 2) 求 ： 转到傅里叶空间里求，为此把 展开为： 于是约化哈密顿量可写为： 现在把 作傅里叶变换： 通过与8.10节类似的讨论我们有： ，利用上面得到的哈密顿量我们有：

14 转到坐标空间有： 注意到展开式： 其中 是贝塞尔函数。把上式对θ求积分，我们有 再考虑到在低温下对k的积分实际上只限于小于 的|k|值，这里a为晶格常数，于是有 由此得： 下面我们讨论r趋于无限时的渐进行为，由于对所有实数z有 ，上述积分可近似写为： 即 这说明角度之间的偏离随着距离的增加而增加，因此不可能有长程序。而两点关联函数最终可写为： 即在低温下关联函数呈幂率衰减。

15 由此我们可以对比低温下XY模型与通常的离散自旋系统在临界点的性质和高温顺磁态的性质：
通常的离散自旋系统(如Ising模型)在临界点：关联函数呈幂率衰减，有长程序； 高温顺磁态：关联函数呈指数衰减，无长程序。 因此低温下的XY模型介于离散自旋系统在低温下的铁磁态和高温顺磁态之间，我们把这种低温下关联函数呈幂率衰减，但无长程序称为有“准长程序”的相。 自旋波和涡旋态： 上面我们讨论了涨落的后果，下面我们讨论自由能极小产生的后果。 我们上面的讨论假设了 是一个光滑函数，即相邻自旋缓慢地变化，这是一种自旋波式的描述。但如果系统中出现涡旋态，上面的描述是不准确的，因为对涡旋态而言，自旋经过一个闭合路径将产生2πq的突变(q为整数，称为涡旋的绕数或涡旋量子数)。为此我们把 分为两部分：涡旋态部分为 ，自旋波部分为 ，即有 和 易知有： 为方便可令 ，这里r是平面极坐标矢径的长度(注意ds=rdφ)。

16 一些例子： q=1的自旋涡旋态位形： ，q=-1的自旋涡旋态位形： q=2的自旋涡旋态位形： 正反涡旋还可形成涡旋束缚对，下面的例子一个中心q=1，另一个q=-1：

17 单个涡旋态和涡旋束缚对的能量： 1)单个涡旋态的能量： 这里L是晶格的线性长度。L/a趋于无穷大时，能量也发散，说明离涡旋中心很远的自旋不相互平行，系统处于高能态。 2)涡旋束缚对的能量: 把两个涡旋的能量相加即可，但注意涡旋只能延伸到 两涡旋中心的距离： 这个能量是有限的，比仅存在单个涡旋态的能量更小。离涡旋中心很远的自旋几乎平行。 自由能： 单个涡旋态：我们来看加入一个涡旋是否会减小自由能，如果是的话这是有利于单个涡旋的存在的： 单个涡旋可在任一个格点出现，因此熵为 于是自由能为： 转变温度： 在 的情况下，当 时，自由能减小，单个涡旋可以稳定存在； 反之当 时不利于单个涡旋的存在，系统处于自旋波态，但可能存在涡旋束缚对。

18 键渗流：每条棱以一定的概率p被占据， 格点渗流：每个格点以一定的概率p被占据，
9.4 渗流（percolation）相变 考虑格子G，可以定义两类渗流，分别为键渗流（左下图）和格点渗流（右下图），它们是彼此独立的。 键渗流：每条棱以一定的概率p被占据， 格点渗流：每个格点以一定的概率p被占据， 占据则以粗键表示。 占据则以实心点表示。 相连的粗键（相邻的被占格点）形成了集团（见上图）。显然p越大形成较大集团的可能性也越高。考虑一个无限大格子，设出现无限大集团的概率为P(p)。实验显示，当p很小时，P(p)=0；当p到一阈值时，P(p)突然增加到接近1（右图）。这与 磁性系统中序参量（磁化强度）在临界点的变化类似，因此称为 渗流（percolation）相变。 在渗流阈值 附近，我们有临界行为：

19 为研究其临界行为，我们引入几个参数。设格子G有N个格点和M条棱，任一个被占位形可用G的一个子图G’表示，定义：
e=e(G’): G’里被占棱的数目（键数目）； n=n(G’): G’里所含集团的数目； s=s(G’):G’里所含被占格点的数目。 出现G’位形的概率则为： （键渗流）； （格点渗流） 任一个量A在各种G’位形上的平均值为： 如A是广延量，我们则计算单个格点上的平均值： 记 表示G’中所含集团c的某种性质的物理量， 表示包含原点的集团的某种性质的物理量， 是子图G’中格点i的某个物理量，且当G’含格点i的无限大集团时为零。则由平移不变性有 由上式，引入 （如包含原点的集团中的格点数目有限，即 有限）或 （如 ） 我们有： 1. （令 ）： ，撇号表示对有限集团求和； 2. （令 ）：包含原点的有限集团的平均大小S(p)为：

20 对键渗流，类似我们可取有限键集团平均大小为：
对格点和键渗流，S(p)在临界阈值处都发散，可用幂率表示为： 3. 每个格点上的平均集团数（无限大的集团数很少，故可用平均有限集团数代替）： 在临界阈值处有： 4. 关联函数定义为：位于原点的格点与距它为r的格点同属同一集团的概率。 在临界阈值处，关联函数呈幂率衰减，即 渗流模型可与Potts模型（一种晶格自旋模型）联系起来，详情可见杨展如书 页。