第七节 第十一章 斯托克斯公式 *环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度.

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1 第七节 第十一章 斯托克斯公式 *环流量与旋度 一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度

2 一、 斯托克斯公式 证: 定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,  的 侧与  的正向符合右手法则, 在包含 在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有 (斯托克斯公式) 证: 情形1.  与平行 z 轴的直线只交于 运行时, 点击“(斯托克斯公式)”, 或按钮“介绍”, 将显示斯托克斯生平简介, 并自动返回. 一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图). 简介

3 则 (利用格林公式) 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 定理1

4 因此 同理可证 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1 内容. 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 定理1

5 通过作辅助线把  分成与z 轴只交于一点的几部分,
则可 通过作辅助线把  分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1

6 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 运行时, 点击按钮“定理1”, 可看定理1内容. 定理1

7 其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
例1. 利用斯托克斯公式计算积分 其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 个边界, 方向如图所示. 解: 记三角形域为 , 取上侧, 则 利用对称性

8 例2.  为柱面 与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设 为平面 z = y 上被  所围椭圆域 ,
例2.  为柱面 与平面 y = z 的交线, 从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设 为平面 z = y 上被  所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦 利用斯托克斯公式得 运行时, 点击按钮“公式其他形式”, 可看斯托克斯公式的其他形式. 公式其他形式

9 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有

10 证: 由斯托克斯公式可知结论成立; (自证) 设函数 则 (2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关
运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (2) 对G内任一分段光滑曲线 , 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 定理2

11 同理可证 故有 若(3)成立, 则必有 故有 因P, Q, R 一阶偏导数连续, 同理 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 证毕
运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 同理 证毕 定理2

12 例3. 验证曲线积分 与路径无关, 并求函数 解: 令  积分与路径无关, 因此 运行时, 点击按钮“定理2”, 可看定理2内容. 定理2

13 *三、 环流量与旋度 斯托克斯公式 设曲面  的法向量为 曲线  的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为

14 rotation 令 , 引进一个向量 于是得斯托克斯公式的向量形式 : ① 或 定义: 称为向量场 A 沿有向闭曲线  的环流量.
记作 rotation 于是得斯托克斯公式的向量形式 : ① 或 定义: 称为向量场 A 沿有向闭曲线  的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度.

15 旋度的力学意义: 设某刚体绕定轴 l 转动, 角速度为, M 为刚体上任一 点, 建立坐标系如图, 则 点 M 的线速度为
(此即“旋度”一词的来源)

16 斯托克斯公式①的物理意义: 向量场 A 沿  的环流量 向量场 A 产生的旋度场 穿过  的通量 例4. 求电场强度 的旋度 .
注意  与  的方向形成右手系! 例4. 求电场强度 的旋度 . (除原点外) 解: 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋.

17 例5. 设 的外法向量, 计算 解:

18 内容小结 1. 斯托克斯公式 也可写成: 其中 A在  的切向量  上 投影 A 的旋度 在  的法向量 n 上 投影

19 2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在 内具有一阶连续偏导数, 则 在 内与路径无关 在 内处处有 在 内处处有

20 3. 场论中的三个度 设 则 梯度: 散度: 旋度:

21 思考与练习 则 提示: 三式相加即得

22 作业 P *2 (1),(4) ; *3(1),(3) ; *4(1); *5 (2) ; *7 补充题: 证明 习题课