角 动 量 继续寻找运动状态中的不变量.

Presentation on theme: "角 动 量 继续寻找运动状态中的不变量."— Presentation transcript:

1 角 动 量 继续寻找运动状态中的不变量

2 课程回顾 角动量概念的引入 质点系角动量定理 角动量守恒定律：当外力对给定点的总外力矩之和为零时，体系的角动量守恒。

3 质心系的角动量定理 设 LC 为质心系中体系对质心的角动量，MC为外力对质心的力矩， MC惯 为惯性力对质心的力矩。则有：
由于质心系是平动系，作用在各质点上的惯性力与质量成正比，方向与质心加速度相反，对质心的力矩为： 即： 不论质心系是惯性系还是非惯性系，在质心系中，角动量定理仍然适用。

4 体系的角量与质心的角动量 虽然在质心系中角动量定理仍然适用，但体系在质心系中相对质心的角动量与体系在惯性系中相对原点的角动量并不相同。这一点应该是肯定的，因为即使在惯性系中相对不同的点的角动量都不相同，何况质心往往还是一个运动的点。

5 体系的角动量与质心的角动量 设在惯性系 K 中，体系相对原点的角动量为 L。在质心系 KC 中，体系相对于质心的角动量为 LCM，则有：
令： 称为质心角动量 称为体系相对于质心的角动量 则有： 即：体系的角动量等于质心的角动量与体系相对于质心的角动量之和。

6 两体问题下的角动量表达 两体运动方程： 约化质量： 按照牛顿第二运动定律表述，动量变化率为作用力，在两体问题中，动量为：
两个质点相对于质心的角动量为：

7 两体问题 对于质量可以比拟的孤立两体问题，总可以把其中一个物体看作固定力心，只要另一物体的质量用约化质量代替。这就是说，无固定力心的两体问题等效于一质量为的质点在固定力心的有心力作用下的运动。也就把两体问题化成单体问题。 即其运动规律满足： 其中：

8 质点在有心力场中的运动 有心力 所谓有心力，就是方向始终指向（或者背向）固定中心的力
该固定中心称为力心。在许多情况下，有心力的大小仅与考察点至力心的距离有关，即 有心力存在的空间称为有心力场。如万有引力场、库仑力场、分子力场。 在前面的课程中指出，有心力场都是保守力场。

9 有心力场质点运动的一般特征 在有心力场中，质点运动方程为： 其特征为： (1) 运动必定在一个平面上 – 有心力轨道定律
当质点的初速度给定后，质点只能在初速度与初始矢径所构成的平面内运动。往往用平面极坐标描述运动。取力心为原点，运动方程则为

10 (2) 两个守恒量 有心力对原点力矩为零，角动量守恒 对上式两边×r后再对时间积分得到： 有心力是保守力，质点机械能守恒

11 (3) 有效势能与轨道特征 因L是运动常量，故机械能守恒定律可写为： 为等效斥力,对应一斥力 mL2/r3 作用在质点上，Ep(r)视具体的有心力形式而定。 如果只需要知道轨道特征而不求详细的运动情况，那么利用: 掠面速度的两倍

12 得到： 令u=1/r

13 如果有心力为万有引力的情况

14 那么可以有 其中 这是圆锥曲线方程：

15 如果有心力为万有引力的情况 则有： 根据有效势能表达式做出势能曲线

16 利用势能曲线对引力场轨道特征的讨论 质点总能量E的大小决定了质点在有心力场中的运动范围，即质点可做不同类型的轨道运动。
拱点的性质： 在拱点处，r取极值，则有 那么可以得到： 解该方程获得拱点处r值。

17 讨论： 1) E>0，只有一个拱点 对应双曲线情况

18 2) E=0，只有一个拱点 对应抛物线情况 3) Emin<E<0，有两个拱点 对应椭圆情况 4) E=Emin，两个拱点重合 对应圆的情况

19

20 开普勒第三定律的证明 任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星椭圆轨道的半长轴的立方成正比 根据前面的计算 那么 这是一个与行星无关的常数

21 如何由开普勒定律推出万有引力定律？ 根据开普勒第二定律，行星角动量守恒，必定受到以太阳为力心的有心力作用 。我们可以从功能原理出发求出行星动能的增量： 以太阳为极点的极坐标系中，行星动能可以表示为： 由开普勒第一定律： 由开普勒第二定律

22 那么动能为： 再由开普勒第三定律 为与行星无关的太阳系普世常数

23 太阳系系统为什么是稳定的? 牛顿提出万有引力理论的时候，有人就问：既然宇宙间(太阳系)只有引力，为什么这些物体不最终塌缩到一起，还能处于相对分散的状态？ 第一个做出正确解释的是法国科学家、天文学家P.-S. Laplace。 从前面的推导可以直接知道，只要存在不为零的初始角动量，系统就是稳定的(不考虑太阳和行星的尺寸。) 初始角动量在这里扮演斥力的角色，而且随着r的减小，斥力逐渐增大，变化趋势大于万有引力的变化趋势，在某个r将会阻止两物体距离进一步缩小。 可以说初始角动量使得我们处在的太阳系行星系统稳定存在。