例：循环群的每个子群一定是循环群。 证明：设H是循环群G的子群，a是G的生成元。 1.aH

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1 例：循环群的每个子群一定是循环群。 证明：设H是循环群G的子群，a是G的生成元。 1.aH 2.aH，因H中每个元素都可以表示成a的幂次形式。 设ak是H中幂次最小的正整数。 对任意的al H，l=mk+r(0≤r≤k-1) 目标r=0

2 二、陪集 a,b关于模n同余当且仅当(a-b)被n整除。
定义：设[H;]是群[G;]的子群，对任意a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H记为ab(mod H)。 定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任a,bH,有ab-1H。 定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。 证明:自反 对称 传递

3 [a]={x|xG,且xa(mod H)}
={x|xG,且xa-1H} ={ha|hH} 以a为代表元的等价类实质上是a从右边乘H中的每个元素而得到的集合， Ha Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪集。

4 设[H;]是群[G;]的子群，aG，则
(1)bHa当且仅当ba-1H (2)baH当且仅当a-1bH 定义14.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。

5 例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有右陪集。这里E表示偶数全体。
例：三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中H4就是三次交代群A3。现在考察H1的陪集。

6 e H1=1H1=H1; 2H1=5H1={2, 5} 3H1=4H1={3, 4};H1e =H11=H H12=H14={2, 4};H13=H15={3, 5} 显然2H1H12, 5H1H15, 3H1H13, 4H1H14 这说明左、右陪集一般不等。

7 引理14.1：如果HG是子群,那么任一gG所构成的陪集|gH|=|H|, |Hg|=|H|。
分析:证明基数相等的一种方法是证明两个集合之间存在双射. 证明:定义映射:HHg, (h)=hg 利用群消去律证明是一对一的. 而满射是显然的,因为对任意的hgHg, 有(h)=hg.

8 引理14.2：H为G的子群,g1,g2G,两个右陪集Hg1与Hg2,则: 或Hg1=Hg2,或Hg1∩Hg2=。
证明:利用等价类的性质. 例：设[H;]是群[G;]的子群，则 (1)若baH，则bH=aH (2)若bHa，则Hb=Ha 由等价类的概念和性质即得.

9 三、拉格朗日定理 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左陪集数与右陪集数相等.
证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明存在S→T的双射。 定义: S→T, (Ha)=a-1H。 (1) 是映射。关键是说明当Ha=Hb时, (Ha)=a-1H，(Hb)=b-1H，有 a-1H=b-1H (2) 是一对一的。对任意的Ha,Hb,若(Ha)=(Hb) 即a-1H=b-1H，是否有Ha=Hb. (3)满射

10 作业 P294 25,27,28 补充：设H1,H2是G的子群,证明H1H2是G的子群当且仅当H1H2=H2H1,其中H1H2={h1h2|h1H1并且h2H2}, H2H1={h2h1|h1H1并且h2H2} 下次介绍拉格朗日定理，正规子群，商群，群同态基本定理。