2.4 逻辑函数及其表示方法 逻辑函数的建立 一、逻辑函数的建立 逻辑描述：

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1 2.4 逻辑函数及其表示方法 2.4.1 逻辑函数的建立 一、逻辑函数的建立 逻辑描述：
一个控制楼梯照明灯的电路。A、B是两个单刀双掷开关，A装在楼上，B装在楼下。共同控制灯Y的亮、灭。试写出灯F亮的逻辑函数。 问题分析为：只有开关A、B 都接上面或都接下面时，灯Y才亮 。而一个接上面，另一个接下面时，灯不亮。

2 Y A B 1 假设输入变量为A、B； 用0表示开关接下面，1表示接上面 假设输出变量为Y； 用0表示灯灭，用1表示灯亮
1 真值表 假设输入变量为A、B； 用0表示开关接下面，1表示接上面 假设输出变量为Y； 用0表示灯灭，用1表示灯亮 则输入输出变量之间的关系可以用真值表来表示 逻辑函数： 由真值表，在A、B的四种组合中，只有一、四两种能使灯亮。这两种情况中，A、B之间是同或的关系，故灯亮的逻辑函数为：

3 二、逻辑函数的表示方法 设某一逻辑网络的输入逻辑变量为A1、A2、…、An，输出逻辑变量为F。若A1、A2、…、An的值被确定后，F的值就唯一 地被确定下来，则F和A1、A2、…、An之间存在的因果关系称为逻辑关系。一个确定的逻辑关系通常可以采用以下几种表示方法：

4 真值表： 逻辑函数表达式： 逻辑图： 卡诺图： 时序图（波形图）： 描述输入变量的各种可能的取值组合及相应的输出值的表格。 将变量之间的关系用数学表达式（规定了两种标准形式）给出 用逻辑门的符号（基本的或复合的）表示逻辑关系的电路图形。 表示逻辑变量的所有可能组合的方格图形。 表示各逻辑变量值随时间变化的规律的图形。 在同一逻辑关系的各种表示方法中，真值表、卡诺图、时序图具有唯一性，而逻辑函数表达式和逻辑图则具有多样性。通常检查两个逻辑关系是否“相等”的办法是看他们的真值表是否完全相同。

5 1. 真值表 列出输入变量的各种取值组合及其对应输出逻辑函数值的表格称真值表。 列 真 值 表 方 法 (1)按 n 位二进制数递增的方式列 出输入变量的各种取值组合。 (2) 分别求出各种组合对应的输出 逻辑值填入表格。

6 　　表示输出函数和输入变量逻辑关系的表达式。又称逻辑表达式，简称逻辑式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。
2. 逻辑函数式 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。 真值表 逻辑式 例如 ABC 1 Y C B A 逻辑式为

7 由逻辑符号及相应连线构成的电路图。 3. 逻辑图 例如 画 　的逻辑图 反变量用非门实现 与项用与门实现 相加项用或门实现 运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。 根据逻辑式画逻辑图的方法: 将各级逻辑运算用 相应逻辑门去实现。

8 2.4.2 逻辑函数的两种标准形式 标准形式：最小项表达式、最大项表达式
一、最小项的定义和性质 1、定义： 　　 n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个乘积 项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量且每个变量在该与项（乘积项）中 (以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最小项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。

9 2. 最小项的基本性质 (1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为 1， 而其余各种变量取值均使其值为 0。 三 变 量 最 小 项 表 1 ABC m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0 A B C (2) 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的同一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。 (4) 对于变量的同一组取值，全体最小项的和为 1。

10 3. 最小项的编码 （1）最小项用m表示，用十进制数作最小项的下标号，编号的方法是：将最小项的原变量当作1，反变量当作0，得一组二进制数，相应的十进制数就是最小项的编号。 （2） 对于任一个最小项，只有一组变量取值可使其值为1。 实际上，为书写方便，我们常以 来表示一个最小项，其中i 即为使其值为1的那组变量组合的值。 如：最小项 ABC，即记为m6

11 4. 最小项的表达式 （又称与—或表达式） （1）利用A=A+A消去多余的项。 （2）利用

12 A（B ＋ B ） B C （A ＋ A ） AB（ C＋C ） AB（ C＋C ）
例 = m7＋m6＋m3＋m5 例：F ＝ A ＋ B C ＝ ＋ A（B ＋ B ） B C （A ＋ A ） ＝ A B ＋ A B ＋ A B C ＋ A B C ＝ ＋ ＋ A B C ＋ A B C AB（ C＋C ） AB（ C＋C ） ＝A B C＋A B C＋A B C＋A B C ＋A B C ＝m7 ＋m6 ＋m5 ＋m4 ＋m3 ＝  m（3，4，5，6，7）

13 例： 将 化成标准型表达式 先整理为一般与或式

14 二、最大项的定义和性质 1、定义： 在逻辑函数中，如果一个或项包含该逻辑函数的全部变量且每个变量在该或项（和项）中 (以原变量或反变量）只出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最大项，也称为 n 变量逻辑函数的最大项。

15 2. 最大项的基本性质 (1) 对于变量的任意一组取值，只有一个最大项的值为 0。 (2) 不同的最大项，使其值为 0 的那组变量取值也不同。 对于变量的同一组取值，任意两个最大项逻辑或的结果 为 1。 (4) 对于变量的同一组取值，全体最大项逻辑与的结果为 0。 P32表2.4.4

16 3. 最大项的编码 最大项用M表示，用十进制数作最大项的下标号，编号的方法是：将最大项的原变量当作0，反变量当作1，得一组二进制数，相应的十进制数就是最大项的编号。 （其表达式又称或—与表达式） 4. 最大项与最小项的关系 相同编号的最小项和最大项存在互补关系，即

17 任何一个函数两种标准式中所含的最小项 m i 、最大项 Mj 的编号i 和j 是互不重复而相互补充的。注：n 变量共有 2n 个不重复的编号，最小项和最大项的编号应从 0 至（2n－1）。
如：F ＝ A＋BC ＝  m（3，4，5，6，7） ＝  M（0，1，2）

18 由若干个最小项之和表示的函数 F ，其反函数可用等同个对应的最大项之积来表示。
如：F ＝ A＋BC ＝  M（3，4，5，6，7） ＝  m（0，1，2） 例题；P33，2-4-5由表2-4-5真值表写出最小项表达式和最大项表达式。

19 　　逻辑函数展开成最大项表达式 　　方法：反复利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)进行变换。任何逻辑函数都有惟一的最大项表达式。

20 【例】 写出函数 的标准或与表达式。 解: 一个或项如果缺少一个变量，则生成两个最大项；一个或项如果缺少两个变量，则生成四个最大项；如此类推，一个或项如果缺少n个变量，则生成2n个最大项。 由真值表求函数的标准或与表达式时，找出真值表中函数值为0的对应组合，将这些组合对应的最大项相与即可。

21 2.5逻辑函数的公式化简法 2.5.1逻辑函数的最简表达式 一、化简逻辑函数的意义
化简的目的：找出逻辑函数的最简表达式。最常用的是与-或表达式。 判断最简与-或表达式的标准： （1）乘积项（与项）的个数最少。 （2）每个乘积项中变量数最少。

22 二、逻辑函数的常见表达形式 给定真值表，可以有不同的表达式： ABC F 000 001 1 010 011 100 101 110 111
001 1 010 011 100 101 110 111 与或式 标准与或式 或与式 标准或与式 与非－与非式 或非－或非式 与或非式

23 化简逻辑函数的工具和简化标准 代数 两个基本工具 卡诺图 门的种类 门的个数 每门所需输入端数 化简的标准 最简与或式、最简或与式
最简与非－与非式、最简或非－或非式 最简与或非式 最终公式形式

24 2.5.2逻辑函数的公式化简法 一、公式化简的方法 又称代数化简法，利用逻辑代数中的基本定律和常用的公式消去逻辑函数中多余的乘积项和多余变量，从而使其成为最简的与-或表达式。 常用方法：并项法、吸收法、消去法、配项法。

25 ① 合并项法：利用合并律 ② 吸收法：利用吸收律 ③ 消除法：利用补吸收律 去除多余因子 ④ 配项法：利用添加项规则 增加一些配项再化简

26 ⑤ 对偶法化简或与式 化简 作对偶式 立即有 所以 代数法进行逻辑函数的化简是以上各种基本方法的综合应用 要求熟练掌握逻辑代数的公式和运算规则 化简过程综合性强、技巧性强而规律性不强 最后结果是否是最简的结果并不一目了然

27 书上的例子：P36

28

29 若干化简例 解1: 吸收律反用 合并律 解2: 补吸收律

30 解: 补吸收律 吸收律 合并律反用 ① 添加项 ② 添加项

31 解: ① ② 作对偶变换 ③ 受上面解法的启发，还可作反演变换来化简

32 其它题解例 1. 设 证 解1: 先化为仅有与或非表示的公式（受限公式），再作对偶变换并整理 解2: 灵活运用异或性质

33 其它题解例 A B C F G 1 2、证明 解1: 真值表 左边＝F，右边＝G 左边＝右边，原题得证 解2: 公式法，利用添加项 添加项

34 总结：公式法化简 要求熟练运用逻辑代数中的基本定律和常用公式 掌握化简的常用技巧 多做练习，积累经验

35 2.6逻辑函数的卡诺图化简法 2.6.1用卡诺图表示逻辑函数 一、最小项卡诺图的组成 1、相邻最小项：(简称相邻项）
　　两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。 相邻最小项重要特点： 两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。 例如 三变量最小项 ABC 和 ABC

36 2、最小项的卡诺图表示 B A 例如 ABC+ABC =AB 将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示，并且使相邻最
小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称 为 n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。卡诺图是真值表的 另外一种表现形式，具有唯一性。 变量名 输 入 输 出 A B F 1 1 m3 m2 m1 m0 A B B变量可能的取值 1 A变量可能的取值 1 两变量逻辑关系的真值表 两变量逻辑关系的卡诺图

37 n 个变量对应的K图有 2n 个小方格，每个小方格对应一个最小项。

38 二 变 量 卡 诺 图 A B 1 A B 三 变 量 卡 诺 图 A BC A B B B AB 11 10 1 2 3 m0 m1 000 m0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 6 7 5 4 2 3 1 001 m1 m3 m2 m4 m7 m6 m2 m3 m5 以循环码排列以保证相邻性 变量取 0 的代以反变量 取 1 的代以原变量 AB CD 00 01 11 10 四 变 量 卡 诺 图 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10

39 AB CD 00 01 11 10 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 AB CD 同一行最 左与最右 方格相邻 变量取 0 的代以反变量 取 1 的代以原变量 同一列最 上与最下 方格相邻 卡诺图特点： 循环相邻性 相邻项在几何位置 上也相邻

40 如何写出卡诺图方格对应的最小项？ 已知最小项如何找相应小方格？ 原变量取 1，反变量取 0。 例如 1 1 AB CD 00 01 11 10 ？

41 任何一个函数-------最小项表达式----卡诺图 1、逻辑函数的标准与-或表达式
二、用卡诺图表示逻辑函数 任何一个函数 最小项表达式----卡诺图 1、逻辑函数的标准与-或表达式 　　每一个与项都是最小项的与 - 或逻辑式 称为标准与 - 或式，又称最小项表达式。 为了用卡诺图表示逻辑函数，通常需要先求得真值表或者标准与 - 或式或者与 - 或表达式。因此，下面先介绍标准与 - 或式。 　　任何形式的逻辑式都可以转化为标准 与-或式，而且逻辑函数的标准与 - 或式 是唯一的。

42 [例] 试画出函数 Y = ∑m (0,1,12,13,15) 的卡诺图 已知 标准 与或 式画 函数 卡诺 图 解： (1) 画出四变量卡诺图 (2) 填图 AB CD 00 01 11 10 逻辑式中的最小项 m0、m1、m12、m13、m15　对 应的方格填 1，其余不填。 1 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10

43 P40例2.6.1 用卡诺图表示逻辑函数。 Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,4,6,10,11,14,15) 1、画四变量的卡诺图
2、将最小项填入卡诺图， 有最小项的方格填1，没有 最小项的方格填0。

44 2、逻辑函数为非标准与-或表达式，将逻辑函数变换为最小项表达式后再填写卡诺图。
例2.6.2P41 变换最小项：

45 由于采用传统的方法填写卡诺图比较烦琐，所以常可以根据逻辑函数中的与项填写卡诺图：
（1）与项中的原变量用1表示，反变量用0表示。 （2）与项中的变量在卡诺图左侧时，作相应的横向虚线，上方有同一与项变量时，作相应的纵向虚线，它们相交的方格就为所求的最小项。

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47 3、逻辑函数为真值表与卡诺图的对应 [例] 已知逻辑函数 Y 的 真值表如下，试画 出 Y 的卡诺图。 解：(1) 画 3 变量卡诺图。 已
对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填 1，其余不填。 A B C Y 1 m0 m2 m4 m6 A BC 1 11 10 1 6 7 5 4 2 3 1

48 2.6.2用卡诺图化简逻辑函数 一、化简依据： 最小项的循环相邻的特性，在卡诺图上几何位置相邻的最小项逻辑上也是项邻的，可以合并项邻的最小项，消去一个互非的变量。 二、化简规律：

49 　　2 个相邻最小项有 1 个变量相异，相加可以消去这 1 个变量，化简结果为相同变量的与；
　　4 个相邻最小项有 2 个变量相异，相加可以消去这 2 个变量，化简结果为相同变量的与； 　　8 个相邻最小项有 3 个变量相异，相加可以消去这 3 个变量，化简结果为相同变量的与； …… 　　2n 个相邻最小项有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量，化简结果为相同变量的与。 消 异 存 同

50 (1) 2个相邻的最小项(最大项)结合， 可以消去1个取值不同的变量而合并为1项

51 (2) 4个相邻的最小项(最大项)结合， 可以消去2个取值不同的变量而合并为1项

52 (3) 8个相邻的最小项(最大项)结合，可以消去3个取值不同的变量而合并为1项

53 2、同一个1方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增加的包围圈中必须有原来没有被圈过的1方格。
三、用卡诺图化简逻辑函数 原则： 1、每个包围圈内相邻1方格的个数一定是 个 2、同一个1方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增加的包围圈中必须有原来没有被圈过的1方格。 3、包围圈中相邻1方格的个数尽量多。（消去的变量多） 4、包围圈的个数尽量少。（逻辑函数中与项少） 5、注意卡诺图的循环邻接特性。（同一行的最左和最右方格中的最小项项邻，同一列的最上和最下方格中的最小项项邻）

54 A B 1 ①　合并律在卡诺图上的表现 推广一下 1 00 01 11 10 BC A 规则1：圈1合并 将逻辑值为1的相邻最小项圈起来合并

55 A B 1 ②　吸收律在卡诺图上的表现 推广一下 BC A 1 00 01 11 10 规则2：重复圈1 合并中最小项可以重复被圈

56 ④ 卡诺图化简方法的逻辑术语：在卡诺图中寻找一个由实质本源蕴含项构成的最小覆盖
BC A 1 00 01 11 10 AB ③　添加项定理在卡诺图上的表现 规则3：保证独立项 每个合并圈中至少要有一个独立最小项 ④　卡诺图化简方法的逻辑术语：在卡诺图中寻找一个由实质本源蕴含项构成的最小覆盖 4. 卡诺图化简逻辑函数为最简与或式的方法 A. 画出逻辑函数的卡诺图 B. 合并最小项，即将相邻的为1的方格圈成一组。 C. 将所有包围圈对应的乘积项相加。

57 X X 强调 包围圈内的方格数一定是2i个，且包围圈必须呈矩形 循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻
同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原包围圈未曾包围的方格 X X 包围圈中的方格数要尽可能多，包围圈的数目要尽可能少

58 [例] 用卡诺图化简逻辑函数 Y(A,B,C,D)=∑m (0,2,5,7,8,10,12,14,15) 解：(1)画变量卡诺图 (2)填卡诺图 AB CD 00 01 11 10 (3)画圈 4 个角上的最小项循环相邻 1 1 1 1 消 1 个剩 3 个 1 1 1 消 2 个剩 2 个 1 1 (4)求最简与或式 Y=

59 例 2 将逻辑函数 1 1 1 1 1

60 [例] 用卡诺图化简逻辑函数 0011 m3 0100 m4 AB CD 00 01 11 10 解：(1)画变量卡诺图 (2)填图 1 要画吗？ 1 1 (3)画圈 1 1 (4)化简 Y =

61 [例] 已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最
简与或式。 AB CD 00 01 11 10 1 11 1 0 方格很少且为相邻项，故用圈 0 法先求 Y 的最简与或式。 解：

62 2.6.3 用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数 一、约束项、任意项和无关项
没有确定逻辑值的项称为无关项，相应的真值表称为不完全定义真值表，细分为约束项和任意项 什么叫无关项： 约束项: 逻辑问题中有些变量的组合受到约束 逻辑问题中有些变量的组合对函数的取值无影响 任意项: 处理方法： 1、填函数的卡诺图时在无关项对应的格内填代表符号如“Φ”、“d”或“×”。 2、化简时无关项可根据需要视为“1”或“0”，目标是使函数达到最简。

63 含无关项的逻辑函数化简举例 用卡诺图化简逻辑函数 1、画出逻辑函数的卡诺图 2、化简逻辑函数 BD BC A F=A+BC+BD
化简时可根据需要视为“1”或“0”，使函数化到最简。 2、化简逻辑函数 BD BC A F=A+BC+BD

64 P49例2.6.9

65 逻辑代数的基本公式和运算规则 逻辑函数及其表示方法 逻辑函数的公式化简法 4、逻辑函数的卡诺图化简法 要求理解：最小项和相邻项的意义；最大项与最小项关系及性质；任意项、约束项、无关项的概念。掌握：逻辑代数中的基本逻辑运算、基本定律、基本公式。牢固掌握：逻辑函数的公式法和卡诺图法化简。

66 本章小结 分析数字电路的数学工具是逻辑代数，它的 定律有的和普通代数类似，如交换律、结合 律和第一种形式的分配律；但很多与普通代
数不同，如吸收律和摩根定律。须注意：逻 辑代数中无减法和除法。

67 逻辑函数和逻辑变量的取值都只有两个， 即 0 或 1。须注意：逻辑代数中的 0 和 1 并 不表示数量大小，仅用来表示两种截然不 同的状态。 正逻辑体制规定高电平为逻辑 1、低电平为 逻辑 0；负逻辑体制则规定低电平为逻辑 1、 高电平为逻辑 0。未加说明则默认为正逻辑 体制。

68 基本逻辑运算有与运算(逻辑乘)、或运算(逻辑加) 和非运算(逻辑非)3 种。常用复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算和同或运算。
Y=A·B 或 Y=AB 若有 0 出 0 若全 1 出 1 Y=A＋B 若有 1 出 1若全 0 出 0

69 与非运算 或非运算 与或非运算 有 0 出 1;全 1 出 0 有 1 出 0;全 0 出 1 相异出 1 相同出 0 相同出 1相异出 0 异或运算 同或运算

70 逻辑函数常用的表示方法有：真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图。
不同表示方法各有特点，适宜不同的应用。 　　真值表通常用于分析逻辑函数的功能、根据逻辑功能要求建立逻辑函数和证明逻辑等式等。 　　逻辑式便于进行运算和变换。在分析电路逻辑功能时，通常首先要根据逻辑图写出逻辑式；而设计逻辑电路时需要先写出逻辑式，然后才能画出逻辑图。 　　卡诺图主要用于化简逻辑式。 　　逻辑图是分析和安装实际电路的依据。

71 真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图之间可相互转换
(1)按 n 位二进制数递增的方式列出输入变量的各 种取值组合。 (2)分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。 (1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。 真值表 逻辑式 实用中通常先由真值表画卡诺图，然后 应用卡诺图化简法写出简化表达式。

72 逻辑式 卡诺图 (1)应用摩根定律和分配律等求出与或表达式。 (2)根据变量数 n 画出变量卡诺图。 (3)根据与或式填图。 逻辑式 逻辑图 将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。 逻辑图 逻辑式 根据电路逐级写出相应逻辑运算。

73 化简逻辑函数的目的是为了获得最简逻辑式，从而使逻辑电路简单，成本低、可靠性高。
不同形式的逻辑式有不同的最简式，求最简式的一般方法是：先求最简与或式，然后变换成所需的最简形式。 最简与或式标准 (1)与项的个数最少 (2)每个与项中的变量数最少 最简与非式标准 (1)非号个数最少 (2)每个非号中的变量数最少

74 逻辑函数化简方法主要有代数法和卡诺图法。
代数化简法可化简任何复杂的逻辑函数，但需要一定的技巧和经验，而且不易判断结果是否最简。卡诺图化简法直观简便，易判断结果是否最简，但一般用于四变量以下函数的化简。 最小项特点是：包含全部变量，且每个变量在 该乘积项中(以原变量或反变量形式)只出现 一次。若两个最小项只有一个变量互为反变 量，其余变量均相同，则称为相邻最小项。

75 卡诺图是按照使相邻最小项在几何位置上也相
邻且循环相邻这样的原则排列得到的方格图。 因此卡诺图具有下面的特点：2n 个相邻最小项 有 n 个变量相异，相加可以消去这 n 个变量， 化简结果为相同变量的与。 卡诺图化简法步骤 画函数卡诺图 将各圈分别化简 对填 1 的相邻最小项方格画包围圈 将各圈化简结果逻辑加

76 画包 围圈 规则 包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格， 且必须成方形。 先圈小再圈大，圈越大越是好； 1 方格可重复圈，但须每圈有新 1； 每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。 无关项有约束项和随意项两种情况，其取值 对逻辑函数值没有影响。因此，化简时应视 需要将无关项方格看作 1 或 0，使包围圈最 少而且最大，从而使结果最简。