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数学竞赛 方程整数解 方 法 策 略
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一、不定方程的整数解 一般地,不定方程有无数组解。但是,若加上限制条件如整数等,就可以求出确定的解。
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1.因式分解法 例1.求方程 的整数解。
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1.因式分解法 例1.求方程 的整数解。 , , 分析: , , , 故原方程的整数解由下列方程组确定: , ,
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2.字母分离法 例2.求方程 的正整数解。
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2.字母分离法 的正整数解。 例2.求方程 分析: ,所以x=3,进一步求得y=1 由18-5x>0得0<x<
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3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。
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3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析: 以x为主元,将方程整理为 , ,
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3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析: 以x为主元,将方程整理为 因x是整数,则 , ,
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3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析: 以x为主元,将方程整理为 因x是整数,则 解得 所以整数y=0,1,2,3,4,5.
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3.选取主元法 例3.求方程 的所有整数解。 分析: 以x为主元,将方程整理为 因x是整数,则 解得 所以整数y=0,1,2,3,4,5.
进一步求得只有两组解:
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4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 , ,
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4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析:化简得 , , , ,
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4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析:化简得 因为x,y都是正整数,所以可设 , , 因此原方程变形为 , ,
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4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析:化简得 因为x,y都是正整数,所以可设 , , 因此原方程变形为 , , 解得
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4.转化法 例4.求方程 的正整数解。 分析:化简得 因为x,y都是正整数,所以可设 , , 因此原方程变形为 , , 解得 进一步求得
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二、含参数的二次方程的整数解 这类问题涵盖了一元二次方程的相关理论,整数的性质,融合了丰富的数学思想方法,备受命题者的青睐。
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(一)从判别式入手 当Δ=m2时,直接求方程的解 例1. 已知方程 (其中a为非负整数)至少有一个整数根,求a的值。 ,
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(一)从判别式入手 当Δ=m2时,直接求方程的解 例1. 已知方程 (其中a为非负整数)至少有一个整数根,求a的值。 分析: ,
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(一)从判别式入手 当Δ=m2时,直接求方程的解 例1. 已知方程 (其中a为非负整数)至少有一个整数根,求a的值。 分析: ,故 ,
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(一)从判别式入手 当Δ=m2时,直接求方程的解 例1. 已知方程 (其中a为非负整数)至少有一个整数根,求a的值。 分析: ,故 ,
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(一)从判别式入手 当Δ=m2时,直接求方程的解 例1. 已知方程 (其中a为非负整数)至少有一个整数根,求a的值。 分析: ,故
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2.当Δ≠m2时,分两种情况 (1)利用参数的范围,直接求解。 例2. 设m是整数,且4<m<40,方程
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2.当Δ≠m2时,分两种情况 (1)利用参数的范围,直接求解。 例2. 设m是整数,且4<m<40,方程
分析:
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2.当Δ≠m2时,分两种情况 (1)利用参数的范围,直接求解。 例2. 设m是整数,且4<m<40,方程
分析: 为完全平方数,故2m+1也为完全平方数,
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2.当Δ≠m2时,分两种情况 (1)利用参数的范围,直接求解。 例2. 设m是整数,且4<m<40,方程
分析: 为完全平方数,故2m+1也为完全平方数,因为m是整数,且4<m<40,所以9<2m+1<81,
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2.当Δ≠m2时,分两种情况 (1)利用参数的范围,直接求解。 例2. 设m是整数,且4<m<40,方程
分析: 为完全平方数,故2m+1也为完全平方数,因为m是整数,且4<m<40,所以9<2m+1<81,即2m+1=25或49,所以m=12或24.
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(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。
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(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得
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(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得 所以
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(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得 所以 . 当k=-1时,x=1;
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(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得 所以
例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得 所以 . 当k=-1时,x=1;当k=0时,x=1或3;
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当k=-1时,x=1;当k=0时,x=1或3;当k=1时,整数根x不存在;当k=2时,x=1或4;当k=3时,x=3.
(2)用Δ≥0,求出参数的范围 例3. 已知方程 的根都是整数,求整数k的值及方程的根。 分析: ,解得 所以 . 当k=-1时,x=1;当k=0时,x=1或3;当k=1时,整数根x不存在;当k=2时,x=1或4;当k=3时,x=3.
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(3)设Δ=k2 例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积?
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即
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例4. 当x为何有理数时,代数式 的值恰为两个连续正偶数的乘积? 分析:设两个连续正偶数为k,k+2,则 即 解(1)得k=8,于是x=2或 解(2)得k=46,于是x=-17或
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(二)从韦达定理入手 1.利用“两根为整数,其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k,使关于x的二次方程 的根都是整数。 ,
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(二)从韦达定理入手 1.利用“两根为整数,其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k,使关于x的二次方程 的根都是整数。
分析:设方程的两根为x1,x2 ,则 ,
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(二)从韦达定理入手 1.利用“两根为整数,其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k,使关于x的二次方程 的根都是整数。
分析:设方程的两根为x1,x2 ,则 ,
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(二)从韦达定理入手 1.利用“两根为整数,其和、积必为整数” 例5. 求满足如下条件的整数k,使关于x的二次方程 的根都是整数。
分析:设方程的两根为x1,x2 ,则 故 ,所以k=0或2 ,
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 ;
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 ;
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ;
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ;
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ; 因为p,q均不为2,所以必为奇数,故 均为整数,
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ; 因为p,q均不为2,所以必为奇数,故 均为整数,
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ; 因为p,q均不为2,所以必为奇数,故 均为整数, 若 为奇数,
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ; 因为p,q均不为2,所以必为奇数,故 均为整数, 若 为奇数,则
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例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程
2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 分析:设方程的两个质数根为p,q,则 两式相加得 ; 因为p,q均不为2,所以必为奇数,故 均为整数, 若 为奇数,则 从而 为合数,矛盾。
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2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 因此 为偶数,同理 也为偶数,所以 均为整数,
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2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 因此 为偶数,同理 也为偶数,所以 不妨设 ,则 均为整数, 当 时, p=3,q=499,符合题意;当 时, p=19,q=99,q为合数,不合题意。
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2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 因此 为偶数,同理 也为偶数,所以 不妨设 ,则 均为整数, 当 时, p=3,q=499,符合题意;当 时, p=19,q=99,q为合数,不合题意。
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2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 因此 为偶数,同理 也为偶数,所以 不妨设 ,则 均为整数, 当 时, p=3,q=499,符合题意;当 时, p=19,q=99,q为合数,不合题意。
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2.从根与系数的关系式中消去参数 例6. a是大于零的实数,已知存在唯一的实数k,使得关 于x的二次方程 的两个根均为质数,求a的值。 因此 为偶数,同理 也为偶数,所以 不妨设 ,则 均为整数, 当 时, p=3,q=499,符合题意;当 时, p=19,q=99,q为合数,不合题意。
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
65
(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
又由 得 ;所以 ,c<5
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
又由 得 ;所以 ,c<5 若c=1,则0<b<6且b2 20,得b=5;
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
又由 得 ;所以 ,c<5 若c=1,则0<b<6且b2 20,得b=5;若c=2,则0<b<7且b2 40,无整数解;
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(三)联想二次函数 例7.已知b,c为整数,方程 的两根都大于-1且小于0,求b和c的值。 分析:当x=0时, ,有c>0;
又由 得 ;所以 ,c<5 若c=1,则0<b<6且b2 20,得b=5;若c=2,则0<b<7且b2 40,无整数解; 若c=3,则0<b<8且b2 60,无整数解;若c=4,则0<b<9且b2 80,无整数解;
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(四)变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a,使得方程 至少有一个整数解。 , ,
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(四)变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a,使得方程 至少有一个整数解。 分析: , ; ,
71
(四)变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a,使得方程 至少有一个整数解。 分析: ,因为a是正整数,则 , ; ,
72
(四)变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a,使得方程 至少有一个整数解。 分析: ,因为a是正整数,则 , ; , 解得
73
(四)变更主元法 例8.试求所有这样的正整数a,使得方程 至少有一个整数解。 分析: ,因为a是正整数,则 解得 故
; , 解得 故 进一步求得a=1,3,6,10
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(五)数形结合 的最大整数根为 例9.以关于m的方程
直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 求 的值。 .
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 ,
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . ,
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, ,
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,故z=BC 故z=3,2,1.
80
直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,故z=BC 故z=3,2,1. 当z=3时,
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,故z=BC 故z=3,2,1. 当z=3时, ,所以
82
直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,故z=BC 故z=3,2,1. 当z=3时, ,所以 可得适合题意的解为
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直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数,
例9.以关于m的方程 的最大整数根为 直径作⊙O, P为⊙O外一点,过P作切线PA和割线PBC,如图,A为切点,这时发现PA、PB、PC都是整数,且PB、BC都不是合数, 的值。 求 分析:设设方程的两个质数根为m1,m2,则 消去k得 ,整理得 , . 因为⊙O的直径是方程的最大整数根,所以m的最大值为4, , 设PA=x,PB=y,BC=z,则x、y、z都是正整数,故z=BC 故z=3,2,1. 当z=3时, ,所以 可得适合题意的解为 当z=1和z=2时,不合题意。 所以
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a.
85
(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4 , ,
86
(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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(六)其他类型 例10.求关于x的二次方程 有整数根的所有整数a. 分析:(1)当a=-1时,-2x-2-6=0,此时x=-4
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