第一节 运动分析概述 第二节 描述点的一般运动的方法 第三节 刚体的基本运动 第四节 问题讨论与说明

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1 第一节 运动分析概述 第二节 描述点的一般运动的方法 第三节 刚体的基本运动 第四节 问题讨论与说明
第八章 点的一般运动与刚体的基本运动 第一节 运动分析概述 第二节 描述点的一般运动的方法 第三节 刚体的基本运动 第四节 问题讨论与说明

2 第一节 运动分析概述 一、运动分析的内容 二、运动分析的目的、意义 三、运动分析的模型及基本形式
运动分析是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质，提出对物体进行运动分析的一般方法。 1、对于既定的运动，选择合适的参量进行数学描述，即列写运动方程。 2、研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度与角加速度等。 3、研究运动分解与合成的规律。 二、运动分析的目的、意义 一是作为动力学的基础；二是作为机械设计和各专业专业课基础 三、运动分析的模型及基本形式 （一）运动分析的基本模型 点：不计几何形状和尺寸的理想化物体。 刚体：具有确切的形状和大小，并且在外力作用永不变形的物体。 在研究空间站的轨道运动时，可以将其简化为点去研究。在研究空间站的姿态运动时，必需考虑它的大小及形状，即必需作为具有一定大小和形状的刚体研究。

3 四、运动学与工程运动分析 （二）运动分析基本形式 1、点运动形式 分为直线运动和曲线运动 2、刚体的运动形式
平移：刚体运动中，其上任意直线永远平行于自己的初始位移。（如沿直线运动的活塞B） 定轴转动：刚体运动中，其上或外延伸部分有一直线始终保持不动。（如曲柄OA绕O点连杆AB绕B点的运动） 平面运动：刚体运动中，其上各点到某一固定平面的距离保持不变。（如右图OA、AB、B在OAB平面的运动） 定点转动：刚体运动中，其上始终有一点永远保持不动。（例如，陀螺的运动） 一般运动：刚体最一般的运动。 我们所讨论的是刚体的平移运动、定轴转动、平面运动。 四、运动学与工程运动分析 回目录

4 第二节 描述点的一般运动的方法 一、矢径法 设动点M在空间作曲线运动，任选一固定点O作为参考点，则点M在任一瞬时的位置可用其位置矢量，即O点到点M的矢径确定，即为点的矢量形式的运动方程 其速度为矢径对时间变化率，即 点的加速度为速度对时间的变化率，即

5 二、直角坐标法 设动点M在空间运动，通过固定点O 建立一直角坐标系，如图，则点M在任一瞬时间的位置可以用它的坐标（x、y、z）唯一确定。在点M 运动时，其坐标是时间t的连续函数，即得到直角坐标法描述点运动的运动方程 其速度为 将速度向三个坐标轴方向分解，得速度的三个分量为

6 加速度为 加速度在三个坐标轴上的分量为

7 三、自然法 以动点的轨迹作为曲线坐标来确定点的位置的方法称为自然法。 （一）运动方程 弧坐标随时间变化的函数，即 （二）速度 又因为 所以
即点的速度的大小是弧坐标对时间的一阶导数，方向沿轨迹的切线方向。

8 （三）加速度 根据加速度定义有 可证明： 加速度表达式中右端第一项表示速度方向不变，仅由于速度大小变化引起的速度变化率。它是加速度沿切线方向的一个分量，称为切向加速度，即 右端第二项表示速度大小不变，仅由于速度方向所改变的速度变化率，它是加速度沿法线方向的一个分量，称为法向加速度，即 所以，全加速度为

9 例 设动点 M 沿螺旋线 z=2sin4t、y=2cos4t、z=4t 运动。求在任一瞬时的速度、加速度的大小及轨迹的曲率半径。（x、y、z 的单位为 m，时间t的单位为 s）
解： 已知动点 M 的直角坐标形式的运动方程，可求点 M 的速度在各坐标上的投影为 点 M 的速度大小为 点 M 的加速度在各坐标轴上的投影为

10 点 M 的加速度的大小为 又因为 所以 回目录

11 第三节 刚体的基本运动 一、刚体的平行移动 刚体在运动过程中，如果其体内任一直线始终保持与初始位置平行，这种运动称为平行移动。
如右图，平台在平行双曲柄机构带动下的运动，其体内任一直线始终与原来位置平行。 运动规律 在作平动的刚体上任选两点 A、B，设其矢径分别为rA、rB，得其关系 将等式两端对时间 t 求导，因为 所以可得 再对时间 t 求导，可得 结论：刚体平动时，其上各点的轨迹完全相同，切在同一瞬时，其上各点的速度和加速度完全相同。 因此，刚体作平动时，可用其形心的运动来代替刚体的运动，可以归结为点的运动研究。

12 二、刚体的定轴转动 刚体定轴转动时，体内或其延拓部分始终有一条直线保持不动。如右图的z轴。这一直线称为转轴。 （一）运动方程
将一平面Ⅰ固定在地面不动，再选一平面Ⅱ 与转动刚体固联在一起，平面Ⅱ 与刚体共同转动，所以平面Ⅱ 的位置可确定刚体的转动位置。所以平面Ⅱ 与固定平面Ⅰ 的夹角φ可以确定刚体的位置。刚体转动时转角φ随时间变化，是时间t的单值连续函数，故可得刚体的转动方程为 单位： rad 正负：从z 轴的正向看，沿逆时针转动为正；反之为负。 （二）角速度 转角φ随时间t的变化率，即角速度ω。是转角φ对时间的一阶导数 单位 ：rad/s 工程上有：

13 （三）角加速度 角速度ω随时间t的变化率，即角加速度ε。是角速度ω对时间的一阶导数，转角φ对时间的二阶导数 正负规定：与角速度方向一致时为正，刚体作加速转动；与角速度方向相反时为负，作减速转动。 （四）刚体内各点的速度与加速度 点M 的运动方程为 任一瞬时，点 M 的速度 v 的大小为 其方向沿轨迹的切线方向，即垂直与半径OM，指向与ω转向一致。 任一瞬时，点 M 的切向加速度为 其方向沿轨迹的切线方向，指向与ε转向一致。

14 点 M 的法向加速度为 其方向沿指向圆心。 点 M 的全加速度为 其与OM 的夹角为

15 例 如图搅拌机的主动轮Ⅰ同时带动齿轮Ⅱ、Ⅲ 转动，搅杆BAC 用销钉A、B与齿轮Ⅱ、Ⅲ 连接。设主动轮的转速 n=950r/min，AB=O2O3，O2A=O3B=25cm，各轮的齿数分别为Z1=20，Z2=Z3=50。 求：搅拌杆上点C 的运动轨迹和速度大小。 解： 根据题意，AB=O2O3，O2A=O3B，说明：AB与O2O3相平行，搅拌杆BAC在工作过程中将始终与其初始位置平行，其运动为平动。因此搅拌杆上点 C 的轨迹和速度应与点 A 的相同。点 A 的轨迹是一半径为25cm的圆。 齿轮Ⅰ上的M1 点和齿轮Ⅱ 上点M2 的速度相等即 由于 所以 由于齿轮在啮合圆上的齿距相等，它们的齿数与半径成正比 根据上式可得

16 例 圆轮绕定点O转动，并在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳子下端悬一物体A。设该轮的半径 R=0
例 圆轮绕定点O转动，并在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子，绳子下端悬一物体A。设该轮的半径 R=0.2m，其转动方程为                        ， 角的单位为rad，时间t的单位为s。 求：当 t =1s时，轮缘上任一点M 的速度和加速度及物体A的速度和加速度。 解：由转动方程可求圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度 当 t =1s时，有 因此，轮缘上任一点M的速度和加速度为

17 M 点的全加速度及其偏角为 A点的速度和加速度分别和轮缘上点M点的速度和加速度相等，即 回目录

18 第四节 问题讨论与说明 一、与物理学中运动学的比较 二、建立点的运动方程与研究点的运动几何性质 三、描述点运动方法的比较
在物理学中已有的一些特殊运动形式的基础上，建立全面、系统和比较深入的点和刚体模型的运动形式。 二、建立点的运动方程与研究点的运动几何性质 建立点的运动方程与研究点的运动几何性质，二者之间既有密切联系，又有一定的区别。 点的运动方程完全包括了点的运动几何性质。但是如果有了运动方程，不作物理上的分析，那还只停留在数学公式上，仍不能真正的了解点的运动形象。因此，所谓“点的运动分析”，包含了这两方面内容。另外，研究点的运动形象，也可以采用其它方法而不必建立运动方程。 研究点的运动几何性质的方法：在点的运动轨迹上，画出并分析几个特定瞬时位置的v、a关系。用离散的二者关系，表达连续的运动过程。 三、描述点运动方法的比较 矢径法用变矢量及其导数描述点的运动，所得结果紧凑、简明，理论上具有概括性，切与坐标系的选择无关；在分析实际力学问题时，需将变矢量及其导数转换为标量及其导数形式。直角坐标法是一种广泛应用的方法；弧坐标法应用与轨迹已知的前提下，该法在理论上将速度矢量的大小变化率和方向变化率加以“分离”，其理论意义大于实际以赢利为目的。 四、点的运动学的两类应用问题 第一类是给定运动方程（轨迹），确定速度和加速度，或者给出约束条件，确定运动方程，进而确定速度和加速度；第二类问题是已知加速度和运动初始条件，求速度和运动方程（轨迹）。