双曲线及其标准方程（1）.

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1 双曲线及其标准方程（1）

2 一、复习引入 问题1：椭圆的定义是什么？ 平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。 问题2：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？

3 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。
二、双曲线的定义 平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。 F1,F2 ---焦点 |F1F2| ---焦距（设为2c） 设常数||MF1| - |MF2|| = 2a 注意：对于双曲线定义须抓住三点： 1、平面内的动点到两定点的 距离之差的绝对值是一个常数； 2、这个常数要小于|F1F2|； 3、这个常数要是非零常数。

4 数学实验： [1]取一条拉链； [2]如图把它固定在板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的轨迹是什么？

5 1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？
思考： 1、平面内与两定点的距离的差等于常数 2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？ 双曲线的一支 2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ 是在直线F1F2上且 以F1、F2为端点向外的两条射线 3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于 常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？ 不存在

6 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，
结论： 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时， M点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支. 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时， M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。 3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在 4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时， M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。

7 三、双曲线的标准方程 如图建立直角坐标系xOy使x轴经过点 F1、F2且点O与线段F1、F2的中点重合. 设M(x，y)是双曲线上任意一点，
|F1 F2| =2c，F1(-c,0),F2(c,0),又 设点M与F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a. 由定义知

8 由双曲线定义知 双曲线的标准方程. 说明: 1.焦点在x轴; 2.焦点F1(-c,0),F2(c,0); 3.a,b无大小关系; 4.c2=a2+b2 , c最大.

9 焦点在X 轴上的双曲线标准方程是: 焦点在y 轴上的双曲线标准方程是:

10 定义 图象 方程 焦点 a.b.c的关系 谁正谁对应

11 椭圆的标准方程： 双曲线的标准方程：

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13 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上
一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于8，求双曲线 的标准方程.

14 练习3、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点Ｐ1 ,Ｐ2的坐标分别为　　　　　　，求双曲线的标准方程．

15 y 练习5 1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 轴上的 . 双曲线
2、 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的 双曲线，则k (-1, 1) 3. 双曲线 的焦点坐标是

16 6 5. 双曲线 的焦距是6，则k= 6. 若方程 表示双曲线，求实数k的 取值范围. -2<k<2或k>5

17 x2与y2的系数的大小 x2与y2的系数的正负 c2=a2+b2 AB<0