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56《立体几何 －多面体与球》
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多面体与球 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
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要点·疑点·考点 一、多面体 1. 概念 (1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体. (3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
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2. 欧拉公式 (1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则它们的关系为V+F-E=2 (2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m 条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数 或
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二、球 1. 概念 (1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球体. (2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长(半径)的所有点的集合.
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2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r 有如下关系：
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3.球面距离 为A、B对球心的张角，R为球半 径.) 4.表面积与体积 返回
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课前热身 1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) (A) (B) (C) (D)
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( ) (A) (B) (C) (D) A 2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系式是( ) (A)2F+V= (B)2F-V=4 (C)2F+V= (D)2F-V=2 A
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3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为( )
3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面多边形的内角总和为( ) (A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200° A 4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( ) (A) (B) (C) (D)19 A
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5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬
45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( ) (A)R (B) (C) (D) A 返回
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能力·思维·方法 1. 已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱，试求该多面体的面数、顶点数和棱数.
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发 现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有 和
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2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上 的弧长等于 (R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离.
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【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关 键在于求两点的球心角的大小，利用弧长公式来求 出：L=θ•R即为所求球面距离.
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3. 设一个凸多面体有V个顶点，求证它的各面多边形 的内角总和为(V-2)•360°.
【解题回顾】此题要大胆设各面为E1、E2…EF边形， 另外要知道E1+E2+…+EF=2E才行.
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4. 三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.
【解题回顾】正如三角形的内切圆经常与面积发生关 系一样，多面体的内切球的半径也常与体积发生联系. 返回
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延伸·拓展 5. 过半径为R的球面上一点作三条两两垂直的弦MA、MB、MC. (1)求证：MA2+MB2+MC2为定值；
(2)求三棱锥M-ABC的体积的最大值. 【解题回顾】(1)MA、MB、MC两两垂直.根据球的对称性，采用补形的方法，可以把它补成一个球的内接长方体.长方体的对角线的平方就是球的直径的平方，即MA2+MB2+MC2=4R2.在做选择题、填充题时就可直接用这个结论. (2)在球中的线段计算问题，常转化为小圆半径，大圆半径及球心到截面距离来解决. 返回
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误解分析 1.在涉及球内接正方体或长方体的题目中，作出的截面一般过多面体的对角线，且对角线长为球的直径若过对棱中点作横截面，将会出错.
2.球面上两点间距离不是直线距离，也不是纬度圈上的劣弧长，而是指过这两点的球大圆上 的劣弧长，不能错啊! 返回
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再见
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