第三部分 积分(不定积分 + 定积分) 在课程简介中已经谈到, 高等数学就是微积分(微分 + 积分). 第二部分已经学习了函数的导数和微分, 这一部分内容是“积分”. 由此可见,这一部分内容在本课程中的重要地位. 积分就是讨论导数的逆问题: 给定了函数f(x),哪些函数的导数就是f(x)? “积分”包括了不定积分和定积分,它们也是每个学习高等数学的人必须掌握的内容.

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1 第三部分 积分(不定积分 + 定积分) 在课程简介中已经谈到, 高等数学就是微积分(微分 + 积分). 第二部分已经学习了函数的导数和微分, 这一部分内容是“积分”. 由此可见,这一部分内容在本课程中的重要地位. 积分就是讨论导数的逆问题: 给定了函数f(x),哪些函数的导数就是f(x)? “积分”包括了不定积分和定积分,它们也是每个学习高等数学的人必须掌握的内容. 同样,每次考试,没有“积分”的考题那就一定不是高等数学考试.

2 学习任务一 不定积分 前面已经谈到, “不定积分”是求导的逆问题, 给定了函数f(x), 哪些函数的导数就是f(x), 即

3 1. 不定积分的概念 (1) 为什么要讨论求导的逆问题？ 例(求导的逆问题) 设曲线在任意(x, y)点的切线斜率为f(x) = 2x, 求曲线的方程. Solution 设曲线方程为y = F(x).

4 根据题意知 于是 由于 , 容易知道 , 其中C为任意常数. 上述就是求导的逆问题, 当再给出一个初始条件即可得出C的值. 若曲线经过坐标原点(0, 0), 代入可得出C = 0. 若曲线经过坐标原点(0, 1), 代入可得出C = 1.

5 (2) 函数f(x)的原函数 原函数的定义 给定区间I上的函数f(x)，若存在区间I上的函数F(x), 使得 则称F(x)为f(x)的一个原函数. 原函数是积分学中的重要概念, 为了理解这个概念, 看下面的例子. 因为 , 所以sinx是cosx的原函数；因为 , 所以sinx + 1是cosx的原函数. 实际上, cosx 的所有原函数为sinx + C.

6 (3) 什么是f(x)的不定积分？ 一般地, 若F(x)为f(x)的一个原函数, 则f(x)的所有原函数为F(x) + C. 不定积分的定义 给定区间I上的函数f(x), f(x)的所有原函数就是f(x)的不定积分, 记为 其中“ ”是不定积分符号, “f(x)”称为被积函数, “dx”中的x称为积分变量, 表示将f(x)中哪个看作变量.

7 例如, 因为cosx 的所有原函数为sinx + C, 所以
因为 , 所以 例(根据不定积分的定义计算) 计算不定积分

8 Solution 被积函数为 1/x, 其定义域为：x > 0或x < 0.
当x > 0时, lnx有意义. 由于 , 所以 当x < 0时, ln(-x)有意义. 由于 所以, 综上所述, 有

9 2. 基本不定积分公式 根据不定积分的定义,很容易知道下列不定积分公式成立,需要大家熟练掌握. (1) (2) (3) (4)

10 (5) (6) (7) (8) (9)

11 例(直接利用不定积分公式) 求 Solution

12 3. 不定积分的性质 直接利用不定积分公式算出不定积分. 讨论不定积分的性质是为了不定积分的计算. 性质1
注意1 可以将上述结论推广到多个函数相加减的情况. 注意2 两个函数f(x)和g(x)相加(减)求不定积分,先分别求出每个函数的一个原函数F(x)和G(x),再分别相加(减)后,最后加一个任意常数即可.

13 性质2 例(利用不定积分的性质) 计算 Solution
注意 常数k乘以函数f(x)求不定积分, 先求出函数f(x)的一个原函数F(x), 再乘以k得kF(x)后, 最后加一个任意常数即可. 例(利用不定积分的性质) 计算 Solution

14 例(利用不定积分的性质) 计算

15 Solution 不定积分计算正确与否, 可以根据不定积分的定义进行检验. 首先, 不定积分里面必须有任意常数；其次, 不定积分求导以后必须等于被积函数.