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第八章 多元函数积分学 一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算.

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1 第八章 多元函数积分学 一 二重积分的概念及简单性质 二 二重积分的计算

2 第一节 二重积分的概念与性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结

3 一、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积 = 底面积 × 特点:平顶. 柱体体积 = ? 特点:曲顶. 曲顶柱体

4 回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积. 则 如图
xi xi+1  i y = f (x) f ( i)   其中 i[xi, xi+1], xi = xi+1  xi , 表小区间[xi, xi+1]的长, f ( i) xi表示小矩形的面积. x y

5 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法.

6 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法.

7 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法.

8 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法.

9 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法.

10 一、例 y z x z = f (x,y) D 1.求曲顶柱体的体积V.   设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体. 若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高. 如图

11 (i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn ,
每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体. z = f (x,y) 如图 z = f (x,y) y z x D Di Di

12 (ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体 可近似看作小平顶柱体.
f ( i , i) ( i , i) Di z = f (x,y) ( i , i) Di . 小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记  i = Di的面积. 则小平顶柱体的体积 = f ( i , i)  i  小曲顶柱体体积

13 (iii)因此, 大曲顶柱体的体积 分割得越细, 则右端的近似值越接近于精确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值会无限接近于精确值V. 存在

14 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.
(iv) 其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离. 如图 x y Di 其中 ( i , i) Di ,  i = Di 的面积.

15 求曲顶柱体体积的方法: 分割、取近似、 求和、取极限。

16 步骤如下: 1. 分割 2. 取近似 3. 求和 4. 取极限

17 2.求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量

18 二、二重积分的概念

19 面积元素 积分区域 被积函数 积分变量 被积表达式

20 对二重积分定义的说明:

21 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值.

22 在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D, D 则面积元素为 故二重积分可写为

23 三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1 当 k 为常数时, 性质2

24 性质3 对区域具有可加性 性质4 若 为D的面积, 性质5 若在D上 则有 特殊地

25 性质6 (二重积分估值不等式) 性质7 (二重积分中值定理)

26 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出 它们的相同之处与不同之处.

27 思考题解答 定积分与二重积分相同之处:都表示某种和式 的极限值,且此值只与被积函数及 积分区域有关.
不同的是: 定积分的积分区域为区间,被积函 数为定义在区间上的一元函数; 二重积分的积分区域为平面区域, 被积函数为定义在平面区域上的二 元函数.

28 第二节 二重积分的计算法(1) 利用直角坐标计算二重积分

29 利用直角坐标系计算二重积分 先讨论积分区域为: [X-型] X 型区域的特点: 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域 边界相交不多于
两个交点. 其中函数 、 在区间 上连续.

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31 一般地, 积分区域为: [X-型] --- 先对 y 积分,后对 x 积分的二次积分

32 如果积分区域为: [Y-型] --- 先对 x 积分,后对 y 积分的二次积分

33 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.
1. 若D既是 x—型区域, 又是 y—型区域. 比如 x y 则既可先对 x 积分, 又可先对 y 积分. 等等, 此时, 当用某次序算二重积分不好算时, 可改换积分次序, 可能好算.

34 2. (1)如果积分区域是矩形 (2)如果被积函数 f (x, y) = f1(x)·f2(y),且积分区域是矩 形区域,

35 设D:a  x  b, c  y  d. f (x, y) = f1(x)·f2(y)可积,
y x d c a b

36 比如,

37 3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使 用积分公式

38 例1 将 化为二次积分。 其中 D 由直线 围成。 解 1: 先画出积分区域 D 。 D 是 Y-型。 于是,

39 解 2: 于是,

40 例2 计算 其中 D 由直线 围成。 先画出积分区域 D 。 D 是 X-型。 于是,

41 于是,

42 例3

43 积分区域为 于是,

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45 于是,

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49 例9. 求 解:由于 是“积不出”的,怎么办? 要改换积分次序. 先画积分区域D的图形.
由积分表达式知,D: y  x  1, 0  y  1 画曲线 x=y 和 x=1,直线y=0, y=1. 如图: y x D y = x 故 原式 =

50   由例8,例9知,选择适当的积分顺序,有时能使积分变得简便,易行。在作题时,当按某一顺序积分很难,或不可行时,可改换积分顺序试一试。

51 1. x y y=x y=x2 解: 先画区域D的图形. 法1. 先对y积分.

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53 法2. 先对 x 积分. x y y=x y=x2 1 y

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55 2. 解: 先画D的图形. 先对 x 积分. x y y=x+2 y=x2 1 2

56 x y y=x+2 y=x2 1 2 所以, 原式 = 问, 若先对 y 积分, 情形怎样?

57 3. 改换 解:写出D的表达式, 画 D 的图形 改为先对x再对y的积分 y x D 2 4

58 第二节 二重积分的计算(2) 一、利用极坐标系计算二重积分 二、小结

59 一、利用极坐标系计算二重积分 面积元素

60 二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 D:

61 区域特征如图 D:

62 二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图 D:

63 二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图 极坐标系下区域的面积

64 例1 将 化为在极坐标系下的二次积分。 1) 2) 3) 4)

65 1) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为 2) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为

66 2) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为 3) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为

67 3) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为 4) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为

68 4) 在极坐标系中,闭区域 D 可表示为

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71 解:一般, 若D的表达式中含有x2+y2时,可考虑用 极坐标积分。
例4. 求 其中D:x2+y2  1 解:一般, 若D的表达式中含有x2+y2时,可考虑用  极坐标积分。 令x=rcos, y=rsin, 则 x y x2+y2  1 x2+y2  1的极坐标方程为r = 1. 由(2) D*: 0  r  1, 0    2

72 另由几何意义:

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77 二、小结 二重积分在极坐标下的计算公式

78 5 利用极坐标计算二重积分

79 D:由 所围成区域(第一象限部分)

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83 第三节 二重积分的应用

84 一、立体的体积 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积.

85 例1 计算由曲面 及 xoy 面所围的立体 体积。 设立体在 第一卦限上 的体积为 V1。 由立体的对称性,所求立 体体积 V = 4V1 。 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体,它的曲 顶为

86 立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体,它的曲 顶为 它的底为 于是,

87 所求立体的体积

88 例2 求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积。 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体, 它的曲顶为 它的底为

89 它的底为 它的曲顶为 于是,立体体积为

90 三、平面薄片的重心

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93 计算 解:D 如图, 其中D: x2+y2a2(a>0). 由于D关于x轴,y 轴都对称, 即f (x, y)也关于x轴,y轴对称.
x y x2+y2 = a2 a D1 D r = a

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95 解:这是一个在“概率论”中很重要的积分,用 通常方法无法算出.
例:计算广义积分 解:这是一个在“概率论”中很重要的积分,用  通常方法无法算出. 由广义积分定义

96 其中S: 0  y  R, 0  x  R x y x2+y2=R2 R 下用“夹逼定理”求 作D1: x2+y2  R2

97 令R+,上式两端的极限均为 故.


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