第四节 第十章 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力.

Presentation on theme: "第四节 第十章 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力."— Presentation transcript:

1 第四节 第十章 重积分的应用 一、立体体积 二、曲面的面积 三、物体的质心 四、物体的转动惯量 五、物体的引力

2 1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法: —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便

3 一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域  的立体的体积为

4 例1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 分析: 第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的交线
在xOy面上的投影, 写出所围区域 D ; 第三步: 求体积V . (示意图)

5 例1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 在点 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xOy 面上的投影为 (记所围域为D )

6 例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为

7 二、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则
(称为面积元素)

8 故有曲面面积公式 即 若光滑曲面方程为 则有

9 若光滑曲面方程为 则有 若光滑曲面方程为隐式 且 则

10 例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 出的面积 A . 解: 曲面在 xOy 面上投影为 则

11 例4. 计算半径为 a 的球的表面积. 解: 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (略)

12 三、物体的质心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别 为 由力学知, 该质点系的质心坐标 为 设物体占有空间域  , 有连续密度函数
则 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 公式 , 即:

13 将  分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 令各小区域的最大直径 即得

14 同理可得 则得形心坐标：

15 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 得D 的形心坐标: ( A 为D 的面积)

16 例5. 求位于两圆 和 之间均匀薄片 的质心. 解: 利用对称性可知 而

17 例6. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 若炉 内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的 自重, 求它的质心. 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 其坐标为 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此

18

19 四、物体的转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算.
设物体占有空间区域  , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 对 z 轴的转动惯量为 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:

20 类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量

21 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分.

22 例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量

23 例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的
转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占 域为 则 (用球坐标) 球体的质量

24 例8.求密度为 的均匀球体对于过球心的一条轴 l 的
转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球所占 域为 则 (用球坐标) 球体的质量

25 五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 其密度函数 物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为
引力元素在三坐标轴上分量为 其中 ,G 为引力常数

26 因此引力分量为 其中: 若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点 的引力分量, 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如,

27 例9. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 。 处的单位质量质点的引力. 解: 由对称性知引力

28 例10. 求半径为R的均匀球 对位于 点 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量

29 为球的质量

30 作业 P ，10 , 17 P ，3，6, 11, 13 , 14 习题课

31 备用题 设有一高度为 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时,
已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)

32 提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) 侧面方程:

33 由题意知 令 得 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.