第三十九课时 空间点、直线、平面之间的位置关系

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1 第三十九课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 第三十九课时 空间点、直线、平面之间的位置关系 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理。

2 教 材 复 习 审题要细，决不能粗心大意 1.平面的基本性质 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面
教 材 复 习 1.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(注意三个推论) 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

3 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
运算要快，决不能拖泥带水 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线. 异面直线a和b所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O分别引直线a’//a，b’//b，则把直线a’和b’所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角. 异面直线a、b所成角θ的范围： θ∈(0，π/2]

4 判断要准，决不能掉入陷阱 基 础 自 测 1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 D

5 变形要稳，决不能忙中出错 2.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是( ) D

6 答案要全，决不能丢三落四 3.下列各图是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，过四个点共面的图形是___________. ① ② ③ 解：在④选项中，可证Q点所在棱与PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面；可证①中PQRS为梯形；③中可证PQRS为平行四边形；②中如右图取A1A与BC的中点M、N，可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形.

7 【例1】已知直线a、b、c、l满足a//b//c且a∩l=A，b∩ l=B，c∩ l=C，证明四条直线a、b、c、l在同一平面内.
解题要活，决不能生搬硬套 题型一 点、线共面问题 【例1】已知直线a、b、c、l满足a//b//c且a∩l=A，b∩ l=B，c∩ l=C，证明四条直线a、b、c、l在同一平面内. 思维导图：共面问题→由a、l确定平面α→证明b、c在平面α内。 证明：∵a∩l=A，∴直线a、l确定一个平面α；又a//b，则a、b也确定一个平面β，而平面α内与平面β都过直线a与直线a外一点B，因此平面α与平面β为同一平面，因此bα，同理 cα，因此直线a、b、c、l在同一平面内.

8 变 式 演 练 会做的一定要做对，该拿的分一定拿下
变 式 演 练 1.(1)如图(1)AB为平面α的斜线，AO⊥α，且垂足为O，P为 AB上任意一点，试证：P点在平面α上的射影在OB上. (2)如图(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别为正方体相应棱的中点，求证：此六点共面.

9 证明：(1)过P点作PQ⊥α，垂足为Q，∵AO⊥平面α，∴AO// PQ，直线 AB、PQ、AO在同一平面ABO内，又平面ABO∩平面α=BO，PQ∩平面α=Q，∴Q∈BO，即P点在平面α上的射影在OB上. (2)可证MN//EH//FG，且MN、EH、FG都与MF相交，由例1可知M、N、E、F、G、H六点共面.

10 审题要细，决不能粗心大意 题型二 三点共线和三线共点问题
题型二 三点共线和三线共点问题 【例2】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点 (1)若F、G分别为BC、CD的中点，试证：EFGH为平行四边形； (2)若CF:FB=CG:GD=2，试证：EF、AC、HG相交于一点. 思维导图：证明EF、AC、HG三线共点→转化为EF与HG的交点O在直线AC上；→证明O、A、C都是平面ABC与平面ADC的公共点。

11 变 式 演 练 一或三 六或七或八 运算要快，决不能拖泥带水
变 式 演 练 2.(1)三个平面两两相交，则三个平面的交线可能有__________条，可能将整个空间划分为________________部分； 一或三 六或七或八 若三个平面有一条交线，则三个平面将空间分为六部分，若三个平面有三条交线可将空间分为七或八部分. (2)已知三个平面两两相交且有三条交线，试证：三条交线互相平行或者相交于一点.

12 B 判断要准，决不能掉入陷阱 题型三 异面直线所成的角
题型三 异面直线所成的角 【例3】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于( ) B 思维导图：求异面直线所成的角：①平移法：作辅助线找出异面直线所成角，证明，利用余弦定理计算；②向量法：建立直角坐标系，写出相关点的坐标或直接用向量表示，求出夹角的余弦值。注意异面直线所成角的范围。

13 变形要稳，决不能忙中出错 变 式 演 练 3.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( ) A.1/ B.2/ C.3/ D.4/5 D

14 答案要全，决不能丢三落四 方法规律： 1.由公理2及公理2的推论结合公理1，可证明点线共面问题，如例1及变式将立体几何问题转化为平面几何问题. 2.利用公理3可证明点共线，线共点等问题. 3.求异面直线所成的角，是要将异面直线问题转化为相交直线所成的锐角或直角，可通过余弦定理解三角形，而作辅助线主要是作已知直线的平行线，可利用平行四边形对边平行、三角形或梯形的中位线与底边平行等，也可利用向量的夹角求异面直线所成的角. 4.求异面直线所成的角无论是用几何法还是向量法都要特别注意异面直线成角的范围(00，900]

15 连结平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过此点的直线是异面直线.
解题要活，决不能生搬硬套 5.异面直线的判定定理 连结平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过此点的直线是异面直线. 这个结论是对异面直线直接判定的重要依据，也是求异面直线成角作辅助线的重要依据之一.

16 会做的一定要做对，该拿的分一定拿下 剖析试题，追踪题源，预测趋势，强化训练 【高考动向】高考考查平面的基本性质(如正方体的截面问题)、异面直线公垂线的证明(在指明公垂线的前提下)，以及异面直线成角大小的计算问题. 例4主要解决异面直线成角大小的计算，可通过作图、证明、计算，也可以利用向量计算向量的夹角，无论哪种方法都应注意到异面直线成角的范围是(00，900].

17 审题要细，决不能粗心大意 【命题视角】 【例4】如右图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱 (1)求证：BD⊥平面ACC1A1； (2)已知二面角C1-BD-C的大小为600，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值. 【解法一】(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，∴CC1 ⊥ 平面ABCD，∴ BD ⊥CC1，∵ ABCD是正方形，∴ BD⊥ AC，又∵ AC、CC1平面ACC1A1，且AC∩ CC1=C，∴ BD⊥平面ACC1A1.

18 【解法一】 (2)设BD与AC相交于O，连结C1O，∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，∴∠C1OC=600
【解法一】 (2)设BD与AC相交于O，连结C1O，∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，∴∠C1OC=600.连结A1B，∵A1C1//AC，∴∠A1C1B是异面直线BC1与AC所成的角. 【解法二】 向量法：建立直角坐标系，写出相关点的坐标，利用夹角公式计算.注意异面直线所成角的范围.

19 运算要快，决不能拖泥带水 【例5】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线( ) A.不存在 B.有且只有两条 C.有且只有三条 D.有无数条 D 【解】本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力.在EF上任取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如图：

20 判断要准，决不能掉入陷阱 【随堂小练】 1.异面直线a，b成800角，P为a，b之外的一个定点，若过P有且仅有两条直线与a，b所成的角相等(都等于θ)( ) A. {θ|00<θ<400} B. {θ|400<θ<500} C. {θ|400<θ<900} D. {θ|500<θ<900} B 当00<θ<400时这样的直线不存在；当θ=400时仅有一条；当 θ=500 时有三条；当500<θ<900时有四条.故选B.

21 C 变形要稳，决不能忙中出错 2.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为( )
【作业】 创新设计第三十九课时练习作业手册