陳宜良 台灣大學數學系 98高中課綱數學科召集人

Presentation on theme: "陳宜良 台灣大學數學系 98高中課綱數學科召集人"— Presentation transcript:

1 陳宜良 台灣大學數學系 98高中課綱數學科召集人
98高中數學課程綱要 數學學習的動機與應用 陳宜良 台灣大學數學系 98高中課綱數學科召集人

2 修訂理念 數學的重要性 為什麼要學數學？ 核心的數學 核心數學的重新思考 學習文化 注重學習的動機與應用

3 數學的重要性 研究各種規律性所發展出的語言 人類理性思維的產物 自然科學與社會科學的共同基礎
計算機的發明促成各學科進行「數量化」與「數學化」的革命 聯合國教科文組織亦將數學與語文列為終身學習的基礎

4 核心的數學 由生活上的需要或其他高中學科的需要所形成的核心內容 大部分學生在循序漸進學習中，得以學會的基礎數學
大部分學生升學之後需要繼續學習的數學科目：微積分、線性代數、統計

5 學習文化 注重數學的結構與思考訓練 在數學的結構與思維方法中，體認數學應用的廣泛與威力 塊狀與螺旋式的課程設計
導正「零碎解題技巧堆集」以及「不經慎思只求快速解答」的學習文化

6 修訂精神 掌握主要脈絡，建構清晰的數學概念 展現以簡馭繁的數學思考方法 在演繹之外，加強歸納思維的訓練
以圖形與實例，循序漸近地建構抽象思維的內涵 強調數學的應用，凸顯數學的普遍性與本質性 （逐項舉例於後）

7 原則 一貫性 銜接性 連結性 妥適性 國際性

8 一貫性 掌握幾個主題，包括：「數與量」、「代數」、「幾何」、「函數」、「機率與統計」，由國小、國中之基礎，於高中階段持續鋪陳發展
例 以國中之二元一次方程式為基礎，持續發展一次函數、一次函數圖形、斜率與變化率概念、兩直線和直線與圓的關係。

9 銜接性 為了學生學習經驗之累積，各主題與國中數學之相關主題均有設計複習、延伸、及再發展新觀念的學習歷程。
例 從國中的一次與二次函數進入函數主題，延伸至低次的單項函數，再延伸至一般多項式函數。

10 內部連結性 數學內部的連結：為了避免數學學習成為零碎技巧的堆積
例 第三冊的內容，由長方形面積公式與畢氏定理呼應，在三角課題導引出正弦與餘弦定理，再延伸至向量幾何中的外積與內積公式。

11 外部連結性 數學與外部的連結：加強數學的應用 例 坐標、數列和函數，是對確定世界的描述，機率與統計是對不確定世界的描述。 生活的連結，
數學與其他學科的連結 例 坐標、數列和函數，是對確定世界的描述，機率與統計是對不確定世界的描述。

12 妥適性 各主題內容是否為必要 章節位置是否妥適 學習速度是否妥當 例 指數與三角函數之螺旋式課程設計。

13 國際性 數學科學發展之潮流： 數學教育發展之趨勢：
計算機之發展，促成許多學科數量化的革命，因此「數據分析」以及「數學的應用」，對今日的學子格外重要 數學教育發展之趨勢： 「函數」是表現自然與社會現象中「兩量關係」的語言，在當代國際數學教育中特別重視，因此在本課綱中，將其列為與「代數」、「幾何」同等地位之主題

14 課程定位 必修 選修 高一數學（數學I, II） 高二數學（數學III, IV） 高二數學（數學IV）加註◎部分

15 高一數學（數學I, II） 定位為與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析所需要的基礎
高一上處理連續量相關的課題，包括由度量連續量所產生出之實數、描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指對數函數 高一下處理離散量相關課題，包括數列與級數、排列組合，以及生活中所常見的古典機率及其他學科所常用到的數據分析相關的課題。

16 數學I：函數 數與式 多項式函數 指數、對數函數 數與數線 數線上的幾何 一次、二次與單項函數及其圖形 多項式的運算與應用 多項方程式
多項式函數的圖形與多項不等式 指數、對數函數 指數、對數 指數、對數函數及其圖形 對數的應用

17 數學II：有限數學 數列與級數 排列、組合 機率 數據分析 數列 級數 集合與計數原理 排列與組合 二項式定理 樣本空間與事件
機率的定義與性質 條件機率與貝氏定理 數據分析 一維數據分析 二維數據分析

18 高二數學（數學III, IV） 為社會組與自然組的學生所應必備之數學知識，其主題為坐標與向量幾何以及線性代數。但由於要顧及一般的學生，部分內容並加註◎號，列為選修數學。

19 數學III：平面坐標與向量 三角 直線與圓 平面向量 直角坐標與極坐標 正弦、餘弦定理 差角公式 三角測量 直線方程式及其圖形 線性規劃
圓與直線的關係 平面向量 平面向量的表示法 平面向量的內積 面積與二階行列式

20 數學IV：線性代數 空間向量 空間中的平面與直線 矩陣 二次曲線 空間概念 空間向量的坐標表示法 空間向量的內積 外積、體積與行列式
平面方程式 ◎空間直線方程式 三元一次聯立方程組 矩陣 線性方程組與矩陣 矩陣的運算 矩陣的應用 ◎平面上的線性變換與二階方陣 二次曲線 橢圓、雙曲、拋物線

21 高三數學（數學甲、乙 I, II） 屬選修，部分定位為統整深化，部分定位為大學的微積分與機率統計的先備課程。

22 數學甲 (乙) I 機率統計二 隨機變數 二項分布 抽樣與統計推論 三角函數 一般三角函數的性質與圖形 ◎三角函數的應用 ◎複數的幾何意涵

23 數學甲(乙) II 極限與函數 數列及其極限 函數的概念 函數極限 多項式函數的微分與積分◎ 微分 函數性質的判定 積分的意義 積分的應用

24 課綱的特色 函數、圖形與應用的結合 代數、幾何與應用的結合 化繁為簡的數學思考方法 歸納思維的訓練與認識數學模型 塊狀與螺旋式學習交揉並進

25 函數、圖形與應用的結合 函數與圖形的結合 插值多項式為多項式的應用 二 、 多 項 式 函 數 1.簡單多項式函數及其圖形
1.1 一次函數與二次函數 1.2 單項函數：奇偶性、單調性、圖形平移 1.1 單項函數僅介紹4次(含)以下 2.多項式的運算與應用 2.1 乘法、除法(含一次綜合除法)、除法原理(含餘式定理、因式定理)及其應用 2.2 插值多項式函數及其應用 2.1 不含最高公因式與最低公倍式 2.2 插值多項式不超過三次 3.多項方程式 3.1二次方程式的根(含複數根與複數的四則運算) 的意義 3.2有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、n次方根的意義 3.3 實係數多項式的代數基本定理、虛根成對定理 3.1 複數的幾何意涵置於選修 4.多項式函數的圖形與多項不等式 4.1 辨識已分解的多項式函數圖形及處理其不等式問題 4.1 不含分式不等式 插值多項式為多項式的應用

26 函數與圖形的連結 辨識到已分解的多項式函數的圖形特徵（包括零根位置、重根的意涵、函數值的正負）
建立函數圖形與函數特徵的關聯是函數學習的重要內涵 函數圖形可在書上呈現，或以電腦繪圖展示。

27 函數、圖形與應用的結合 三 、 指 數 對 函 1.指數、對數 1.1 指數為整數、分數與實數的指數定律 1.2指數成長的問題
1.3 對數的定義與對數定律 1.2以等比數列與級數帶入指數成長的問題 2.指數、對數函數及其圖形 2.1介紹y=10x函數圖形、性質及特徵(含單調性) 2.2介紹y=logx函數圖形、性質及特徵(含定義域、對數定律、單調性、凹凸性、算幾不等式) 2.3一般底的指數、對數函數與換底公式 2.3 換底公式不宜牽涉太過技巧性與不實用的問題 3.對數的應用 3.1 對數表、內插法與使用計算器 3.2 科學記號、首尾數，處理乘除與次方問題 3.3 由生活中所引發之指對數方程式與不等式的應用問題 3.1 不含表尾差

28 代數、幾何與應用的結合 二 、 直 線 與 圓 1.直線方程式及其圖形 1.1 點斜式 1.2 兩線關係(垂直、平行、相交)、聯立方程式
2.線性規劃 2.1 二元一次不等式 2.2 線性規劃(目標函數為一次式) 3. 圓與直線的關係 3.1 圓的方程式 3.2 圓與直線的相切、相割、不相交的關係及其代數判定 3.2 不含兩圓的關係

29 代數、幾何與應用的結合 坐標幾何是透過直角坐標系的架設，將幾何問題代數化，透過代數的形式運算解決幾何問題，同時也賦予一般線性方程組的幾何意涵，而線性方程組則具有廣泛的應用。

30 代數、幾何與應用的結合 定量幾何 代數的操作 三角的應用 一 、 三 角 1.直角坐標與極坐標
1.1 直角三角形的邊角關係(正弦、餘弦、正切)、平方關係 1.2 廣義角的正弦、餘弦、正切及補角關係 1.3 直角坐標與極坐標的變換 1.1 cot, sec, csc置於選修數學 2.正弦、餘弦定理 2.1 面積與正弦定理、長度與餘弦定理 3.差角公式 3.1 差角、和角、倍角、半角公式 3.1 不含和差化積、積化和差公式 4.三角測量 4.1 三角函數值表 4.2 平面與立體測量 4.1 可使用計算器求出三角函數值 定量幾何 代數的操作 三角的應用

31 代數、幾何與應用的結合 三 、 平 面 向 量 1.平面向量的表示法 1.1 幾何表示、坐標表示，加減法、係數乘法
1.2 線性組合、平面上的直線參數式 2.平面向量的內積 2.1 內積與餘弦的關聯、正射影與高、柯西不等式 2.2直線的法線式、點到直線的距離、兩向量垂直的判定 3.面積與二階行列式 3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質、兩向量平行的判定 3.2 兩直線幾何關係的代數判定、二階克拉瑪公式

32 代數、幾何與應用的結合 代數 表現 幾何 意涵

33 代數、幾何與應用的結合

34 代數、幾何與應用的結合 二 、 三 角 函 數 1.一般三角函數的性質與圖形 1.1 弧度、弧長及扇形面積公式
1.2 三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形 1.3倒數關係、商數關係、平方關係 *2.三角函數的應用 2.1 波動: 正餘弦的疊合，三角函數之合成 2.2 圓、橢圓的參數式 *3.複數的幾何意涵 3.1 複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義 3.2 棣美弗定理，複數的n次方根 代數與幾何 的完美結合

35 以簡馭繁的數學思考方法 多項式的除法 平移與伸縮

36 以簡馭繁：除法的精神 將多項式f(x)除以(x-a)，餘式可得f(a)；連續除以(x-a)可得f(x)的冪方(x-a)展開式，它可用來求f(x)在a附近的近似值 將f(x)分別除以(x-a)，(x-b)，得餘式f(a)，f(b)可用來表現通過(a,f(a))，(b,f(b))的插值多項式，此插值多項式即為f(x)除以(x-a)(x-b)的餘式，此為數學化繁為簡的精神。

37 以簡馭繁：平移與伸縮的精神 二次式的標準化、配方 一維與二維數據的標準化 指對數函數的換底 二次曲線的標準化
標準化數據容易求相關係數及迴歸直線 指對數函數的換底 二次曲線的標準化

38 歸納思維與數學建模 1.指數、對數 1.1 指數為整數、分數與實數的指數定律 1.2指數成長的問題 1.3 對數的定義與對數定律
1.2以等比數列與級數帶入指數成長的問題 1.數列 1.1 發現數列的規律性 1.2 數學歸納法 1.1 只談實數數列 不含二階遞迴關係 1.2含不等式的數學歸納法置於數學VI數列與極限中討論

39 數學與外部的連結 確定世界的描述 數列 函數 坐標 不確定世界的描述 機率 統計

40 機率的鋪陳 排列組合 集合與計數原理 排列與組合 二項式定理 機率 樣本空間與事件 機率的定義與性質 條件機率與貝氏定理

41 隨機觀念的鋪陳 隨機變數 二項分布 抽樣與統計推論

42 數學的應用 一次、二次函數 線性方程組、線性規劃 插值多項式 三角測量 排列組合、機率、數據分析、迴歸直線 ……
數學的應用凸顯數學的普遍性與本質性

43 塊狀與螺旋式學習 塊狀學習: I: 函數 II: 有限數學 III: 平面坐標與向量 IV: 線性代數 螺旋學習 指數的學習 三角的學習

44 螺旋學習－以指數為例 根式操作（數與式） n次根號的操作（多項式方程式） 指數定律、等比數列初步（指數與對數函數）
指數與對數函數（指數與對數函數） 等比數列（數列與級數） 數據分析

45 螺旋學習－以三角為例 三角 平面 空間 三角函數 直角坐標與極坐標 正弦、餘弦定理 差角公式 三角測量 平面向量的內積 面積與二階行列式
空間向量的內積 外積、體積與行列式 三角函數 一般三角函數的性質與圖形 *三角函數的應用 *複數的幾何意涵

46 選修的設計 提供學生適才適性的學習機會 針對不同學生的需要 將來要進入大學的學生：數學V, VI 學習落後學生：基礎數學I, II
一般學生：統整數學、數學演習 學習超前學生或對數學有興趣之學生：各校自訂

47 實施辦法 教材編寫 教學進度 教學設備與資訊 教學評量

48 教材編寫 教材應有足夠多的範例與習題 範例與習題的妥適性可由下列的指標來判斷： 是否為無意義的人工化難題？ 所謂生活化的問題是否符合常理？
是否屬於大學的題材，雖可用高中所學的方法解決，但仍屬困難？ 如為學測或指定考科之題型，是否具鑑別度？

49 教學進度 各校可配合學生學習情況，彈性調整教學進度 針對放棄學習的學生，應要適當的輔導。 針對學習較慢的學生，應有補救措施：
可依學生狀況開設基礎數學選修課程，以補救其國中不足之部分； 亦可彈性調整其學習進度，只要在學測前學完數學必修課即可； 其學習方式亦可採螺旋式，不一定要按課綱之章節順序學習。 針對學習較快之學生，則可另提供選修課程，以激發其學習熱忱

50 教學評量 平時測驗的方式宜有彈性，但要給予充分的時間思考，並將過程寫下，以讓老師瞭解學生思考的過程。測驗的題目應區分為基礎和進階兩類。
全國性測驗範圍 學力測驗範圍：數學Ｉ至Ⅳ（不含加註◎部分） 指定科目考試數學乙：數學Ｉ至IV（不含◎部分）及選修數學乙 指定科目考試數學甲：數學Ｉ至IV 及選修數學甲

51 98數學科新課綱論壇

52 歡迎上網指正 http://mathcourse.ck.tp.edu.tw
謝謝大家 歡迎上網指正