第六章 机械振动和机械波 鄢小卿 yanxq01@nankai.edu.cn 物理学院5教315室 电话：23499981.

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1 第六章 机械振动和机械波 鄢小卿 物理学院5教315室 电话：

2 要求 缺勤5次取消考试资格 作业不许抄袭 出勤+平时作业 + 期末成绩

3 §6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例
§6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 1.5 简谐振动的能量 作业：P ; P , 6- 5，6-7； P

4 非周期性振动—在 T时间内运动状态不能完全重复。
§6.1 简谐振动 人类生活在振动的世界里。振动在力学、声学、电磁学、生物工程、自控等各领域都占有重要的地位。 1.1 简谐振动的描述  振动的一般概念 心脏跳动  什么叫振动—物体在同一路径的一定 位置附近作重复往返运动称为机械振动。 特点： 有平衡点，且具有重复性。  周期性振动—在 T时间内运动状态能完全重复。 非周期性振动—在 T时间内运动状态不能完全重复。

5  机械振动分类 按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。 按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。
按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。 按振动位移分：角振动、线振动。 按系统参数特征分：线性、非线性振动。 其中简谐振动是最基本的，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。

6 结论： 简谐振动  简谐振动的运动学描述  以弹簧振子为例 系统的位移按 的规律运动，其中 由系统自身决定。
的规律运动，其中 由系统自身决定。 结论： 简谐振动——凡是以时间的正弦或余弦函数 表示的运动都是简谐振动。

7 广义振动：物理量在中心值附近周期性变化。
实际上，任何一个稍微偏离平衡状态的稳定系统，都可看成简谐振子。对于物理学中的许多问题，谐振子都可以作为一个近似的或相当精确的模型。 晶格点阵

8  简谐振动的周期和频率、振幅 叫做周期，每隔T 时间运动完全重复 称为振动频率，单位时间内振动的次数。 称为角频率（或圆频率）
 简谐振动的周期和频率、振幅 叫做周期，每隔T 时间运动完全重复 称为振动频率，单位时间内振动的次数。 称为角频率（或圆频率） 即单位时间内相位的变化值

9  简谐振动的相位、初相位、振幅 振幅， 振动中最大位移量 相位； 角频率 相同的运动状态对应 相位差为 的整数倍。
相位差为 的整数倍。 简谐振动除用余弦函数形式表达外，还可以用正弦函数表达。

10 两个同频率简谐振动的相位差：  20超前10  20落后10 =（2n1） 反相 =2n 同相

11 1.2 简谐振动的矢量图表示法 复平面上任意一点对应一个 矢量，因此，可用一个旋转 矢量来描述简谐振动。 是模为 A，幅角为 的矢量。
1.2 简谐振动的矢量图表示法 复平面上任意一点对应一个 矢量，因此，可用一个旋转 矢量来描述简谐振动。 是模为 A，幅角为 的矢量。 它以角频率 ，从初始幅角 出发绕原点匀速旋转。 矢量作圆周运动，而投影点作简谐振动。

12 旋转矢量图法的用途: 我们也可以用一个复数 表达简谐振动： 振幅是复数的模，相位为复数的幅角。 位移 是复数的实部。
我们也可以用一个复数 表达简谐振动： 振幅是复数的模，相位为复数的幅角。 位移 是复数的实部。 旋转矢量图法的用途: 1、利用旋转矢量制作振动曲线； 2、已知振动曲线或初始条件求初相； 3、比较两振动的位相差。

13 结论 1.3 简谐振动的动力学方程  简谐振动的动力学方程 弹性力 其解： 质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比
1.3 简谐振动的动力学方程  简谐振动的动力学方程 弹性力 其解： 结论 质点所受的外力与对平衡位置的位移成正比 且反向，或质点的势能与位移（角位移）的 平方成正比的运动，就是简谐振动。这种振 动系统称为谐振子。 形成简谐振动的两个条件是弹性力和惯性。

14 数学上能严格证明它的唯一可能解 是二阶微分方程解的积分常数， 可以从初始条件决定  简谐振动的速度和加速度： 称为速度振幅；速度比位移的相位超前 称为加速度振幅； 加速度比位移的相位超前（或落后）

15  二阶微分方程的初始条件决定振幅和初相位
已知 式中 是初始的位移， 是初速度。 由此可得出：

16 由初始条件求解振动方程 1.找平衡位置; 2.偏离后求合力(力矩); 3.由力学规律列方程; 4.写为标准形式. j值取舍：

17 例1. 重物m悬挂在弹簧k的下端，求振动圆频率。
解：平衡位置: o x 偏离x:

18 弹簧并联 x 弹簧串联 k1 x O k2 平衡位置O，偏离x， 有 x= x1+x2 及 k1x1= k2x2= kx 解得等效劲度系数

19 1.4 两个简谐振动的实例  单摆 当 时 结论 在角位移很小的时候，单摆的 振动是简谐振动。角频率 、振 动的周期分别为：

20  复摆（物理摆） 为m绕O点转动的转动惯量。 当 时 总结：复摆的角谐振动方程：

21 总结： 复摆的角谐振动方程： 单摆的角谐振动方程： 振动的角频率、周期完全由振动 系统本身来决定。

22 例2：已知图中ω0=17.5/s,t=0时右偏0.1m, v0=2.4m/s, 方向向左，求振动方程。
o x 解：1.选右为正方向, x0=0.1m, v0=-2.4m/s 振动方程: 2.若选向左为正方向，则 x0=-0.1m, v0=2.4 m/s 振动方程: 与坐标有关！

23 1.5 简谐振动的能量  简谐振动的动能： 以水平的弹簧振子为例  简谐振动的势能：

24  简谐振动的总能量： 弹性力是保守力, 总机械能守恒，即总能量不随时间变化。

25 求出动能的时间平均值: 求出势能的时间平均值:

26 结论： 简谐振动的特点 * 弹簧振子的动能和势能的平均值相等，且等于 总机械能的一半 * 任一简谐振动总能量与振幅的平方成正比
* 振幅不仅给出简谐振动运动的范围，而且还反映 了振动系统总能量的大小及振动的强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动。 简谐振动的特点 动力学方程： 振动方程: 机械能守恒:

27 §6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例
§6.1 简谐振动 1.1 简谐振动的描述 1.2 简谐振动的矢量图表示法 1.3 简谐振动的动力学方程 1.4 两个简谐振动的实例 1.5 简谐振动的能量 作业：P ; P , 6- 5，6-7； P

28 附录一：线性微分方程 解的存在和唯一性定理 [解的存在和唯一性定理]
如果a0(x)，a1(x)，…, an(x)和R(x)在区间(x0-, x0+) (>0)内连续,且a0(x)≠0,那么对任意给定的初始条件: 上述方程存在唯一解:

29 附录二： 二阶齐次常系数微分方程的通解 其中，p和q为常数，y为x的函数（ ） 设r1和r2分别为方程： 的两个根

30 微分方程 的通解 1、 （实数） 2、 （实数） 3、 ，

31 习题6-3：边长 、密度 的木 块浮在大水槽的表面上，今把木块完全压入水 中，然后放手，如不计水对木块的阻力，问木 块将如何运动？ 解：选水面上一点O为坐标原点；平衡时，木块浮在 水面，木块上Q点与O 重合。其顶部至水面距 离为 。 木块的运动是平动，所以 可用它上面任一点来描述， 现在我们选Q点来描述木 块的运动。Q不一定是质 心，但整体的平动可用Q 作代表点。

32 由题意： 设木块横截面积为S， 根据阿基米德定律, 平衡时： 任一时刻 OQ =x，木块受力 有重力和浮力不相等，其合 力为做简谐振动的恢复力， 称为准弹性力。

33 设质心与Q的距离为 , 质心的位置 。 其动力学方程即为质心的运动方程： 将质心坐标代入可知从 质心运动过渡到刚体上 任一点平动是等价的。 木块简谐振动 的动力学方程：

34 得木块的运动方程： 其中固有角频率： 由初始条件：将木块完全压入水中 所以： 舍去：