材料力学（乙） 第八章 能量法（2） 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年5月21日.

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1 材料力学（乙） 第八章 能量法（2） 赵 沛 浙江大学交叉力学中心 浙江大学工程力学系 2019年5月21日

2 重要基本概念的回顾与强化 1、能量方法、功能原理 Vε = W 2、轴向拉压的应变能 3、扭转的应变能

3 重要基本概念的回顾与强化 4、纯弯曲的应变能 5、横力弯曲的应变能 6、组合变形的应变能

4 重要基本概念的回顾与强化 7、总结 仅适用于满足胡克定律的线性情况，其他形式需要求积分 应变 能密度 应变能 正应力 切应力 拉压 扭转
功 正应力 切应力 应变能 力 变形 拉压 扭转 弯曲 仅适用于满足胡克定律的线性情况，其他形式需要求积分

5 重要基本概念的回顾与强化 8、应变能的普遍表达式 克拉贝依隆原理（只限于线性结构） 9、功的互等定理 10、位移互等定理

6 第八章 能量法（2）

7 8.4 卡氏第一定理（13.5） 1、概述 卡氏第一定理 卡氏第二定理
阿尔伯托·卡斯蒂利亚诺（意大利工程师, 1847～1884）导出了用于计算弹性杆件力和位移的两个定理： 卡氏第一定理 （求力，弹性变形） 卡氏第二定理 （求位移，线弹性变形）

8 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n)

9 8.4 卡氏第一定理（13.5） dδi Δi δi 2、推导 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) Fi引起的应变能： dδi 第i个载荷的 F-Δ 变化曲线

10 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) Fi引起的应变能： 梁内的总应变能：

11 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) 因此，最终梁内的应变能应是关于Δi (i=1,2…n)的函数

12 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 若与第i个载荷相应的位移有一微小增量dΔi，则梁内应变能的变化 dV 可写作：

13 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 因为只有第i个载荷相应的位移有一微小增量di，其余载荷相应的位移保持不变，则外力功的变化可写作： 由功能原理Vε = W

14 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 卡氏第一定理 弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移的变化率，等于该位移相应的载荷。
卡氏第一定理适用于一切受力状态下的线弹性杆件与非线弹性弹性杆件。

15 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 卡氏第一定理 Fi 为广义力，Δi 为相应的位移。 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移

16 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 一个力 一个力偶 一个线位移 一个角位移 F Me A A  w

17 8.4 卡氏第一定理（13.5） 2、推导 一对力 一对力偶 相对线位移 相对角位移 θ F F A B Me Me A B δ

18 8.4 卡氏第一定理（13.5） P 例题8.6 1: EA, l A 45º 2: EA 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
解(1)： 受力分析法 1: EA, l A 45º P 2: EA

19 8.4 卡氏第一定理（13.5） 例题8.6 Δl2 Δl1 45º ΔAy 45º 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。 解(1)：
受力分析法 Δl1 45º ΔAy 45º

20 8.4 卡氏第一定理（13.5） 例题8.6 Δl2 Δl1 45º ΔAy 45º 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。 解(2)：

21 8.4 卡氏第一定理（13.5） 例题8.6 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。 解(2)： 卡氏第一定理

22 8.4 卡氏第一定理（13.5） 例题8.6 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。 解(2)： 卡氏第一定理

23 8.5 卡氏第二定理（13.5） 1、余能 余能是一个能量参数。 （余能） Δ Δ （应变能）

24 8.5 卡氏第二定理（13.5） 1、余能 Δ 余能是一个能量参数。 Δ （余能） 余功 余能 仿照外力功的表达式计算另一部分：

25 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n)

26 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) Fi引起的余能： 第i个载荷的 F-Δ 变化曲线

27 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) Fi引起的余能： 梁内的总余能：

28 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 图示梁（材料为线性，也可为非线性）
作用n个集中载荷Fi (i=1, 2…n)，相应位移为Δi (i=1, 2…n) 因此，最终梁内的余能应是关于Fi (i=1,2…n)的函数

29 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 若第i个载荷有一微小增量dFi，其余载荷均保持不变，则梁内余能的变化 dVc 可写作：

30 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 外力总余功的变化可写作： 由功能原理Vc = Wc

31 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 余能定理 弹性杆件的余能对于杆件上某一载荷的变化率，等于该荷载相应的位移。
余能定理适用于一切受力状态下的线弹性杆件与非线弹性杆件。

32 8.5 卡氏第二定理（13.5） 2、余能定理 余能定理 Fi 为广义力，Δi 为相应的位移。 一个力 一个力偶 一对力 一对力偶
一个线位移 一个角位移 相对线位移 相对角位移

33 8.5 卡氏第二定理（13.5） 3、卡氏第二定理 对于线弹性变形： 余功、余能没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已；
对于线弹性材料的几何线性问题，余能和应变能在数值上相等，但在概念和计算方法上截然不同。

34 8.5 卡氏第二定理（13.5） 3、卡氏第二定理 余能定理 卡氏第二定理
对于线弹性杆件或杆系，由于力与位移成正比，杆内的应变能V数值上等于余能Vc，则余能定理可改写为： 卡氏第二定理 卡氏第二定理只适用于线弹性情况。

35 8.5 卡氏第二定理（13.5） 4、杆件变形的卡氏第二定理表达式 （1）轴向拉压 （2）扭转 （3）弯曲

36 8.5 卡氏第二定理（13.5） 4、杆件变形的卡氏第二定理表达式 （4）桁架 （5）组合变形 拉伸 扭转 弯曲

37 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.7 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI，梁材料为线弹性体。求梁 C截面的挠度和A截面的转角。 A B C l a RA F Me 解： x1 x2 AB：

38 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.7 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI，梁材料为线弹性体。求梁 C截面的挠度和A截面的转角。 A B C l a RA F Me 解： x1 x2 BC：

39 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.7 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI，梁材料为线弹性体。求梁 C截面的挠度和A截面的转角。 A B C l a RA F Me 解： x1 x2 ( )

40 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.7 外伸梁受力如图所示，已知弹性模量EI，梁材料为线弹性体。求梁 C截面的挠度和A截面的转角。 A B C l a RA F Me 解： x1 x2 ( )

41 8.5 卡氏第二定理（13.5） P 例题8.6 A 1: EA, l 45º 2: EA 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
解(3)： 卡氏第二定理 1: EA, l A 竖直方向位移： 45º P 2: EA （与前述结果相同）

42 8.5 卡氏第二定理（13.5） F P 例题8.6 A 1: EA, l 45º 2: EA 求图示结构结点A的垂直位移和水平位移。
解(3)： 卡氏第二定理 1: EA, l A F 水平方向位移： 45º P 2: EA （与前述结果相同）

43 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.8 用卡氏第二定理求梁的挠曲线方程。 解：求挠曲线任意点的挠度 w(x)

44 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.8 用卡氏第二定理求梁的挠曲线方程。 解：求挠曲线任意点的挠度 w(x)

45 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.8 用卡氏第二定理求梁的挠曲线方程。 解：求挠曲线任意点的挠度 w(x)

46 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.8 用卡氏第二定理求梁的挠曲线方程。 解：小结
（1）在所求广义位移的相应方向上加上虚拟的广义力F； （2）在具有新外力的系统上，计算系统的内力； （3）计算新系统的应变能； （4）将应变能对虚拟力求偏导，并令F=0，即得广义位移。

47 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : 在C截面虚设一力偶Mc, 在D截面虚设一水平力F。 2a Mc F D C FRD FRAx FRAy a Me B a A

48 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : CD: 2a Mc F x D C FRD FRAx FRAy a Me B a A

49 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : CB: 2a Mc F D C x FRD FRAx FRAy a Me B a A

50 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : AB: 2a Mc F D C FRD FRAx FRAy a Me B a x A

51 8.5 卡氏第二定理（13.5） ( ) 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : 2a Mc F D C FRD FRAx FRAy a Me B a A ( )

52 8.5 卡氏第二定理（13.5） ( ) 例题8.9 Mc F FRD Me FRAx FRAy
刚架结构如图所示，弹性模量EI已知。材料为线弹性，不考虑轴力和 剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移。 解 : 2a Mc F D C FRD FRAx FRAy a Me B a x A ( )

53 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.10 圆截面杆ABC，（ABC=90°）位于水平平面内，已知杆截面直径 d 及材料的弹性常数 E , G，求C截面处的铅垂位移。不计剪力。 A B C l q

54 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.10 解 : A B C l q x A l Q F x x MB B BC：弯曲变形

55 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.10 Q q F MB 解 : AB：弯扭组合变形 （弯曲） A A l x x B x B C

56 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.10 Q q F MB 解 : AB：弯扭组合变形 （扭转） A A l x x B x B C

57 8.5 卡氏第二定理（13.5） 例题8.10 解 : ( )

58 作业 下次内容 第八章 能量法（3） 13.9, 13.17, 13.18 F Me=3Fa RA RB
一外伸梁如图所示，F，a，EI已知，用卡式第二定理求D端的挠度。 F Me=3Fa A C B D RA RB a 2a a 13.9, 13.17, 13.18 下次内容 第八章 能量法（3）