第14章 结构动力计算绪论 §14-1 多自由度体系的自由振动 §14-2 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵

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1 第14章 结构动力计算绪论 §14-1 多自由度体系的自由振动 §14-2 多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵 §14-3 多自由度体系的强迫振动 §14-4 无限自由度体系的自由振动 §14-5 无限自由度体系的自由振动的常微分方 程求解器解法 §14-6 近似法求频率 §14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率 §14-8 用求解器求解自振频率和振型 §14-9 小结

2 §14-1 多自由度体系的自由振动 1. 刚度法 振动方程为

3 设振动方程解的形式为 将上式代入振动方程，得 （a） 若得到非零解，则 展开形式为

4 解行列式，得到n个体系的自振频率 令 将 代入式（a），得 （b） 由此可求出第 i 振型 式（b）是一组齐次方程，只能确定主振型的形状，但不能确定它的振幅。

5 振型的标准化方法： ■1）规定某个元素的值，如第一个元素等于1，或者 最大的一个元素等于1 ■2）规定主振型满足下式 振型的正交性：

6 例14-1 试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。
解 （1）求自振频率

7 刚度矩阵和质量矩阵分别为 频率方程为

8 展开，得 用试算法求得方程的三个根为 进一步求得 因此，三个自振频率为

9 （2）求振型 将 代入振型方程，得 令Y31＝1，解得

10 将 代入振型方程，得 令Y32＝1，解得

11 将 代入振型方程，得 令Y33＝1，解得

12

13 2 柔度法 刚度法振动方程为 由 得 令 ，得 故频率方程为

14 展开为 相应的振型方程为

15 例 14－2 试用柔度法重做例14－1。 解 （1）求自振频率 由各层的刚度系数得到各层柔度系数,即单位层间力引起的层间位移。为：

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17 柔度矩阵为 频率方程为

18 展开，得 解得 因此，三个自振频率为 （2）求主振型 将求得的 分别代入振型方程，得到三个振型。

19 §14-3 多自由度体系的强迫振动 1 n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 振动方程为 若 ——简谐荷载

20 在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即 代入振动方程，整理后，得 令 若D0≠0，则

21 讨论 故,当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能出现共振现象，因此，对n个自由度体系，存在n个共振区。

22 2 多自由度体系在一般荷载下的强迫振动 振动方程 将位移向量按振型分解 分别为质点的几何坐标和正则坐标(组合系数) 代入振动方程，并前乘YT 令F(t)= YTFP（t）——广义荷载向量 振动方程变为

23 由于M*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即
同理，令 振型分解法 则 由杜哈梅积分，得 初始条件为

24 代入初始条件，得

25 例 14-4 已知结构的频率和振型，试求图示结构在突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。
解 （1） 主振型矩阵 （2）建立坐标变化关系

26 （3）求广义质量 （4）求广义荷载

27 （5）求正则坐标

28 （6）求质点位移

29 质点1的位移时程曲线 实线： 虚线：

30 （7）求弯矩 振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为 截面1的弯矩为

31 截面1弯矩时程曲线 实线： 虚线： 只考虑第一振型

32 （8）讨论 ■第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。 ■由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此不能简单地把两分量的最大值相加。 ■阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前2~3个低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。

33 §14-4 无限自由度体系的自由振动 ■将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。
§ 无限自由度体系的自由振动 ■将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。 ■按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。 ■对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便之处。 ■ 在无限自由度体系的动力计算中，时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。

34 等截面梁弯曲时的静力平衡方程为 在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即 因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为

35 用分离变量法求解，令 代入振动方程，并整理得 左边是x的函数，右边是t的函数。因此，两边都与x、t无关。 故得两个常微分方程

36 两个方程的解分别为 C1——C4由边界条件确定 则，振动方程的解为

37 例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。
令系数行列式=0 解：边界条件引入振幅曲线 左边： 得： 得 振幅曲线简化为 故 右边：

38 这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型曲线

39 14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法
无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 等截面两弯曲时的自由振动偏微分方程为 代入振动方程，得 边界条件 n=1：表示下段结果； n=2：表示上段结果。 顶部（x=0）：弯矩=0、剪力=0 令

40 中部（x=H2）：水平位移、转角、弯矩、剪力都连续

41 将特征值问题转化为标准的非线性ODE问题
首先，利用区域映射技巧作坐标变换 于是有

42 这个变化将两段区间影射为标准的单位区间[0，1]
中部（x=H2，ξ=1）：连续 微分方程变为 底部（x=H，ξ=0）：固定 边界条件变为 顶部（x=0，ξ=0）：自由 微分方程已变成常微分方程组特征值问题

43 利用平凡的ODE技巧和等价的ODE技巧将其转化为标准的非线性ODE问题.
取振型归一化条件为 这样，就形成了一个标准的非线性常微分方程组，可直接利用标准的ODE求解器的非线性功能求解。 分段考虑并利用坐标变换，有

44 利用COLSYS求解的计算步骤如下： 设要求解前N个特征值 （1）设初始解 （2）对第k（k=1，2，…，M≥N振型求正交化的初始解 其中

45 （4）用COLSYS求解如下的一个一阶线性ODE问题
然后，求出 （5）回到第（2）步作第k+1步求解。

46 例 图示变截面柱，计算数据如下： 1（下）段： 2（上）段： 其中s为一比例系数。计算s=1.0, 0.5, 0.1三种情况。 解：前5个自振频率在下表中给出，相应的振型如图所示。

47 例14-6的自振频率 i s 1.0 0.5 0.1 1 2 3 4 5 14.844 93.028 16.856 94.856 19.218 97.537

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50 计算结果表明： （1）当上下段的质量比和刚度比变小（即s变小）时，基本频率变大；但高阶频率不一定如此。 （2）在三种情况中，s=0.1时的振型在顶部位移很大（注意上下部的位移比），通常这种现象称为鞭梢效应；当s更小时，鞭梢效应将更严重。

51 1 能量法求第一频率——瑞利（Rayleigh）法
§14-6 近似法求自振频率 1 能量法求第一频率——瑞利（Rayleigh）法 理论基础：能量守恒原理 一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）保持不变。 例 具有分布质量的等截面梁，自由振动时，位移可表示为 梁的弯曲应变能为

52 最大值为 位移表示式对时间微分，得速度表达式为 梁的动能为 最大值为

53 位移和应变能为零，体系的总能量为Tmax
速度和动能为零，体系的总能量为Vεmax 由能量守恒原理，可得 由此得到计算频率的公式

54 若梁上还有集中质量mi，计算公式为 如果Y（x）是第i振型，则得到的就是第i频率的精确解 ■取某个静荷载下的位移曲线作为Y（x）。 这时，应变能可用荷载作的功来代替，即

55 频率计算公式为： ■取结构自重的变形曲线作为Y（x）。

56 例 试求等截面简支梁的第一频率 解 （1）将抛物线作为Y（x）。

57 （2）将均布荷载作用下的位移曲线作为Y（x）。

58 （3）将正弦曲线作为Y（x）。

59 （4）讨论。 正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果具有很高的精度。

60 例 14-8 试求图14-15所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度b=1，截面高度为直线变化：
解 截面惯性矩 单位长度质量

61 设位移形状函数为 代入频率计算公式，得 精确解为 误差为3%

62 2.能量法求最初几个频率——瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法
理论基础：哈密顿（W.R.Hamilton)原理 在所有可能的运动状态中,精确解使 驻值 得哈密顿泛函 驻值 Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数

63 瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法的具体步骤:
(1)将体系的自由度折减为n个自由度,位移函数表示为 :n个可能的位移函数; a:待定系数。 （2）将位移函数代入哈密顿泛函，得 令

64 得 应用驻值条件 得 写成矩阵形式 令系数行列式为零，即 可求得最初几个自振频率的近似值。

65 例 试求等截面悬臂梁的最初几个频率。 得 驻值条件为 解 设可能位移为 令 其中 （1）第一次近似 得

66 （2）第二次近似解 则，第一、二频率的近似值 得 (误差为0.48%） 令 (误差为58%） 这里第一频率的精度已大为提高。

67 3 集中质量法 例 试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。 解

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69 例 试求框架的最低频率。 解 读者可自行验证，对称振型的频率大于反对称振型的频率

70 §14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率 将刚架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为 可用单元的结点位移Δ表示 刚架的泛函
§14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率 将刚架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为 可用单元的结点位移Δ表示 刚架的泛函 根据刚架泛函为驻值的条件，求Δ的非零解，得到刚架频率 1 单元的泛函 单元的结点位移幅值为

71 杆件的位移幅值函数可表示为 形状函数列阵

72 其中 ——单元的刚度矩阵 ——单元的质量矩阵

73 2 刚架的泛函 对单元泛函叠加，得 将EP改用刚架的结点位移幅值Δ来表示。

74 3 驻值条件和频率方程 应用驻值条件，得 频率方程为

75 例 试求梁的自振频率。 频率方程为 解 （1）对称振型 取半边结构作为一个单元，只有一个待定的结点位移。 精确解为 误差为1.6%

76 将半边结构分为两个单元 待定的结点位移幅值为 驻值条件为

77 令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：

78 （2）反对称振型 取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率

79 例 试用矩阵位移法从做例14-11 解 待定的结点位移幅值为 总刚度矩阵及总质量矩阵

80 驻值条件为 对称振动时，得 求得 反对称振动时，得 其中

81 频率方程为 求得 按从大到小的顺序重新排列

82 §14-8 用求解器求解自振频率与振型 ■对一般平面结构，可以给出振型和频率； ■对于无限自由度体系，可以给出全部精确解；
§14-8 用求解器求解自振频率与振型 ■对一般平面结构，可以给出振型和频率； ■对于无限自由度体系，可以给出全部精确解； ■解出的振型可以用静态、动态两种方式显示。

83 §14-9 小结 ■讨论了多自由度体系的振动问题，深化了主振型、主振型的正交性、主振型矩阵的概念；
§14-9 小结 ■讨论了多自由度体系的振动问题，深化了主振型、主振型的正交性、主振型矩阵的概念； ■对于一般荷载，介绍了主振型叠加法，将多自由度体系的振动问题转化为单自由度体系的计算问题是这个方法的核心； ■近似计算方法中，能量法是计算自振频率的一种有效的近似方法。